Distribució uniforme multidimensional

Les distribucions uniformes multidimensionals són una extensió a ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ de la distribució uniforme contínua.

Figura 1. La probabilitat del conjunt A és m(A)/m(D)

La motivació és donar models probabilístics de la idea d'elegir un punt a l'atzar en un conjunt amb probabilitat uniforme, això és, expressat informalment, que <<tots els punts tinguin la mateixa probabilitat>>. Podem veure-ho com una extensió al cas continu de la definició de Laplace de casos favorables dividit per casos possibles, però ara, atès que els casos no es poden comptar directament (n'hi ha una infinitat no numerable), el que es fa és <<mesurar>> d'alguna manera el conjunt de casos possibles i el conjunt dels casos favorables.

Així, en general, una distribució uniforme està lligada a una mesura $m$ com la longitud, l'àrea, el volum, etc., i un conjunt $D$ que compleixi $0<m(D)<\infty$; aleshores la distribució uniforme, o probabilitat geòmetrica, sobre $D$ ve definida per la probabilitat que un punt estigui en un subconjunt $A\subset D$ és

$$P(A)={\frac {m(A)}{m(D)}}.$$

Cal notar que aquesta definició inclou tant la distribució uniforme contínua, on $D=[a,b],{\text{amb}}\ -\infty <a<b<\infty$ i $m$ és la longitud, com la distribució uniforme discreta, on $D$ és un conjunt finit i $m(A)$ és el nombre d'elements del conjunt $A$ ($m$ s'anomena mesura comptadora).

Veurem quatre exemples de distribucions uniformes multidimensionals: en un rectangle, en un cercle, en una circumferència i en una esfera. Els dos primers exemples són essencialment diferents dels altres dos, ja que en els primers es tracta de conjunts del pla i la mesura de referència és l'àrea; mentre que la circumferència també està el pla però té àrea 0, i llavors cal utilitzar la longitud; anàlogament, l'esfera està a $\mathbb {R} ^{3}$ però té volum zero i s'utilitza l'àrea de superfície. També comentarem l'extensió a l'esfera a $n$-dimensional. El llibre de Mathai conté nombrosos exemples de distribucions uniformes en boles, símplexs, etc., així com moltes aplicacions.

Distribucions uniformes en una regió del pla amb àrea finita i no nul.la

Començarem estudiant el cas bidimensional de forma general i després el concretarem al rectangle i al cercle. Sigui $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ (de fet, cal considerar un conjunt de Borel de $\mathbb {R} ^{2}$, vegeu el cas general més avall), amb àrea finita i no nul.la:

$0<{\text{Àrea}}(D)<\infty .$

Aleshores s'anomena distribució uniforme sobre $D$ a la probabilitat

$P(A)={\frac {{\text{Àrea}}(A)}{{\text{Àrea}}(D)}},\quad A\subset D.$

Si designem per $X$ i $Y$ les coordenades cartesianes del punt que elegim a l'atzar, tenim un vector aleatori bidimensional $(X,Y)$ que es diu que té distribució uniforme sobre $D$, i s'escriu $(X,Y)\sim {\cal {U}}(D)$ i compleix que per a $A\subset D$,

$P((X,Y)\in A)={\frac {{\text{Àrea}}(A)}{{\text{Àrea}}(D)}}.$

Llavors, $(X,Y)$ és absolutament continu i té densitat conjunta

$$f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {1}{{\text{Àrea}}(D)}},&{\text{si}}(x,y)\in D,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Demostració

Ens serà d'utilitat la funció indicador d'un conjunt $C$, que designarem per ${\bf {1}}_{C}$:

$${\bf {1}}_{C}(t)={\begin{cases}1,&{\text{si }}t\in C,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

