Xarxa de difracció

Un CD-ROM és una xarxa de difracció: Un CD-ROM crea un patró de difracció per reflexió. Per la seva construcció té similituds amb les xarxes de difracció. A la foto es poden apreciar els dos primers ordres de difracció.

Una xarxa de difracció és, en òptica, un component òptic amb un patró regular, que difracta (divideix) la llum en diversos feixos que viatgen en diferents direccions. La direcció d'aquests feixos depèn de l'espaiat de la xarxa i de la longitud d'ona de la llum incident, de manera que la xarxa actua com un element dispersiu. Gràcies a això, les xarxes s'utilitzen habitualment en monocromadors i espectròmetres.

Principi de funcionament

En el context de l'òptica de Fourier, una xarxa de difracció pot ser modelada com un cert material amb transmissió $t(x,y)$. Aquesta funció pot ser sempre descrita per una sèrie de Fourier. Si suposem a més que la variació es dona respecte una direcció només, $t(x,y)=t(x)$, i que aquesta variació té un període fonamental $d$, podem escriure

$t(x)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }c_{m}\mathrm {e} ^{\frac {2\pi inx}{d}}$

on $i={\sqrt {-1}}$. Una ona plana incident sobre aquesta xarxa, formant un angle $\alpha$ respecte l'eix z, pot escriure's de la següent forma (assumint que ens trobem al buit):

$U(x,z)=U_{0}\mathrm {e} ^{ik(x\sin \alpha +z\cos \alpha )}$

on $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, essent $\lambda$ la longitud d'ona en el buit. Si la xarxa es troba a $z=0$, el patró de difracció de Fraunhoffer a una distància $R$ vindrà donat per:

$U_{\infty }(x',y')={\frac {\mathrm {e} ^{ikR}}{i\lambda R}}\iint _{-\infty }^{+\infty }U(x,y)t(x)\mathrm {e} ^{-{\frac {ik}{R}}(xx'+yy')}dxdy={\frac {\mathrm {e} ^{ikR}}{i\lambda R}}U_{0}\iint _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{ikx\sin \alpha }\sum _{m=-\infty }^{+\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\frac {2\pi inx}{d}}\mathrm {e} ^{-{\frac {ik}{R}}(xx'+yy')}dxdy$

Aquesta és una integral de termes unimodulars oscil·latoris. Per tant, assolirà valors no negligibles si i només si els exponents s'anul·len entre sí. Directament de l'expressió anterior, trobem la següent igualtat:

$kx\sin \alpha +{\frac {2\pi mx}{d}}-{\frac {kxx'}{R}}=0$

En l'aproximació de Fraunhoffer, on les dimensions transversals del pla situat a una distància $R$ són negligibles comparades amb aquesta distància, podem fer la següent aproximació

${\frac {x'}{R}}\approx \sin \theta$

on $\theta$ és l'angle que formaria un raig de llum provinent del centre de la xarxa amb el punt d'observació $x'$ a la distància $R$. Com que la igualtat dels exponents s'ha de donar independentment del punt $x$ on incideixi l'ona, podem eliminar-la per arribar a la següent expressió (amb la substitució de $k$ en termes de la longitud d'ona>

$d(\sin \theta -\sin \alpha )=m\lambda$

Aquesta és la fórmula més general d'una xarxa de difracció. En les aplicacions més habituals l'angle d'incidència de l'ona es fixa a $\alpha =0$, tot resultant en la més habitual relació

$d\sin \theta =m\lambda$

L'anàlisi fet en l'aproximació escalar de l'òptica ens permet també estudiar com l'energia es disposa segons els diferents ordres $m$ de la difracció. Com que els ordres reforçats es troben en angles diferents, podem suposar que la intensitat total de llum és la suma de les intensitats de cada ordre. Tenint en compte que la intensitat de l'ona és proporcional al mòdul al quadrat de l'amplitud, podem veure que la intensitat de l'ordre $m$-èssim és:

$I_{m}\propto \vert c_{m}\vert ^{2}$

Amb aquesta relació, podem dissenyar una xarxa de difracció a partir dels coeficients de Fourier que desitgem per tal de reforçar els ordres que ens interessin. Degut a les propietats de les sèries de Fourier, si el coeficient $m$ té el mòdul més gran, la resta de coeficients només en podran tenir un d'igual o inferior. Això físicament no és res més que la conservació de l'energia, de forma que en reforçar un ordre la resta se'n veuen afeblits.

