Polinomis de Bateman

En matemàtiques, els polinomis de Bateman F_n són una família de polinomis ortogonals introduïda per Bateman (1993). Els polinomis de Bateman-Pasternack són una generalització introduïda per Pasternack (1939).

Els polinomis de Bateman es poden definir mitjançant la relació

$F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).$

on P_n és un polinomi de Legendre. En termes de funcions hipergeomètriques generalitzades, estan donades per

$F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).$

Pasternack (1939) va generalitzar els polinomis de Bateman en forma de polinomis Fm
n amb

$F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))$

Aquests polinomis generalitzats també tenen una representació en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades

$F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).$

Carlitz (1957) va demostrar que els polinomis Q_n van ser estudiats per Touchard (1956); vegeu els polinomis de Touchard, són els mateixos que els polinomis de Bateman fins a un canvi de variable, més precisament

$Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)$

Els polinomis de Bateman i Pasternack són casos especials dels polinomis continus de Hahn simètrics.

Definició

Bateman va definir inicialment els polinomis $F_{n}$ en termes de la funció hipergeomètrica i una sèrie generatriu:

$$(1-t)^{z}F\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}},1;t^{2}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)$$

Una definició equivalent de la funció hipergeomètrica generalitzada és:

$$F_{n}(z)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(z+1)\\1,~1\end{array}};1\right)$$

Bateman també va demostrar que aquests polinomis satisfan una relació de recurrència: $(n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z)$, amb $F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z$. En particular, aquesta relació estableix que el grau de $F_{n}$és exactament $n$.

Exemples

Polinomis de Bateman

Els primers polinomis de Bateman són:

$F_{0}(x)=1$;

$F_{1}(x)=-x$;

$F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}$;

$F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}$;

$F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}$;

$F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}$;

Propietats

Ortogonalitat

Els polinomis de Bateman satisfan la relació d'ortogonalitat

$\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.$

on $\delta _{m,n}$ és la delta de Kronecker. En particular, no es tracten de polinomis ortonormals, però podem escriure $B_{n}(z)=2i^{n}F_{n}(iz)/{\sqrt {\pi (2n+1)}}$que verifiquen $\langle B_{n},B_{m}\rangle =\delta _{m,n}$, els «polinomis de Bateman normalitzats».

El factor $(-1)^{n}$ es produeix a la part dreta d'aquesta equació perquè els polinomis de Bateman, tal com es defineixen aquí, han de ser escalats per un factor $i^{n}$ per fer que siguin ben valorats per l'argument imaginari. La relació d'ortogonalitat és més simple quan s'expressa en termes d'un conjunt modificat de polinomis definits per $B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)$, per la qual cosa es converteix en

$\int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.$

Relació de recurrència

La seqüència dels polinomis de Bateman satisfà la relació de recurrència

$(n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).$

Funció generatriu

Els polinomis de Bateman tenen la funció generatriu

$\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),$

que de vegades s'utilitza per definir-los.

Bibliografia

• Al-Salam, Nadhla A. «A class of hypergeometric polynomials». Ann. Mat. Pura Appl., 75(1), 1967, pàg. 95–120. DOI: 10.1007/BF02416800.
• H., Bateman «Some properties of a certain set of polynomials». Tôhoku Mathematical Journal, 37, 1933.
• Bateman, H. «The polynomial $F_{n}(x)$». Ann. Math., 35(4), 1934.
• Carlitz, Leonard «Some polynomials of Touchard connected with the Bernoulli numbers». Canadian Journal of Mathematics, 9, 1957. Arxivat de l'original el 2012-03-30. ISSN: 0008-414X [Consulta: 2 setembre 2019].
• Koelink, H. T. «On Jacobi and continuous Hahn polynomials». Proceedings of the American Mathematical Society, 124(3), 1996. DOI: 10.1090/S0002-9939-96-03190-5. ISSN: 0002-9939.
• Pasternack, Simon «A generalization of the polynomial F_n(x)». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 28, 1939.
• Touchard, Jacques «Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli». Canadian Journal of Mathematics, 8, 1956. Arxivat de l'original el 2012-03-30. DOI: 10.4153/cjm-1956-034-1. ISSN: 0008-414X [Consulta: 2 setembre 2019].