La funció de distribució del vector $(X,Y)$ és

$${\begin{aligned}F(x,y)&=P(X\leq x,Y\leq y)=P{\big (}(X,Y)\in (-\infty ,x]\times (-\infty ,y]{\big )}={\frac {{\text{Àrea}}{\Big (}{\big (}-\infty ,x]\times (-\infty ,y]{\big )}\cap D{\Big )}}{{\text{Àrea}}(D)}}\\&={\frac {1}{{\text{Àrea}}(D)}}\iint {\bf {1}}_{{\big (}-\infty ,x]\times (-\infty ,y]{\big )}\cap D}(u,v)\,du\,dv={\frac {1}{{\text{Àrea}}(D)}}\int _{-\infty }^{x}\int _{-\infty }^{y}{\bf {1}}_{D}(u,v)\,du\,dv,\end{aligned}}$$

d'on es dedueix la funció de densitat de $(X,Y)$ és

$$f_{(X,Y)}(x,y)={\frac {1}{{\text{Àrea}}(D)}}{\bf {1}}_{D}(x,y).$$

Exemple 1: Distribució uniforme en un rectangle

Sigui $D=[a,b]\times [c,d]$ un rectangle, amb $-\infty <a<b<\infty$ i $-\infty <c<d<\infty$. Aleshores la funció de densitat conjunta és

$$f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {1}{(b-a)(d-c)}},&{\text{si }}(x,y)\in (a,b)\times (c,d),\\0,&{\text{en cas contrari}}.\end{cases}}$$

Les marginals de $X$ i $Y$ són:

$$f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}},&{\text{si }}x\in (a,b),\\0,&{\text{en cas contrari,}}\end{cases}}\qquad {\text{i}}\qquad f_{Y}(y)={\begin{cases}{\dfrac {1}{d-c}},&{\text{si }}y\in (c,d),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Així, $X$ té una distribució uniforme en $[a,b]$, $X\sim {\cal {U}}(a,b)$ i $Y$ té una distribució uniforme en $[c,d]$, $Y\sim {\cal {U}}(c,d)$. A més, atès que

$f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y),$

tenim que $X$ i $Y$ són independents.

Exemple 2: Distribució uniforme en un cercle

Sigui $D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ el cercle de radi 1 centrat en l'origen i considerem un vector aleatori $(X,Y)$ amb distribució uniforme sobre $D$. La funció de densitat conjunta serà

$$f_{(X,Y)}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\pi }},&{\text{si }}(x,y)\in D,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Les funcions de densitat marginals són

$$f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}{\sqrt {1-x^{2}}},&{\text{si }}x\in (-1,1),\\0,&{\text{en cas contrari,}}\end{cases}}\quad {\text{i}}\quad f_{Y}(y)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}{\sqrt {1-y^{2}}},&{\text{si }}y\in (-1,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

En conseqüència, ni $X$ ni $Y$ tenen distribució uniforme, i, a més, no són independents. La distribució de $X$ o de $Y$ s'anomena distribució del semicercle de Wigner.

Demostració

Calculem la densitat marginal de $X$,

$$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\,dy.$$

Sigui $x\in \mathbb {R}$.

• Si $x<-1\quad {\text{o}}\quad x>1$, $f_{(X,Y)}(x,y)=0,\ \forall y\in \mathbb {R} .$ Llavors, $f_{X}(x)=0$

• Si $x\in (-1,1)$, (vegeu la Figura 2) tenim que

- Si $y<-{\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\text{o}}\quad y>{\sqrt {1-x^{2}}}$, $f_{(X,Y)}(x,y)=0$.

- Si $y\in {\big (}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\big )}$, llavors $f_{(X,Y)}(x,y)=1/\pi$.

Llavors,

$$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{(X,Y)}(x,y)\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dy={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {1-x^{2}}}.$$

Figura 2. Fixt $x\in (-1,1)$, la funció de densitat conjunta és zero a menys que $y\in {\big (}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\big )}$

És interessant estudiar aquesta distribució en coordenades polars, $(r,\varphi )$, $r\geq 0$ i $\varphi \in [0,2\pi )$:

Figura 3. Coordenades polars

$$\left.{\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \\y&=r\sin \varphi \end{aligned}}\right\}$$

