Usuari:Mcapdevila/Funció real de variable real

Una funció real de variable real $f\,$ és una funció matemàtica el domini i codomini de la qual estan continguts en $\mathbb {R}$ (la recta real), és a dir, és una funció:

$F:S\subseteq \mathbb {R} \rightarrow S'\subseteq \mathbb {R}$

En general es tracta de funcions contínues, o bé discontínues quan estan representades per trams, a diferència de les funcions discretes, que són sempre discontínues.

Àlgebra de les funcions (amb valors) Reials

Sigui $X$ un conjunt qualsevol no buit i sigui ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ el conjunt format per totes les funcions de $X$ en $\mathbb {R}$. Moltes de les operacions i propietats algebraiques dels reials es poden estendre a ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$, com veurem a continuació.

Siguin $f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }$ elements de ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$. Definim operacions entre aquestes funcions, punt a punt per

• $Fg:x\mapsto f(x)g(x)$ Suma de funcions.
• $Fg:x\mapsto f(x)-g(x)$ Resta de funcions.
• $Fg:x\mapsto f(x)g(x)$ Producte de Funcions.

També, podem estendre relacions punt a punt.

• $F<g\iff \forall x,f(x)<g(x)$.

La manera com vam fer l'extensió, garanteix que moltes de les propietats dels reials s'estenen a ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$. Indiquem a continuació les més importants.

• La suma de funcions és associativa, commutativa, amb neutre la funció constant $x\mapsto 0$, amb oposat additiu $-f:x\rightarrow -f(x)\,$ per a cada funció f .
• La resta és tal que $fg:=f(-g)$.
• La multiplicació és associativa, commutativa, amb neutre la funció constant $x\mapsto 1$, però només les funcions que mai té valor nul, tenen recíprocs.
• La multiplicació és distributiva respecte a la suma.

Tingueu en compte que totes les anteriors propietats són anàlogues a propietats dels nombres reals. Hi ha, però, propietats "estranyes". Per exemple, En el conjunt X té ben bé dos elements, hi ha divisors de zero en ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$. En efecte, suposem que $X=\{a,b\}$ i definim $f,g:X\rightarrow {\mathbb {R} }$ tals que $f(a)=1,f(b)=0$ i $g(a)=0ig(b)=1$. Es veu, immediatament, que $fg$ és la funció constant 0, és a dir la funció zero, encara que cap dels factors ho és.

El conjunt ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ juntament amb les seves operacions és important per la gran quantitat d'exemples diversos que s'obtenen en seleccionar el conjunt X .

• Sigui $X=\{1,2\}\,$. Llavors, cada funció de ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ defineix una parella de nombres $f(1),f(2)$ que si considerem l'ordre natural en X , podem escriure com el per ordenat $(f(1),f(2))$. Això ens diu que, en aquest cas, podem identificar ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ amb el conjunt de tots els parells possibles de nombres reals, és a dir amb ${\mathbb {R} }^{2}$.
• Sigui $X=\{1,2,3\}\,$ Raonat com a dalt, podem identificar ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ amb ${\mathbb {R} }^{3}$.
• Sigui $X=\{1,2,3,\ldots ,n\}$ Raonat com a dalt, podem identificar ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ amb ${\mathbb {R} }^{n}$.

Recordeu que en cada un dels exemples anteriors, el conjunt de parells, trios, duplas ordenades apareix proveït d'una suma i multiplicació. La suma coincideix amb la suma vectorial usual i la multiplicació per constants amb la multiplicació per escalar.

• Sigui $X={\mathbb {N} }$, els naturals. En aquest cas, ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ és el conjunt de totes les successions de nombres reals proveït com la suma i multiplicació usual de successions.

Funcions numèriques

Anomenem funcions numèriques a funcions el domini i codomini són subconjunts dels Reals. Aquestes funcions són les que apareixen més freqüentment en les aplicacions elementals. A la resta de l'article, funcions significarà funcions numèriques. Moltes vegades, per a aquestes funcions, es dóna només la regla o fórmula de la funció. En aquesta situació s'aplica el conveni del domini natural i se suposa que el codomini (natural) consisteix de tot $\mathbb {R} \,$.

Funcions fitades

Diem que una funció $f\,$ està fitada quan el seu conjunt imatge està tancat. És a dir, hi ha un nombre $M$ tal que per a tot $x$ del domini de la funció es compleix que

$-M\leq f(x)\leq M\,$.

Per exemple: f (x) = sin (x) i g (x) = cos (x) tenen per conjunt imatge a l'interval [-1,1] i són, per tant acotades. Una funció és fitada quan la seva gràfica està entre dues línies horitzontals.

