En matemàtiques, els polinomis continus de Hahn són una família de polinomis ortogonals en l'esquema d'Askey per als polinomis ortogonals hipergeomètrics. Es defineixen en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades per
![{\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b802c046e321b7fdf98f4ac26a5b55cd0d65b299)
Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) ofereix una llista detallada de les seves propietats.
Els polinomis estretament relacionats inclouen els polinomis duals de Hahn Rn(x;γ,δ,N), els polinomis de Hahn Qn(x;a,b,c), i els polinomis duals continus de Hahn Sn(x;a,b,c). Tots aquests polinomis tenen q-anàlegs amb un paràmetre q adicional, com els polinomis q-Hahn Qn(x;α,β, N;q), etc.
Ortogonalitat
Els polinomis continus de Hahn pn(x;a,b,c,d) són ortogonals respecte a la funció pes
![{\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b79c3d28ec72f171748e534f8ec33142a1ea08)
En particular, satisfan la relació d'ortogonalitat[4]
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b279dbe686c8a7391028a6137bf6d5a6dce251db)
per a
,
,
,
,
,
.
Relacions de recurrència
La seqüència de polinomis continus de Hahn satisfan la relació de recurrència
![{\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774feb64bbb83a12b2cdf286f91027a0e6408856)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{on}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{i}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3103d5973f45f6d9c177bf294529afeee6bc83a7)
Fórmula de Rodrigues
Els polinomis continus de Hahn continus es poden expressar de forma semblant a la fórmula de Rodrigues
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421bd8b88a1cdc31210ae4271c72e709a9d292e4)
Funció generatriu
Els polinomis continus de Hahn tenen la següent funció generatriu:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7322e4de5bc87d055e20e6908fb98bb7ed70831f)
Una segona funció generatriu diferent ve donada per
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7965765834b1c0a74de3c272411bbbf1ad476dc)
Relació amb altres polinomis
- Els polinomis de Wilson són una generalització dels polinomis continus de Hahn.
- El polinomis de Bateman Fn(x) estan relacionats amb el cas especial a=b=c=d=1/2 dels polinomis continus de Hahn per
![{\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106ab17dd8548c82fa6be4483f313559d417d29f)
- Els polinomis de Jacobi Pn(α,β)(x) es poden obtenir com un cas limitant dels polinomis continus de Hahn:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3b3763e374933b13bbb58c2120091629b32b99)
Referències
Bibliografia
- Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan. Special functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6.
- Askey, R. «Continuous Hahn polynomials». J. Phys. A: Math. Gen., 1985.
- Hahn, Wolfgang «Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen» (en alemany). Mathematische Nachrichten, 2, 1949, pàg. 4-34. DOI: 10.1002/mana.19490020103. ISSN: 0025-584X.
- Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues. Berlin, New York: Springer-Verlag (Springer Monographs in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-642-05014-5. ISBN 978-3-642-05013-8.
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. Hahn Class: Definitions. Cambridge University Press, 2010 (NIST Handbook of Mathematical Functions). ISBN 978-0521192255.
Vegeu també