Vegeu la Figura 3. Considerem el vector aleatori $(R,\Phi )$ que dóna les coordenades polars del punt $(X,Y)$; la seva funció de densitat conjunta és

$$f_{(R,\Phi )}(r,\varphi )={\begin{cases}{\dfrac {r}{\pi }},&{\text{si }}(r,\varphi )\in (0,1)\times (0,2\pi ),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Les funcions de densitat de $R$ i $\Phi$ són:

$$f_{R}(r)={\begin{cases}{2r},&{\text{si }}r\in (0,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}\qquad {\text{i}}\qquad f_{\Phi }(\varphi )={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\pi }},&{\text{si }}\varphi \in (0,2\pi ),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Així, $\Phi$ té una distribució uniforme en $(0,2\pi )$, però $R$ no té distribució uniforme. A més, és clar que

$$f_{(R,\Phi )}(r,\varphi )=f_{R}(r)\,f_{\Phi }(\varphi ),$$

d'on $R$ i $\Phi$ són independents.

Per tant, elegir un punt a l'atzar en un cercle de radi 1 d'acord amb una distribució uniforme equival a elegir de manera independent l'angle $\varphi \in [0,2\pi )$, i la distància $r\in [0,1]$ del centre del cercle al punt amb densitat $f_{R}(r)=2r,\ r\in (0,1)$.

Demostració

Figura 4. Sector circular S d'angle $\varphi >$ i radi $r$. La circumferència exterior té radi 1.

Per calcular la densitat $f_{(R,\Phi )}$ es pot fer el canvi de variables $(X,Y)\to (R,\Phi )$. Però és més senzill calcular directament la funció de distribució del vector $(R,\Phi )$. Donats $\varphi \in [0,2\pi )$ i $r\in [0,1]$, sigui $S$ el sector circular d'angle $\varphi$ i radi $r$, vegeu la Figura 4.

Aleshores,

$$P(R\leq r,\,\Phi \leq \varphi )=P{\big (}\{(R,\Phi )\in S\}{\big )}={\frac {{\text{Àrea}}(S)}{\pi }}={\frac {\varphi \pi r^{2}/2\pi }{\pi }}={\frac {\varphi r^{2}}{2\pi }}.$$

Els altres valors de la funció de distribució, quan $r\geq 1$ o $r<0$ o $\varphi \geq 2\pi$, etc. és calculen de manera similar. Aleshores, derivant respecte $r$ i $\varphi$, es dedueix la funció de densitat conjunta del vector aleatori $(R,\Phi )$. La densitat conjunta factoritza en producte d'una funció de $r$ i una de $\varphi$, d'on es dedueix que ambdues variables són independents. Calculant les constants normalitzadores es calculen les funcions de densitat de cadascuna de les variables.

Extensió a ℝⁿ

Més generalment, a $\mathbb {R} ^{n}$ considerem la $\sigma$-àlgebra de Borel ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$i designem per $\ell _{n}$ la mesura de Lebesgue a $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$. Sigui $D\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $0<\ell _{n}(D)<\infty$. Aleshores la distribució uniforme sobre $D$ és la probabilitat tal que si $A\in {\mathcal {B}}(D)=\{D\cap B,\ B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\cap D$,

$$P(A)={\frac {\ell _{n}(A)}{\ell _{n}(D)}}.$$

Un vector aleatori $n$-dimensional $(X_{1},\dots ,X_{n})$ té distribució uniforme sobre $D$ i s'escriu $((X_{1},\dots ,X_{n})\sim {\cal {U}}(D)$ si per qualsevol $A\in {\mathcal {B}}(D)$

$$P((X_{1},\dots ,X_{n})\in A)={\frac {\ell _{n}(A)}{\ell _{n}(D)}}.$$

En aquest cas, $(X_{1},\dots ,X_{n})$ és absolutament continu i té densitat conjunta

$$f_{(X_{1},\dots ,X_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}{\dfrac {1}{\ell _{n}(D)}},&{\text{si }}(x_{1},\dots ,x_{n})\in D,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Distribució uniforme en una circumferència unitat

Considerem una circumferència $D$ de radi 1. Elegir un punt a l'atzar o amb distribució uniforme sobre la circumferència vol dir que la probabilitat que un punt estigui en un arc de ${\stackrel {\frown }{AB}}$ és igual a la longitud de l'arc dividit per la longitud total de la circumferència.

