Subespai vectorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra lineal, donat un espai vectorial E sobre un cos K, un subespai vectorial de E és una part no buida F de E estable per combinació lineal. En altres paraules, aquesta part ha de verificar:

  • La suma vectorial de dos vectors de F pertany a F;
  • La multiplicació d'un vector de F per un escalar pertany a F .

Aquestes condicions imposen que el vector nul pertanyi a F . Proveït de les lleis induïdes F és un K-espai vectorial. L'Espai nul \{0\} i l'espai total E són respectivament els subespais vectorials més petit i més gran de E. En general, una unió finita de subespais vectorials no és estable per combinacions lineals. Tanmateix, donada una família (F_i)_{i\in I} de subespais vectorials de E, la seva intersecció és un subespai vectorial de E. La suma de la família (F_i)_{i\in I} és el subespai més petit que contingui tots els Fi.

Definició equivalent[modifica | modifica el codi]

El subconjunt F és un \mathbb K-subespai vectorial de E si i només si:

  •  F \subset E
  •  F \neq \emptyset  ;
  •  \forall u,v \in F, \ u + v \in F  ;
  •  \forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F .

Això equival a:

  •  F \subset E
  •  F \neq \emptyset ;
  •  \forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F.

En Altres Paraules F és un subespai vectorial de E si i només si no és buit i és estable per combinació lineal.

Nota: en tot espai vectorial E no reduït a \ \{0\}, hi ha almenys dos subespais vectorials. Són \ \{0\} i E mateix: se'n diu els dos subespais vectorials trivials .

Observació 1: un subespai vectorial F de E conté necessàriament el vector nul \ 0_E de E (en efecte, com que F és no buit, existeix almenys un element \ u_0 de F; llavors, per a tot \ \lambda en \ \mathbb{K}, \lambda u_0 pertany a F; la tria \ \lambda = 0 dóna 0_E = 0 \cdot u_0 \in F).

És per això, quan es tracta de demostrar que un subconjunt F de E és un subespai vectorial de E, es sovint es comença comprovant que F no sigui buit assegurant-se que conté el vector nul (si no el conté, immediatament hi ha contradicció).

Observació 2: quan E no es redueix a \ \{0\}, es defineix en el conjunt  G = E \setminus \{0_E\} una relació d'equivalència R que consisteix a dir que dos elements V i W estan relacionats per R si existeix un element k no nul del cos commutatiu K tal que W = k V. Llavors P, el conjunt quocient de G per R, té una estructura molt rica d'espai projectiu.

Intersecció de dos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Propietat[modifica | modifica el codi]

Siguin  F_1\quad i  F_2\quad dos subespais vectorials de E. Llavors:

  •  F_1 \cap F_2 est un subespai vectoriel de E.

Més generalment, tota intersecció de subespais vectorials és un subespai vectorial, és a dir que: per a tota família  (F_i)_{i\in I} de subespais vectorials de  E ,  \cap_{i\in I}F_i és un subespai vectorial de  E .

Unió de subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

En el cas general, l'estructura de subespai vectorial no és estable per la unió. Existeix dues proposicions que tracten aquest cas.

  • E és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si (F_i) és una família finita de subespais vectorials de E tots diferents de E, llavors la unió de la família  (F_i) és diferent de E .
  • Si  (F_i) és una família de subespais vectorials de E tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió de la família  (F_i) és un subespai vectorial de E.


Suma de dos o diversos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin  F_1\quad i  F_2\quad dos subespais vectorials de E . Es defineix el subconjunt següent de E:

 F_1 + F_2 = \left\{x \in E / \exists x_1 \in F_1, \exists x_2 \in F_2, x = x_1 + x_2\right\} .

Propietat i definició[modifica | modifica el codi]

  •  F_1 + F_2\quad és un subespai vectorial de E que conté a la vegada  F_1 \quad i  F_2\quad . Se l' anomena suma de  F_1\quad i  F_2\quad.
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada  F_1 \quad i  F_2\quad , llavors  F_1 + F_2 \subset F .
És per què es diu que  F_1 + F_2\quad és el subespai vectorial més petit de E que conté  F_1 \cup F_2. Això equival a:
  •  F_1 + F_2\quad és la intersecció de tots els subespai vectorials de E que contenen  F_1 \cup F_2.

