Usuari:Freutci/RuletaTCL

Basat en un exemple de Richard Durrett. Considerem una ruleta europea (és a dir, amb els nombres del 0 al 36, la ruleta americana utilitza, a més, el 00). Estudiarem l'aposta més senzilla que consisteix a apostar 10 € que sortirà un nombre parell; el zero no compta ni com parell ni senar. Si surt un nombre parell ($2,4,\dots ,36$), el jugador guanya 10 € i si surt un nombre senar o el zero, aleshores perd 10 €. El joc és favorable al casino, perquè el 0 desequilibra les apostes: és més probable obtenir 0 o senar (19 resultats favorables) que parell (18 resultats favorables) . Quantifiquem probabilísticament els guanys i pèrdues del jugador i del casino. Suposem un jugador que està jugant diverses partides, i designem per $X_{1}$ el guany o la pèrdua de la primera partida, per $X_{2}$ el corresponent a la segona, i així successivament. Tenim una successió $X_{1},\,X_{2},\dots ,$ de variables aleatòries independents, i totes amb la mateixa distribució:

$$X_{i}={\begin{cases}~~~10,&{\text{amb probabilitat }}\ {\dfrac {18}{37}}\quad {\text{(surt parell)}},\\\\-10,&{\text{amb probabilitat }}\ {\dfrac {19}{39}}\quad {\text{(surt 0 o senar)}}.\end{cases}}$$

L'esperança d'aquestes variables és

$$E(X_{i})=10\cdot {\frac {18}{37}}-10\cdot {\frac {19}{37}}=-{\frac {10}{37}}\approx -0,27.$$

D'acord amb la llei dels grans nombres ,

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=-0,27\ {\text{quasi segurament}}.$$

Això vol dir que si el jugador juga $n$ vegades ($n$ gran), pot tenir bona sort unes quantes partides, però, si insisteix, en mitjana haurà perdut aproximadament 0,27 € per partida. Més concretament, si, posem, juga 100 partides, aleshores haurà perdut, aproximadament, 27 €. Amb les notacions anteriors, si escrivim

$$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},$$

tenim

$$S_{100}\approx -27\ {\text{euros}}.$$

Amb ajuda del teorema del límit central podem estimar la probabilitat que el jugador, després de 100 partides, no hagi perdut diners, $\mathbb {P} (S_{100}\geq 0)$. Amb aquest objectiu, necessitem calcular la desviació típica $\sigma$ de $X_{i}$. Tenim que

$$E(X_{i}^{2})=10^{2}\cdot {\frac {18}{37}}+(-10)^{2}\cdot {\frac {19}{37}}=100,$$

d'on

$$\sigma ^{2}=E(X_{i}^{2})-{\big (}E(X_{i}){\big )}^{2}=100-{\Big (}{\frac {10}{37}}{\Big )}^{2}=99,97.$$

Així,

$$\sigma ={\sqrt {99,97}}\approx 10.$$

Aleshores, normalitzant la variable $S_{100}$,

$${\frac {S_{100}-100\mu }{\sigma {\sqrt {100}}}}={\frac {S_{100}+27}{100}}.$$

Llavors,

$$\mathbb {P} {\big (}S_{100}\geq 0{\big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{100}+27}{100}}\geq {\frac {27}{100}}{\Big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{100}+27}{100}}\geq 0,27{\Big )}\approx 1-\Phi (0,27)\approx 0,39.$$

(Per calcular aquest nombre s'utilitzen unes taules de la llei normal estàndard). Per tant, aproximadament el 39% de persones que juguen 100 partides guanyen alguna cosa, o, d'una altra manera, al contrari, el 61 % dels jugadors, després de 100 partides, perden diners.

De la mateixa manera podem calcular que la probabilitat que guanyi 200 € és

$$\mathbb {P} {\big (}S_{100}\geq 200{\big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{100}+27}{100}}\geq {\frac {200+27}{100}}{\Big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{100}+27}{100}}\geq 2,27{\Big )}\approx 1-\Phi (2,27)\approx 0,01.$$

i així, és pràcticament impossible que el jugador guany 200 €, que no seria guany excessiu, ja que per apostar 100 cops 10 € necessita un bon capital (tenint en compte que a vegades guanya i a vegades perd).

D'altra banda, si ara considerem el casino, que té diverses taules de ruleta i nombrosos jugadors a cada taula, quan s'han fet 10000 jugades, el guany total dels jugadors serà $S_{10000}$. Repetim els càlculs anteriors i calculem la probabilitat que $S_{10000}\leq -700$ :

$$\mathbb {P} {\big (}S_{10000}\leq -700{\big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{10000}+2700}{10{\sqrt {10000}}}}\leq {\frac {-700+2700}{10{\sqrt {10000}}}}{\Big )}=\mathbb {P} {\Big (}{\frac {S_{10000}+2700}{10{\sqrt {10000}}}}\leq 2{\Big )}\approx \Phi (2)\approx 0,98.$$

Així, el casino, de forma lenta però pràcticament segura, haurà guanyat almenys 700 €.

Donada una successió $X_{1},X_{2},\dots ,$ de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes (abreujadament i.i.d.), amb variància finita, es posa:

$$\mu =\operatorname {E} (X_{n})\quad {\text{i}}\quad \sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X_{n})}},$$

on se suposa que $\sigma >0$. Definim

$$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.$$

Aleshores

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}=Z,\ {\text{en distribució}},$$

on $Z$ és una variable aleatòria normal estàndard; equivalentment, per a tot nombre $t\in \mathbb {R}$,

$$\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq t\right)=\Phi (t),$$

on $\Phi$ és la funció de la distribució normal estàndard:

$$\ \Phi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,du.$$

Altres notacions:

1. Notem que
   $$E[S_{n}]=n\mu \quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(S_{n})=n\sigma ^{2}.$$
   Si escrivim
   $$S_{n}^{*}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}},$$
   aleshores
   $$E(S_{n}^{*})=0\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(S_{n}^{*})=1.$$
   Es diu que $S_{n}^{*}$ és l' estandarització de $S_{n}$. Llavors el teorema es formula dient que la successió $S_{1}^{*},S_{2}^{*},\dots$ convergeix en distribució o llei a una variable normal estàndard:
   $$\lim _{n\to \infty }S_{n}^{*}=Z,\quad {\text{en distribució}},$$
   on $Z$ és una variable normal estàndard. Equivalentment, per qualsevol $t\in \mathbb {R}$,
   $$\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(S_{n}^{\ast }\leq t\right)=\Phi (t).$$
2. En Estadística es defineix la mitjana mostral per

$${\overline {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}},$$

Posem

$${\overline {X}}_{n}^{\ast }={\frac {{\overline {X}}_{n}-\operatorname {E} {\big (}{\overline {X}}_{n}{\big )}}{\sqrt {\operatorname {Var} {\big (}{\overline {X}}_{n}{\big )}}}}={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},$$

(variable aleatòria estandarditzada associada a ${\overline {X}}_{n}$). Aleshores la successió ${\overline {X}}_{1}^{*},{\overline {X}}_{2}^{*},\dots$ convergeix en distribució cap a una variable aleatòria normal estàndard.