Vés al contingut

Resolvent (anàlisi matemàtica)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, la resolvent és una tècnica que consisteix a aplicar conceptes de l'anàlisi complexa a l'estudi de l'espectre d'un operador sobre un espai de Hilbert o sobre un espai més general.

La resolvent captura les propietats espectrals d'un operador en l'estructura analítica de la resolvent. Donat un operador A, hom pot definir la resolvent com

Entre altres usos, hom pot fer servir la resolvent per resoldre equacions integrals de Fredholm no-homogènies; una aproximació és una solució en sèrie de potències, la sèrie de Liouville–Neumann.

Hom pot fer servir la resolvent de A directament per obtenir informació sobre la descomposició espectral de A. Per exemple, suposem que és un valor propi aïllat en l'espectre de A. És a dir, suposem que existeix una corba simple tancada en el pla complex que separa de la resta de l'espectre de A. Llavors el residu

defineix un operador de projecció sobre el -espai propi de A

El teorema de Hille–Yosida estableix una relació entre la resolvent i una integral sobre el grup uniparamètric de transformacions generades per A. Així, per exemple, si A és un operador autoadjunt, llavors és un grup uniparamètric d'operadors unitaris. La resolvent es pot expressar com la integral

Història

[modifica]

El primer ús que es coneix de l'operador resolvent fou Erik Ivar Fredholm el 1903, en un article publicat a Acta Mathematica, i que va ajudar a crear la teoria d'operadors moderna. El nom de resolvent fou atribuït per David Hilbert.

Identitat resolvent

[modifica]

Per qualssevol de , el conjunt resolvent d'un operador , es compleix la identitat resolvent (també anomenada identitat de Hilbert):[1]

(Notem que Dunford i Schwartz defineixen la resolvent com , així que la fórmula anterior és lleugerament diferent de la d'aquests autors.)

Resolvent compacta

[modifica]

Quan hom estudia un operador no-afitat sobre un espai de Hilbert , si existeix algun tal que és un operador compacte, llavors diem que té resolvent compacta. L'espectre d'un tal és un subconjunt discret de . Si, a més, és autoadjunt, llavors i existeix una base ortonormal de vectors propis de amb valors propis respectivament. També, no té cap punt d'acumulació finit.[2]

Referències

[modifica]
  1. Dunford and Schwartz, Vol I, Lemma 6, p568.
  2. Taylor, p515.

Bibliografia

[modifica]
  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.; amb l'assistència de William G. Bade i Robert G. Bartle. «Part I: General Theory». A: Linear operators.. Wiley Classics Library ed.. Nova York: Wiley, 1988. ISBN 0-471-60848-3. 
  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.; with the assistance of William G. Bade and Robert G.. «Part II: Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space». A: Linear operators. Wiley Classics Library ed.. Nova York: Interscience Publishers, 1988. ISBN 0-471-60847-5. 
  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. «Part III: Spectral Operators». A: Linear operators. Repr.. Nova York [u.a.]: Wiley-Interscience, 1988. ISBN 0-471-60846-7. 
  • E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365–390.
  • Kato, Tosio. Perturbation theory for linear operators. Corr. printing of the 2nd ed.. Berlín: Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-07558-5. 
  • Taylor, Micheal E. Partial Differential Equations I. Nova York, NY: Spriger-Verlag, 1996. ISBN 7-5062-4252-4. 

Vegeu també

[modifica]