Relacions de Kramers-Kronig

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existeix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició perquè s'apliquin a una funció $f(\omega )$ és que aquesta ha de representar la transformada de Fourier d'un procés físic lineal i causal. Si escrivim

$F(\omega )=f_{1}(\omega )+iF_{2}(\omega )$,

amb $f_{1}$ i $F_{2}$ dues funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són

$f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\Omega F_{2}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega$

$F_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega$.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades amb la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitivitat $\epsilon (\omega )$ dels materials. No obstant això, en aquest cas, cal tenir en compte que:

$F(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1\,$,

amb $\chi (\omega )$ la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és a dir, la seva resposta a l'impuls.

Bibliografia

• Mansoor Sheik-Bahae. «Nonlinear Optics Basics. Kramers–Kronig Relations in Nonlinear Optics». A: Robert D. Guenther. Encyclopedia of Modern Optics. Amsterdam: Academic Press, 2005. ISBN 0-12-227600-0. 
• Valerio Lucarini. Kramers-Kronig relations in Optical Materials Research. Heidelberg: Springer, 2005. ISBN 3-540-23673-2.