Vés al contingut

Matriu de Hankel

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En àlgebra lineal, una matriu de Hankel (o matriu catalèctica), anomenada després d'Hermann Hankel, és una matriu quadrada en la qual cada diagonal inclinada ascendent d'esquerra a dreta és constant. Per exemple,De manera més general, una matriu de Hankel és qualsevol matriu de la formaPel que fa als components, si el element de es denota amb , i suposant , llavors tenim per a tot [1]

Propietats

[modifica]

Operador Hankel

[modifica]

Donada una sèrie formal de Laurentl'operador Hankel corresponent es defineix com

Això pren un polinomi i l'envia al producte , però descarta tots els poders de amb un exponent no negatiu, per donar un element a , la sèrie de potències formals amb exponents estrictament negatius. El mapa és d'una manera natural -lineal, i la seva matriu respecte als elements i és la matriu de HankelQualsevol matriu de Hankel sorgeix d'aquesta manera. Un teorema degut a Kronecker diu que el rang d'aquesta matriu és finit precisament si és una funció racional ; és a dir, una fracció de dos polinomis

Aplicacions de les matrius de Hankel

[modifica]

Les matrius de Hankel es formen quan, donada una seqüència de dades de sortida, es desitja la realització d'un espai d'estats subjacent o model de Markov ocult.[3] La descomposició de valors singulars de la matriu de Hankel proporciona un mitjà per calcular les matrius A, B i C que defineixen la realització de l'espai d'estats.[4] La matriu de Hankel formada a partir del senyal s'ha trobat útil per a la descomposició de senyals no estacionaris i la representació temps-freqüència.

Mètode de moments per a distribucions polinomials

[modifica]

El mètode dels moments aplicat a les distribucions polinomials dona com a resultat una matriu de Hankel que cal invertir per obtenir els paràmetres de pes de l'aproximació de la distribució polinòmica.

Referències

[modifica]
  1. Weisstein, Eric W. «Hankel Matrix» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
  2. «[https://web.mit.edu/6.242/www/images/lec10_6242_2004.pdf Massachusetts Institute of Technology Department of Electrical Engineering and Computer Science 6.242, Fall 2004: MODEL REDUCTION ∗ Hankel Optimal Model Reduction]» (en anglès). [Consulta: 11 maig 2024].
  3. Aoki, Masanao. «Prediction of Time Series». A: Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives (en anglès). New York: Springer, 1983, p. 38–47. ISBN 0-387-12696-1. 
  4. Aoki, Masanao. «Rank determination of Hankel matrices». A: Notes on Economic Time Series Analysis : System Theoretic Perspectives (en anglès). New York: Springer, 1983, p. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.