$$P({\text{punt}}\in {\stackrel {\frown }{AB}})={\frac {{\text{longitud}}({\stackrel {\frown }{AB}})}{{\text{longitud}}(D)}}={\frac {{\text{longitud}}({\stackrel {\frown }{AB}})}{2\pi }}.$$

La distribució uniforme en la circumferència en coordenades polars

Figura 5. L'angle φ determina un punt sobre la circumferència unitat

Figura 6. L'arc AB de la circumferència unitat mesura φ2-φ1 radians

Pel estudiar aquesta distribució és millor començar amb les coordenades polars $(r,\varphi )$, però, atès que tots els punts de la circumferència unitat tenen $r=1$, es redueixen a l'angle $\varphi$, vegeu la Figura 5. La distribució uniforme sobre la circumferència es modelitza mitjançant una variable aleatòria $\Phi$ amb distribució uniforme sobre l'interval $[0,2\pi )$: en efecte, l'arc ${\stackrel {\frown }{AB}}$ quedarà determinat pels angles $\varphi _{1}$ i $\varphi _{2}$ que especifiquen $A$ i $B$ respectivament (vegeu la Figura 6), i tenint en compte que un arc d'una circumferència de radi 1 mesura en radians igual que l'angle central corresponent, tenim que

$$P(\Phi \in {\stackrel {\frown }{AB}})={\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\pi }}.$$

La distribució uniforme en la circumferència en coordenades cartesianes

Sigui $(X,Y)$ un vector aleatori amb distribució uniforme en la circumferència, això és,

$$P((X,Y)\in {\stackrel {\frown }{AB}})={\frac {{\text{longitud}}({\stackrel {\frown }{AB}})}{2\pi }}.$$

Aquest vector aleatori té les següents propietats:

1. $(X,Y)$ no té densitat conjunta (respecte la mesura de Lebesgue al pla), ja que està concentrat en la circumferència $C$ que té àrea 0; així, si existís una funció $f(x,y)$ tal que per a $E\subset \mathbb {R} ^{2}$,

$$P((X,Y)\in E)=\iint _{E}f(x,y)\,dx\,dy,$$

tindríem

$$P((X,Y)\in E)=P((X,Y)\in E\cap D)\leq P((X,Y)\in D)=\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=0,$$

la qual cosa és absurda.

2. $X$ i $Y$ no són independents, ja que $X^{2}+Y^{2}=1$.

3. La funció de densitat de $X$ o de $Y$ és

$$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}},&{\text{si }}x\in (-1,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

que s'anomena distribució de l'arc sinus i que també és una distribució Beta de paràmetres $p=q=1/2$ amb $a=-1$ i $b=1$.

En efecte, per simetria ambdues variables tenen la mateixa distribució, ja que la longitud de un arc de la circumferència és invariant per rotacions, i per tant, podem intercanviar el paper de $X$ i de $Y$. Per calcular la densitat de $X$ es fa el canvi de variables $X=\cos \Theta$.

Relació amb les variables normals

La següent propietat estudia la relació entre la distribució uniforme a la circumferència i les variables normals; és molt important i proporciona un mètode per generar distribucions uniformes.

Propietat. Siguin $Z_{1}$ i $Z_{2}$ dues variables aleatòries independents, ambdues amb distribució normal centrada amb variància $\sigma ^{2}$, ${\cal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Aleshores el vector aleatori ${\big (}Z_{1}/{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\,Z_{2}/{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}}{\big )}$ té una distribució uniforme a la circumferència de radi 1.

Demostració

Sigui ${\stackrel {\frown }{AB}}$ un arc de la circumferència corresponent a $[\varphi _{1},\varphi _{2}]$. Aleshores

$$P{\Big \{}{\Big (}{\frac {Z_{1}}{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}}},{\frac {Z_{1}}{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}}}{\Big )}\in {\stackrel {\frown }{AB}}{\Big \}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\bf {1}}_{\stackrel {\frown }{AB}}{\Big (}{\frac {z_{1}}{\sqrt {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}}}\,{\frac {z_{2}}{\sqrt {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}}}{\Big )}e^{-(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})/2\sigma ^{2}}\,dz_{1}\,dz_{2}.$$

Fent un canvi a coordenades polars, el terme de la dreta esdevé

$${\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\bf {1}}_{\stackrel {\frown }{AB}}(\cos \varphi ,\sin \varphi )e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}}r\,dr\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}/2\sigma ^{2}}dr\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi ={\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2\pi }},$$

amb la qual cosa queda demostrada la propietat.

