Vés al contingut

Teorema de Clairaut

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, el teorema de Clairaut (també conegut com a teorema de Schwarz o de Young) mostra la igualtat de les derivades creuades d'una funció f sempre que:

tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini obert , per exemple, prenguem el punt , llavors, segons aquest teorema, per qualssevol tenim que:

Aquest teorema deu el seu nom al matemàtic i astrònom francès Alexis Clairaut.

Una conseqüència immediata d'això és que, si es compleixen les condicions del teorema de Clairaut, la matriu hessiana de la funció f serà simètrica.

Demostració

[modifica]

Denotarem i i demostrarem que si existeixen en tot l'obert i és contínua en un punt , aleshores .

Sigui . Per continuïtat de en tenim que donat tal que (per ser obert) i .

Considerem . Aleshores, denotant per l'-èsim vector de la base canònica de , per a tot , tenim que

En particular, com que, per , , podem definir la següent funció:

Ara, donats amb , definim la funció

Per i , tenim que , d'on, com que existeix per hipòtesi, és derivable i . Com que podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a a l'interval amb extrems i . Així,

Considerem ara

Com que , per tenim que , d'on, com que existeix per hipòtesi, és derivable i .

Com que podem aplicar el teorema del valor mitjà de Lagrange d'una variable a a l'interval amb extrems i . Així,

.

Definint , com que , tenim que . Observem que . Així, tenim que .

Finalment, observem que