Matriu de Hankel

En àlgebra lineal, una matriu de Hankel (o matriu catalèctica), anomenada després d'Hermann Hankel, és una matriu quadrada en la qual cada diagonal inclinada ascendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple,

$$\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.$$

De manera més general, una matriu de Hankel és qualsevol $n\times n$ matriu $A$ de la forma

$$A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.$$

Pel que fa als components, si el $i,j$ element de $A$ es denota amb $A_{ij}$, i suposant $i\leq j$, llavors tenim $A_{i,j}=A_{i+k,j-k}$ per a tot $k=0,...,j-i.$

Propietats

• Qualsevol matriu de Hankel és simètrica.
• Sigui $J_{n}$ una matriu d'intercanvi $n\times n$. Si és un La matriu mxn de Hankel, ja que $H=TJ_{n}$ on $T$ és un Matriu mxn de Toeplitz.
  • Si és real simètric, ja que $H=TJ_{n}$ tindrà els mateixos valors propis que $T$ fins a signar.
• La matriu de Hilbert és un exemple de matriu de Hankel.
• El determinant d'una matriu de Hankel s'anomena catalecticant.

Operador Hankel

Donada una sèrie formal de Laurent

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n}$$

l'operador Hankel corresponent es defineix com

$$H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]],$$

Això pren un polinomi $g\in \mathbf {C} [z]$ i l'envia al producte $fg$, però descarta tots els poders de $z$ amb un exponent no negatiu, per donar un element a $z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$, la sèrie de potències formals amb exponents estrictament negatius. El mapa $H_{f}$ és d'una manera natural $\mathbf {C} [z]$ -lineal, i la seva matriu respecte als elements $1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]$ i $z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]$ és la matriu de Hankel

$${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.$$

Qualsevol matriu de Hankel sorgeix d'aquesta manera. Un teorema degut a Kronecker diu que el rang d'aquesta matriu és finit precisament si $f$ és una funció racional ; és a dir, una fracció de dos polinomis

$$f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.$$

Aplicacions de les matrius de Hankel

Les matrius de Hankel es formen quan, donada una seqüència de dades de sortida, es desitja la realització d'un espai d'estats subjacent o model de Markov ocult. La descomposició de valors singulars de la matriu de Hankel proporciona un mitjà per calcular les matrius A, B i C que defineixen la realització de l'espai d'estats. La matriu de Hankel formada a partir del senyal s'ha trobat útil per a la descomposició de senyals no estacionaris i la representació temps-freqüència.

Mètode de moments per a distribucions polinomials

El mètode dels moments aplicat a les distribucions polinomials dóna com a resultat una matriu de Hankel que cal invertir per obtenir els paràmetres de pes de l'aproximació de la distribució polinòmica.