Punt de sella

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Punt de sella entre dos màxims topogràfics (punt vermell). Les línies més gruixudes corresponen a contorns de nivell.

Un punt de sella o punt de enselladura és el punt sobre una superfície en què la pendent és zero però no es tracta d'un extrem local (màxim o mínim). El nom prové de la semblança amb una sella de muntar de les superfícies al voltant d'un punt de sella.[1]

Definició[modifica | modifica el codi]

Matemàticament es defineix com un punt d'una funció en què la primera derivada és nul·la, mentre que el signe de la segona derivada (curvatura) depèn de la direcció en que es calculi. Si en un punt d'una funció de dues variables f (x, y) el gradient és zero, només pot tractar-se d'un màxim, un mínim o un punt de sella .

Propietats[modifica | modifica el codi]

D'acord amb la seva definició, el punt d'ensilladura és el més elevat que permet connectar els dos dominis alts adjacents i és també el pas més baix que comunica els dos dominis adjacents que queden per sota. Una altra propietat d'aquests punts és que per ells passa la corba de nivell més profunda que connecta dos dominis elevats, que determina l'elevació a la qual cal descendir per caminar d'una muntanya a una altra. Per un punt d'ensilladura passa també el camí més baix que creua entre dos màxims de la superfície (dues muntanyes).

Rellevància[modifica | modifica el codi]

En descriure el relleu terrestre s'usen dos termes equivalents: coll de muntanya i llindar submarí. Un exemple és el Llindar de Camarinal, que separa el Oceà Atlàntic de l'Mar Mediterrani. Per definició, els llacs tenen el seu desguàs en un punt de sella de la topografía.

Exemple[modifica | modifica el codi]

El punt d'ensilladura està indicat pel punt vermell, i la línia verda correspon al camí de menor elevació que creua entre els dos màxims.

Un exemple típic és el Paraboloide hiperbòlic, la funció en  R^3 :

 Z ={x}^2 -{y}^2 \, .

Per determinar els seus extrems relatius, calculem la seva derivada parcial respecte a x :

 \frac{\partial z}{\partial x}= 2x \,

al punt on aquesta derivada valgui zero, pot ser un extrem relatiu:

 \frac{\partial z}{\partial x}= 0 \longrightarrow 2x = 0 \longrightarrow x = 0 \,

al punt x = 0 pot haver un extrem relatiu, calculant la seva derivada segona veiem:

 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= 2

que és positiva, és a dir, indica un mínim: seguint l'eix de les x , al punt x = 0 la funció presenta un mínim relatiu.

Vegem això mateix en la direcció de l'eix de les y , la seva derivada parcial primera és:

 \frac{\partial z}{\partial y}=-2y \,

Quan aquesta derivada primera valgui zero, pot presentar un extrem relatiu:

 \frac{\partial z}{\partial y}= 0 \longrightarrow-2y = 0 \longrightarrow y = 0 \,

al punt y = 0 , es dóna aquesta circumstància, si veiem el seu derivada segona tenim:

 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}= -2 \,

que pren valor negatiu, després aquest punt y = 0 , és un màxim relatiu, el punt x = 0 , y = 0 , és un punt de sella, atès que en la direcció de les x és mínim i en la direcció de les y és un màxim.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]

  1. Tema 5? Extrems de funcions de diversers variables, Matemàtiques II, Universitat Politècnica de Catalunya,