Distribució uniforme en l'esfera unitat

Anem a estudiar la distribució uniforme en l'esfera de radi 1 que designarem per $D$. Tal com hem dit a la introducció, s'utilitza l'àrea de superfície, a la que ens referirem senzillament com Àrea. Com en els altres casos, elegir un punt a l'atzar o amb distribució uniforme en una esfera vol dir que la probabilitat que un punt estigui en una regió $A$ de l'esfera és igual a l'àrea d' $A$ dividit per l'àrea total de l'esfera,

$$P(A)={\frac {{\text{Àrea}}(A)}{4\pi }}.$$

Figura 7. Coordenades esfèriques d'un punt

És convenient introduir les coordenades esfèriques, $(r,\theta ,\varphi )$, $r\geq 0$, $\theta \in [0,\pi )$ i $\varphi \in [0,2\pi )$, vegeu la Figura 7,

$$\left.{\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi \\y&=r\sin \theta \sin \varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}\right\}$$

L'esfera en coordenades polars equival al conjunt $\{1\}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )$, i per tant podem prescindir de la coordenada $r$, i en tenim prou especificant $(\theta ,\varphi )$; aquesta és la parametrització habitual de l'esfera que es fa servir en Càlcul vectorial.

Sigui $(\Theta ,\Phi )$ un vector aleatori que ens dóna la posició d'un punt elegit a l'atzar en coordenades esfèriques, és a dir, tals que donat un conjunt $A$ de l'esfera,

$$P{\big (}(\Theta ,\Phi )\in A{\Big )}={\frac {1}{4\pi }}\,{\text{Àrea}}(A).$$

Propietat. El vector aleatori $(\Theta ,\Phi )$ és absolutament continu (respecte la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{2}$) amb densitat conjunta.

$$f_{(\Theta ,\Phi )}(\theta ,\varphi )={\begin{cases}{\dfrac {1}{4\pi }}\,\sin \theta ,&{\text{si }}(\theta ,\varphi )\in (0,\pi )\times (0,2\pi ),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Les variables aleatòries $\Theta$ i $\Phi$ són independents i tenen densitats

$$f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\,\sin \theta ,&{\text{si }}\theta \in (0,\pi ),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}\qquad {\text{i}}\qquad f_{\Phi }(\varphi )={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\pi }},&{\text{si }}\varphi \in (0,2\pi ),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Demostració

Anem a buscar la funció de distribució del vector $(\Theta ,\Phi )$. Fixem $(\theta ,\varphi )\in (0,\pi )\times (0,2\pi )$. Designem per $C$ la intersecció d'un casquet esfèric que de semiangle central $\theta$ i un fus d'angle $\varphi$, que correspon a la zona negra de la Figura 8.

Figura 8. La zona negra és la intersecció d'un casquet de semiangle central θ i un fus d'angle φ

D'acord amb la fórmula de la superfície del casquet esfèric en funció del semiangle,

$${\text{Àrea}}(C)=\varphi (1-\cos \theta ).$$

D'altra banda,

$$\{\Theta \leq \theta ,\,\Phi \leq \varphi \}=\{(\Theta ,\Phi )\in (0,\theta )\times (0,\varphi )\},$$

d'on

$$P\{\Theta \leq \theta ,\,\Phi \leq \varphi \}={\frac {1}{4\pi }}\,{\text{Àrea}}(C)={\frac {1}{4\pi }}\,\varphi (1-\cos \theta ).$$

Per derivació es troba la densitat conjunta. És clar que aquesta funció descompon com a producte d'una funció de $\theta$ i una de $\varphi$, d'on es dedueix la independència de $\Theta$ i $\Phi$. Llavors, només cal buscar les constants normalitzadores per tal que ambdues siguin funcions de densitat.

