Quantificador (lògica)

A lògica i teoria de conjunts, un quantificador s'utilitza per indicar quants elements d'un conjunt donat compleixen amb certa propietat. Existeixen molts tipus de quantificadors, però potser els més estudiats i utilitzats siguin:

• Quantificador universal

$\forall \,x,y\ldots$

Per a tot x, i. ..

• Quantificador existencial

$\exists \,x,y\ldots$

Hi ha almenys un x, i. ..

• Quantificador existencial únic

$\exists !\,x,y\ldots$

Hi ha exactament un x, i. ..

• Negació del quantificador existencial

$\nexists \,x,y\ldots$

No hi ha cap x, i. ..

Declaracions quantificades

Les declaracions quantificades s'escriuen en la forma:

• $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Per a tot x que pertany a R , es compleix que 2x pertany a R .

• $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Per a tot a que pertany a R , hi ha x que pertany a R , que aquesta comprès entre a i a+1 .

• $\forall \,a\in \mathbb {R} -{0},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Per a tot a que pertany a R diferent de zero, hi ha un únic x que pertany a R , que compleix que a per x és igual a 1 .

Proposicions

Quantificació universal

El quantificador universal es fa servir per afirmar que tots els elements d'un conjunt compleixen amb una determinada propietat. Per exemple:

$\forall x\in A\quad P(x)$.

Aquesta afirmació sol usar-se com l'equivalent de la proposició següent:

$\{x\in A\mid P(x)\}=A$

Quantificació existencial

El quantificador existencial es fa servir per indicar que hi ha un o més elements en el conjunt $A$ (no necessàriament únic/s) que compleixen una determinada propietat. Es escriu:

$\exists \,x\in A\;:\quad p(x)$.

Aquesta proposició sol interpretar-se com l'equivalent de la proposició següent:

$\{x\in A\mid \quad p(x)\}\neq \emptyset$

Quantificació existencial única

El quantificador existencial amb marca d'unicitat es fa servir per indicar que hi ha un únic element d'un conjunt $A$ que compleix una determinada propietat. Es escriu:

$\exists !\,x,y\in A\quad p(x),q(i)$.

Es llegeix "Hi ha una única parella d'elements de $A$ complint una pi una altra q"

Equivalències

Es defineixen:

$\neg \forall x\in A\quad P(x)\qquad \Leftrightarrow \qquad \exists x\in A\quad \neg P(x)$

$\neg \exists x\in A\quad P(x)\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall x\in A\quad \neg P(x)$

Vegeu també

• Teoria de conjunts
• Lògica de primer ordre