Subespai vectorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra lineal, donat un espai vectorial E sobre un cos K, un subespai vectorial de E és una part no buida F de E estable per combinació lineal. En altres paraules, aquesta part ha de verificar:

  • La suma vectorial de dos vectors de F pertany a F;
  • La multiplicació d'un vector de F per un escalar pertany a F.

Aquestes condicions imposen que el vector nul pertanyi a F. Proveït de les lleis induïdes F és un K-espai vectorial. L'Espai nul i l'espai total són respectivament els subespais vectorials més petit i més gran de E. En general, una unió finita de subespais vectorials no és estable per combinacions lineals. Tanmateix, donada una família de subespais vectorials de E, la seva intersecció és un subespai vectorial de E. La suma de la família és el subespai més petit que contingui tots els Fi.

Definició equivalent[modifica | modifica el codi]

El subconjunt F és un -subespai vectorial de E si i només si:

  •  ;
  •  ;
  • .

Això equival a:

  • ;
  • .

En Altres Paraules F és un subespai vectorial de E si i només si no és buit i és estable per combinació lineal.

Nota: en tot espai vectorial E no reduït a , hi ha almenys dos subespais vectorials. Són i E mateix: se'n diu els dos subespais vectorials trivials.

Observació 1: un subespai vectorial F de E conté necessàriament el vector nul de E (en efecte, com que F és no buit, existeix almenys un element de F; llavors, per a tot en , pertany a F; la tria dóna ).

És per això, quan es tracta de demostrar que un subconjunt F de E és un subespai vectorial de E, sovint es comença comprovant que F no sigui buit assegurant-se que conté el vector nul (si no el conté, immediatament hi ha contradicció).

Observació 2: quan E no es redueix a , es defineix en el conjunt una relació d'equivalència R que consisteix a dir que dos elements V i W estan relacionats per R si existeix un element k no nul del cos commutatiu K tal que W = k V. Llavors P, el conjunt quocient de G per R, té una estructura molt rica d'espai projectiu.

Intersecció de dos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Propietat[modifica | modifica el codi]

Siguin i dos subespais vectorials de E. Llavors:

  • est un subespai vectoriel de E.

Més generalment, tota intersecció de subespais vectorials és un subespai vectorial, és a dir que: per a tota família de subespais vectorials de , és un subespai vectorial de .

Unió de subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

En el cas general, l'estructura de subespai vectorial no és estable per la unió. Existeix dues proposicions que tracten aquest cas.

  • E és aquí de dimensió finita, i el seu cos associat és de cardinal infinit. Si és una família finita de subespais vectorials de E tots diferents de E, llavors la unió de la família és diferent de E.
  • Si és una família de subespais vectorials de E tal que la unió de dos elements d'aquesta família sempre estigui inclosa en un tercer element de la família, llavors la unió de la família és un subespai vectorial de E.


Suma de dos o diversos subespais vectorials[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin i dos subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

.

Propietat i definició[modifica | modifica el codi]

  • és un subespai vectorial de E que conté a la vegada i . Se l'anomena suma de i .
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada i , llavors .
És per què es diu que és el subespai vectorial més petit de E que conté . Això equival a:
  • és la intersecció de tots els subespai vectorials de E que contenen .

Nota: la unió de dos subespais vectorials no és, en general, un subespai vectorial; perquè ho sigui, cal i n'hi ha prou que un dels dos estigui inclòs en l'altre.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Siguin m subespais vectorials de E. Es defineix el subconjunt següent de E:

.
És el conjunt dels vectors de E que admeten almenys una descomposició en suma de vectors que pertanyena respectivament als subespais vectorials (si aquesta descomposició és a més única, la suma dels subespais s'anomena directa.

Llavors:

  • és un subespai vectorial de E que conté a la vegada . Se l'anomena suma d'aquests subespais.
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté a la vegada , llavors .
Es diu també que és el subespai vectorial més petit de E que conté .

subespai vectorial engendrat[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui A una part qualsevol de E.

  • Si A és no buit, es defineix el subconjunt següent de E:
.
(així, és per definició el conjunt de les combinacions lineals d'elements de A ).
  • Es completa aquesta definició posant .

Propietat 1[modifica | modifica el codi]

Sigui A una part de E .

  • El conjunt és un subespai vectorial de E, i conté A.
  • Si F és un subespai vectorial de E que conté A, llavors .
És per això que es diu que és el subespai vectorial més petit de E que contenint A.
Se'l anomena subespai vectorial de E engendrat per A.
  • El subespai vectorial engendrat per A és la intersecció de tots els subespais vectorials de E que contenen A.

Nota: es considera l'aplicació , on designa el conjunt de les parts de E.

Es designa per A i B dues parts qualssevol de E. Resulta de la propietat precedent que:

  • L'aplicació és creixent: si , llavors .
  • L'aplicació és extensiva: .
  • L'aplicació és idempotent:
Es diu llavors que és una clausura. Els subespais vectorials de E són els punts fixos de :
  • Perquè una part A de E sigui un subespai vectorial de E, cal i n'hi ha prou que .

Propietat 2[modifica | modifica el codi]

Siguin A i B dues parts de E. Llavors:

Espai vectorial finit[modifica | modifica el codi]

Article principal: Espai vectorial finit

Sigui K un cos finit de cardinal q, i sigui E un K-espai vectorial de dimensió finita n sobre K. Llavors el conjunt E és finit de cardinal q n . Posseeix un nombre finit de subespais vectorials. El nombre de subespais de dimensió k val

.

Aquesta quantitat és el quocient del nombre de famílies lliures a k elements de E pel nombre de les bases en un K-espai vectorial de dimensió k.