Nota: la unió de dos subespais vectorials no és, en general, un subespai vectorial; perquè ho sigui, cal i n'hi ha prou que un dels dos estigui inclòs en l'altre.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Siguin  F_1, F_2, \dots, F_m m subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

 \sum_{i = 1}^m F_i = \left\{x \in E / \exists (x_1, x_2, \dots, x_m) \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_m, x = x_1 + x_2 + \cdots + x_m\right\} .
És el conjunt dels vectors de E que admeten almenys una descomposició en suma de vectors que pertanyena respectivament als subespais vectorials  F_1, F_2, \dots, F_m (si aquesta descomposició és a més única, la suma dels subespais s'anomena directa.

Llavors:

  •  \sum_{i = 1}^m F_i és un subespai vectorial de E que conté a la vegada  F_1, F_2, \dots, F_m . Se l' anomena suma d'aquests subespais.
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada  F_1, F_2, \dots, F_m , llavors  \sum_{i = 1}^m F_i \subset F .
Es diu també que  \sum_{i = 1}^m F_i és el subespai vectorial més petit de E que conté  F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m.

subespai vectorial engendrat[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui A una part qualsevol de E .

  • Si A és no buit, es defineix el subconjunt següent de E:
 \mbox{Vect}(A) = \left\{ \sum_{i=1}^n {\lambda}_i x_i \Bigg/ n \in \mathbb{N}^\star, {\lambda}_i \in \mathbb K, x_i \in A \right\}.
(així, \mbox{Vect}(A) és per definició el conjunt de les combinacions lineals d'elements de A ).
  • Es completa aquesta definició posant \mbox{Vect}(\emptyset) = \{0_E\}.

Propietat 1[modifica | modifica el codi]

Sigui A una part de E .

  • El conjunt \mbox{Vect}(A) és un subespai vectorial de E, i conté A .
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté A, llavors \mbox{Vect}(A) \subset F.
És per això que es diu que \mbox{Vect}(A) és el subespai vectorial més petit de E que contenint A .
Se'l anomena subespai vectorial de E engendrat per A .
  • El subespai vectorial engendrat per A és la intersecció de tots els subespais vectorials de E que contenen A .

Nota: es considera l'aplicació \varphi: \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E), A \mapsto \mbox{Vect}(A), on  \mathcal{P}(E) designa el conjunt de les parts de E .

Es designa per A i B dues parts qualssevol de E. Resulta de la propietat precedent que:

  • L'aplicació \varphi és creixent: si A \subset B, llavors  \mbox{Vect}(A) \subset \mbox{Vect}(B) .
  • L'aplicació \varphi és extensiva:  A \subset \mbox{Vect}(A) .
  • L'aplicació \varphi és idempotent:  \mbox{Vect}''\mbox{Vect}(A'' = \mbox{Vect}(A)
Es diu llavors que \varphi és una clausura. Els subespais vectorials de E són els punts fixos de \varphi :
  • Perquè una part A de E sigui un subespai vectorial de E, cal i n'hi ha prou que  \mbox{Vect}(A) = A.

Propietat 2[modifica | modifica el codi]

Siguin A i B dues parts de E . Llavors:

  •  \mbox{Vect}(A) + \mbox{Vect}(B) = \mbox{Vect}(A \cup B)

Espai vectorial finit[modifica | modifica el codi]

Article principal: Espai vectorial finit

Sigui K un cos finit de cardinal q, i sigui E un K-espai vectorial de dimensió finita n sobre K. Llavors el conjunt E és finit de cardinal q n . Posseeix un nombre finit de subespais vectorials. El nombre de subespais de dimensió k val

\frac{(q^n-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^{k}-q)\dots (q^k-q^{k-1})}.

Aquesta quantitat és el quocient del nombre de famílies lliures a k elements de E pel nombre de les bases en un K-espai vectorial de dimensió k .