Observació. Es podria pensar que elegir un punt sobre una esfera amb distribució uniforme equival a elegir de forma independent $\Theta$ i $\Phi$, ambdues amb distribució uniforme. Però això no és correcte: tal com veiem, $\Theta$ no té una distribució uniforme.

Tal com hem fet en el cas de la circumferència, anem a utilitzar coordenades cartesianes. Sigui $(X,Y,Z)$ un vector aleatori que dona les coordenades cartesianes d'un punt elegit a l'atzar en una esfera de radi 1. Aleshores:

1. $(X,Y,Z)$ no té densitat conjunta (respecte la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{3}$), ja que està concentrat en l'esfera D que té volum zero.

2. $X$, $Y$ i $Z$ no són independents, ja que $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1$.

3. Les variables $X$, $Y$ o $Z$ tenen distribució uniforme en [-1,1], és a dir, amb densitat

$$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}},&{\text{si }}x\in (-1,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

4. La funció de densitat conjunta de dues variables és.

$$f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\pi {\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}},&{\text{si }}x^{2}+y^{2}<1,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

La relació amb les variables normals amb també és veritat en aquest cas. Concretament, si $Z_{1}$,$Z_{2}$ i $Z_{2}$ són variables aleatòries independents, totes amb distribució normal centrada amb variància $\sigma ^{2}$, ${\cal {N}}(0,\sigma ^{2})$, aleshores el vector aleatori ${\big (}Z_{1}/{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}}},\,Z_{2}/{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}}},Z_{3}/{\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}}}\,{\big )}$ té una distribució uniforme en l'esfera de radi 1.

Distribució uniforme en una esfera n-dimensional

Utilitzarem la notació habitual i designarem per $S^{n-1}$ l'esfera a $\mathbb {R} ^{n}$ de radi 1 amb centre l'origen:

$$S^{n-1}=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:\ \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1\}.$$

Sigui ${\mathcal {B}}(S^{n-1})$ la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $S^{n-1}$,

$${\mathcal {B}}(S^{n-1})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\cap S^{n-1}.$$

S'anomena mesura de superfície a la mesura $\sigma _{n}$ en $(S^{n-1},{\mathcal {B}}(S^{n-1}))$ definida per

$$\sigma _{n}(A)=n\,\ell _{n}\,{\big (}\{t\,{\boldsymbol {x}},\,{\boldsymbol {x}}\in A,t\in [0,1]\}),\ A\in {\mathcal {B}}(S_{n-1}),\qquad \qquad (*)$$

on, $\ell _{n}$ és la mesura de Lebesgue a $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ i per ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$,

$$t\,{\boldsymbol {x}}=(tx_{1},\dots ,tx_{n}).$$

Aquesta mesura compleix que per a $f:S^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R}$ mesurable i afitada,

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,d\ell _{n}({\boldsymbol {x}})=\int _{(0,\infty )}\int _{S^{n-1}}f(r{\boldsymbol {u}})\,d\sigma ({\boldsymbol {u}})dr.$$

La mesura $\sigma _{n}$ coincideix (excepte, potser, una constant multiplicativa) amb la mesura de Haussdorf de dimensió $n-1$ restringida a $S^{n-1}$.

És important remarcar que, atès que la mesura de Lebesgue $\ell _{n}$ és invariant per rotacions també ho és $\sigma _{n}$.

Per $n=3$, $\sigma _{3}$ és l'extensió de l'àrea de superficie a tots els borelians de l'esfera i coincideix amb aquesta per a les superfícies habituals: casquets esfèrics, triangles esfèrics, etc.