En forma anàloga es defineix les nocions de funció fitada superiorment i funció fitada inferiorment, volent dir que el seu conjunt imatge està tancat superiorment o inferiorment respectivament. Per exemple, f ("x") =|x| té com a conjunt imatge $[0,\infty [\;\!$, de manera que la funció està fitada inferiorment.

Funcions monòtones

Article principal: Funció monòtona

1. Diem que una funció f és estrictament creixent en l'interval $[a,b]\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2}\in [a,b]:x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$.
2. Diem que funció f és estrictament decreixent en $[a,b]\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2}\in [a,b]:x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$
3. Diem que f és creixent en $[a,b]\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2}\in [a,b]:x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})$
4. Diem que f és decreixent en $[a,b]\Leftrightarrow \forall x_{1},x_{2}\in [a,b]:x_{1}<x_{2}\Leftrightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Quan una funció verifica qualsevol de les quatre propietats anteriors, diem que és monòtona.

Propietats

• Si una funció és estrictament creixent o decreixent llavors és injectiva.
• La suma de funcions monòtones d'un mateix tipus té el mateix tipus de monotonia. Això no és cert ni per restes ni per productes.

Funcions parelles i imparelles

Article principal: Funcions parelles i imparelles

Diem que una funció és parella quan presenta simetria sobre l'eix $I$ (ordenades), és a dir, si per a tot element $x$ del seu domini es compleix que $-x$ també està en el domini i

$f(-x)=f(x)\,$

Diem que una funció és imparella quan presenta simetria respecte a l'origen, és a dir, si per a tot element $x$ del seu domini es compleix que $-x$ també està en el domini i

$f(-x)=-f(x)\,$

Una funció que no presenta simetria parella, no té necessàriament simetria imparella. Algunes funcions no presenten cap dels dos tipus de simetria o bé la presenten davant focus o eixos diferents del de coordenades o l'eix d'ordenades (o eix Y). Aquestes funcions es diu que no tenen paritat.

Propietats

• La suma de dues funcions parelles o de dues funcions imparelles és respectivament parella o imparella.
• El producte de dues funcions parelles o de dues funcions imparelles és una funció parella.

El producte d'una funció parella per una funció imparella dóna una funció imparella.

Funcions periòdiques

Article principal: funció periòdica

Diem funció és periòdica si es compleix: $f(x)=f(xT)T\neq 0\,$ on $T\,$ és un període de la funció. El període és el menor dels períodes positius, quan hi hagi tal nombre.

Els exemples clàssics són les funcions sinus i cosinus amb períodes Iguals a $2\pi$. Si int denota la funció part entera (que produeix el major eneter menor o igual a l'argument) llavors la funció $f$ tal que $f(x)=x-int(x)$ té període 1.

Una funció és periòdica alternada quan es compleix: $f(x)=-f\left(x{\frac {T}{2}}\right)\,$. Aquestes últimes també són conegudes com a funcions simètriques de mitja ona i consten de dues semiondas iguals de sentits oposats.

Funcions còncaves i convexes

Articles principals: Funció convexa i Funció còncava

Funció convexa.

Una funció $f$ és convexa sobre un interval quan el segment que uneix dos punts de la gràfica de $f$, sempre està per sobre o tocant la gràfica.

Una funció $f$ és estrictament convexa sobre un interval quan el segment que uneix dos punts de la gràfica de $f$, sempre està per sobre de la gràfica.

Una funció $f$ és còncava (estrictament còncava) sobre un interval quan $-f$ és convexa (estrictament convexa).

Una funció $f$ és estrictament convexa sobre un interval quan el segment que uneix dos punts de la gràfica de $f$, sempre està per sobre de la gràfica.

La denominació de convexitat i concavitat depèn del punt de vista que s'adopti per considerar que és una concavitat, és a dir si es mira a la funció "des de dalt" o "des de baix". Per això, alguns textos denominen convexes a les funcions que es corben "cap avall", al contrari de la definició que s'acaba de donar en els anteriors paràgrafs. Per això, és freqüent que de vegades s'adoptin les denominacions còncava cap amunt i còncava cap avall per evitar les ambigüitats.

Les tècniques de l'anàlisi diferencial (Càlcul) permeten determinar si una funció és creixent, decreixent, còncava o convexa a través de l'estudi de les derivades successives de la funció.

Es verifica que una funció és convexa estricta en un interval si les rectes tangents a la funció en aquest interval estan per sota de la gràfica de la funció. Una funció és còncava estricta en un interval si les rectes tangents a la funció d'aquest interval estan per sobre.

Vegeu també

• Derivada
• Concavitat
• Convexitat