Tipus Echelle

Espectròmetre Echelle: La primera xarxa de difracció està optimitzada per als ordres de difracció baixos, mentre que els ordres superiors milloren la seva intensitat de sortida amb la xarxa Echelle. Tots dos elements difractius estan muntats ortogonalment de manera que els ordres amb major intensitat siguin separats transversalment. Com que només algunes parts de l'espectre de cada ordre coincideixen espacialment, només es presentaran algunes parts de solapament espectral (com la línia verda a la regió vermella).

La xarxa de difracció Echelle (del francès, Echelle, escala) és un tipus de xarxa de difracció que es caracteritza per presentar una densitat de línies relativament baixa però presenta major nombre d'ordres de difracció. Per aquest motiu, s'obté una major eficiència i menors efectes de polarització en rangs de longituds d'ona més grans. Les xarxes Echelle són usades en espectròmetres i instruments similars com el HARPS i nombrosos instruments astronòmics.

Principi de funcionament

Igual que altres xarxes de difracció, la xarxa Echelle està formada per una sèrie de ranures (esglaons) amb amples pròxims a la longitud d'ona de la llum a difractar. Aquesta estructura permet que la llum de la longitud d'ona associada a cada ranura sigui difractada cap a la posició corresponent a l'ordre zero quan la seva incidència sigui normal al pla de difracció, mentre que els ordres més grans seran refractats amb angles específics definits per la densitat de la xarxa per a cada ordre seleccionat.

La separació angular entre els diferents ordres decreix de forma monòtona a mesura que augmenta el número d'ordre, de manera que per ordres superiors la separació entre ells tendeix a desaparèixer, mentre que els ordres menors solen quedar correctament separats.

La intensitat del patró de difracció es pot alterar modificant la inclinació de la xarxa de difracció, especialment amb les xarxes de tipus reflectant on les ranures són substituïdes per superfícies altament reflectores.

Formulació bàsica

L'equació que ens relaciona els angles en què observem els màxims de difracció amb la longitud d'ona de la radiació incident i la distància entre escletxes és:

$d\ \sin {\theta _{m}}=m\lambda$

De manera que si per exemple volguéssim trobar l'angle en què es donaran els màxims tindríem:

$\theta _{m}=\arcsin {\left({\frac {m\lambda }{d}}\right)}$

Cal observar que "d" és la separació entre escletxes i "m" l'ordre del màxim. Per al principal m=1, i així successivament.

Exemples

Un exemple de xarxa de difracció que està a l'abast de tothom és un CD-ROM. Pot usar-se per demostrar l'efecte de la difracció fent incidir sobre ell llum solar i recollint-la en una paret.

L'assimilació de l'estructura d'alguns cristalls a xarxes de difracció permet obtindre de forma més o menys aproximada la distància entre els seus àtoms o plans d'àtoms.

Bibliografia

Goodman, Joseph W. «Chapter 4». A: Introduction to Fourier optics. 3rd. Englewood, CO: Roberts & Co. Publishers, 2005. ISBN 0-9747077-2-4. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Xarxa de difracció

• Echelle Gratings Arxivat 2013-08-25 a Wayback Machine.
• Palmer, Christopher, Diffraction Grating Handbook Arxivat 2008-09-26 a Wayback Machine. , 6th edition, Newport Corporation (2005).
• High Resolution Echelle Spectrometer (Hawaii) Arxivat 2010-06-10 a Wayback Machine.
• Martin J. Porter Spectroscopy on Small Telescope: The Echelle Spectrograph,