Demostració

Sigui $A$ una regió de l'esfera que en coordenades polars s'escrigui $\{1\}\times [\theta _{1},\theta _{2}]\times [\varphi _{1},\varphi _{2}]$, amb $0\leq \theta _{1}<\theta _{2}\leq \pi$ i $0\leq \varphi _{1}<\varphi _{2}\leq 2\pi$. Designem per $A^{*}$ el conjunt que apareix en la definició (*) de $\sigma _{n}$:

$$A^{*}=\{t\,{\boldsymbol {x}},\,{\boldsymbol {x}}\in A,t\in [0,1]\},$$

que en coordenades esfèriques correspon a $[0,1]\times [\theta _{1},\theta _{2}]\times [\varphi _{1},\varphi _{2}].$ Aleshores, fent un canvi a coordenades esfèriques, i tenint en compte que el jacobià és $r^{2}\sin \theta$,

$$\sigma _{2}(A)=3\,\ell _{3}(A^{*})=3\int _{A^{*}}dx\,dy\,dz=3\int _{0}^{1}\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi =(\varphi _{2}-\varphi _{1})(\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}).$$

Així, per exemple, si $A$ és un casquet esfèric de semiangle central $\alpha$, que en coordenades esfèriques correspon a $\{1\}\times [0,\alpha ]\times [0,2\pi ]$, tindrem

$$\sigma _{2}(A)=2\pi (1-\cos \alpha ),$$

que és la superfície del casquet esfèric en funció del semiangle central.

Aleshores l'espai de probabilitat corresponent a la distribució uniforme sobre $S^{n-1}$ és $(S^{n-1},{\mathcal {B}}(S^{n-1}),p)$ on

$$p(A)={\frac {\sigma _{n}(A)}{\sigma _{n}(S^{n-1})}}.$$

Recordem que

$$\sigma _{n}(S^{n-1})={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}.$$

Sigui $(X_{1},\dots ,X_{n})$ un vector aleatori amb districució uniforme a $S^{n-1}$. Aleshores,

1. $(X_{1},\dots ,X_{n})$ no té densitat conjunta respecte la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{n}$, ja que $\ell _{n}(S^{n-1})=0.$

2. $(X_{1},\dots ,X_{n})$ no són independents, ja que $\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}=1$.

3. Donades $k=1,\dots ,n-1$ d'aquestes variables, tenen densitat conjunta:

$$f(x_{1},\dots ,x_{k})={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-k)/2)\,\pi ^{k/2}}}{\big (}1-\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}{\big )}^{(n-k)/2-1},&{\text{si }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}<1,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Finalment, també tenim la relació amb les lleis normals: Siguin $Z_{1},\dots ,Z_{n}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució normal centrada amb variància $\sigma ^{2}$, ${\cal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Escrivim $V={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}Z_{i}^{2}}}.$Aleshores el vector ${\big (}Z_{1}/V,\dots Z_{n}/V{\big )}$ té distribució uniforme sobre $S^{n-1}$.

Bibliografia

• Dudley, R. M.. Real analysis and probability. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-511-04208-6. 
• Fang, K.; Kotz, S.; Ng, K. W.. Symmetric multivariate and related distributions. Londres: Chapman and Hall, 1990. ISBN 0-412-31430-4. 
• Folland, G. B.. Real analysis : modern techniques and their applications. 2a edició. Nova York: Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0. 
• Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics, Vol. 1. New York, NY: Chapman & Hall, 1994. ISBN 0-412-05221-0. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; N.. Continuous univariate distributions, Vol.2. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58495-9. 
• Krickeberg, Klaus. Teoría de la probabilidad. Barcelona: Teide, 1973. ISBN 84-307-7324-X. 
• Marsden, Jerrold E. Vector calculus. 6th ed., International ed. Nova York: W.H. Freeman, 2012. ISBN 978-1-4292-2404-8. 
• Mathai, A. M.. An introduction to geometrical probability : distributional aspects with applications. Amsterdam: Gordon & Breach, Science Pub, 1999. ISBN 90-5699-681-9. 
• Mattila, Pertti. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces : fractals and rectifiability. Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-46576-1. 
• Muller, M. E. «A Note on a Uniformly Method for Generating Points on N-Dimensional Spheres». Commun. ACM 2, 1959, pàg. 19-20.
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V.. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. Chapman and Hall/CRC, 2007. 
• Rényi, A. Calcul des probabilités. París: Dunod, 1966.