Graf bipartit complet: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Correcció i ampliació de les propietats |
Ampliació de les propietats |
||
Línia 15: | Línia 15: | ||
== Propietats == |
== Propietats == |
||
* Sigui <math>K_{m,n}</math> un graf bipartit amb <math>\left|V_1\right|=m</math> i <math>\left|V_2\right|=n</math>, es verifica que <math>\left|E\right| = \left|V_1\right|\cdot\left|V_2\right| = m\cdot n</math> i <math>K_{m,n}\,</math> posseeix <math>m^{n-1}\cdot n^{m-1}</math> [[Arbre d'expansió|arbres d'expansió]]. |
* Sigui <math>K_{m,n}</math> un graf bipartit amb <math>\left|V_1\right|=m</math> i <math>\left|V_2\right|=n</math>, es verifica que <math>\left|E\right| = \left|V_1\right|\cdot\left|V_2\right| = m\cdot n</math> i <math>K_{m,n}\,</math> posseeix <math>m^{n-1}\cdot n^{m-1}</math> [[Arbre d'expansió|arbres d'expansió]].<ref>{{ref-llibre |cognom=Jungnickel |nom=Dieter |títol=Graphs, Networks and Algorithms |pàgines=557 |editorial=Springer |any=2012 |isbn=9783642322785 |capítol=Algorithms and Computation in Mathematics |edició=5}}</ref> |
||
* Donat un graf bipartit, comprovar si conté un subgraf bipartit complet <math>K_{i, i}</math> per un paràmetre <math>i</math> és un problema [[NP-complet]].<ref>{{ref-llibre |cognom1=Garey |nom1=Michael R. |cognom2=Johnson |nom2=David S. |títol=Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness |pàgines=196 |capítol=[GT24] Balanced complete bipartite subgraph |editor=W. H. Freeman |any=1979 |isbn=0-7167-1045-5}}</ref> |
* Donat un graf bipartit, comprovar si conté un subgraf bipartit complet <math>K_{i, i}</math> per un paràmetre <math>i</math> és un problema [[NP-complet]].<ref>{{ref-llibre |cognom1=Garey |nom1=Michael R. |cognom2=Johnson |nom2=David S. |títol=Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness |pàgines=196 |capítol=[GT24] Balanced complete bipartite subgraph |editor=W. H. Freeman |any=1979 |isbn=0-7167-1045-5}}</ref> |
||
* Un [[graf planar]] no pot contenir ''K''<sub>3,3</sub> com a subconjunt, i un graf planar exterior (sense vèrtexs interns) no pot contenir ''K''<sub>3,2</sub> com a subconjunt. (No són [[Condició suficient|condicions suficients]] per a la planaritat i la planaritat exterior, però són necessàries). D'altra banda, segons el [[Test de planaritat#Teorema de Wagner|teorema de Wagner]], tot graf no planar conté ''K''<sub>3,3</sub> o bé el [[graf complet]] ''K''<sub>5</sub> com a subconjunts.<ref>{{harvnb|Diestel|2005|p=105}}</ref> |
* Un [[graf planar]] no pot contenir ''K''<sub>3,3</sub> com a subconjunt, i un graf planar exterior (sense vèrtexs interns) no pot contenir ''K''<sub>3,2</sub> com a subconjunt. (No són [[Condició suficient|condicions suficients]] per a la planaritat i la planaritat exterior, però són necessàries). D'altra banda, segons el [[Test de planaritat#Teorema de Wagner|teorema de Wagner]], tot graf no planar conté ''K''<sub>3,3</sub> o bé el [[graf complet]] ''K''<sub>5</sub> com a subconjunts.<ref>{{harvnb|Diestel|2005|p=105}}</ref> |
||
* Tot graf bipartit complet de la forma <math>K_{i, i}</math> és un [[graf de Moore]].<ref>{{ref-llibre |cognom=Biggs |nom=Norman |títol=Algebraic Graph Theory |pàgines=181 |editorial=Cambridge University Press |any=1993 |isbn=9780521458979}}</ref> |
* Tot graf bipartit complet de la forma <math>K_{i, i}</math> és un [[graf de Moore]].<ref>{{ref-llibre |cognom=Biggs |nom=Norman |títol=Algebraic Graph Theory |pàgines=181 |editorial=Cambridge University Press |any=1993 |isbn=9780521458979}}</ref> |
||
* Tot graf bipartit complet és un graf modular, és a dir, cada triplet de vèrtexs té una mediana que pertany als camins més curts entre cada parell possible d'aquests vèrtexs.<ref>{{ref-publicació | cognom1 = Bandelt | nom1 = H.-J. | cognom2 = Dählmann | nom2 = A. | cognom3 = Schütte | nom3 = H. | doi = 10.1016/0166-218X(87)90058-8 | exemplar = 3 | publicació = Discrete Applied Mathematics | mr = 878021 | pàgines = 191–215 | títol = Absolute retracts of bipartite graphs | volum = 16 | any = 1987 }}.</ref> |
|||
== Referències == |
== Referències == |
Revisió del 20:24, 23 març 2021
En teoria de grafs un graf bipartit complet és aquell graf bipartit en el qual tots els vèrtexs de la partició estan connectats a tots els vèrtexs de la partició i viceversa.[1][2]
Definició
Un graf bipartit complet és un graf bipartit tal que És a dir, un graf bipartit complet està format per dos conjunts disjunts de vèrtexs i totes les possibles arestes que uneixen aquests vèrtexs.
El graf complet bipartit amb particions de mida i és denotat com .
Exemples
-
K3,1
-
K3,2
-
K3,3
Propietats
- Sigui un graf bipartit amb i , es verifica que i posseeix arbres d'expansió.[3]
- Donat un graf bipartit, comprovar si conté un subgraf bipartit complet per un paràmetre és un problema NP-complet.[4]
- Un graf planar no pot contenir K3,3 com a subconjunt, i un graf planar exterior (sense vèrtexs interns) no pot contenir K3,2 com a subconjunt. (No són condicions suficients per a la planaritat i la planaritat exterior, però són necessàries). D'altra banda, segons el teorema de Wagner, tot graf no planar conté K3,3 o bé el graf complet K5 com a subconjunts.[5]
- Tot graf bipartit complet de la forma és un graf de Moore.[6]
- Tot graf bipartit complet és un graf modular, és a dir, cada triplet de vèrtexs té una mediana que pertany als camins més curts entre cada parell possible d'aquests vèrtexs.[7]
Referències
- ↑ Bondy, John Adrian; Murty, U. S. R.. Graph Theory with Applications. North-Holland, 1976, p. 5. ISBN 0-444-19451-7.
- ↑ Diestel 2005, p. 17
- ↑ Jungnickel, Dieter. «Algorithms and Computation in Mathematics». A: Graphs, Networks and Algorithms. 5. Springer, 2012, p. 557. ISBN 9783642322785.
- ↑ Garey, Michael R.; Johnson, David S. «[GT24] Balanced complete bipartite subgraph». A: W. H. Freeman. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, 1979, p. 196. ISBN 0-7167-1045-5.
- ↑ Diestel 2005, p. 105
- ↑ Biggs, Norman. Algebraic Graph Theory. Cambridge University Press, 1993, p. 181. ISBN 9780521458979.
- ↑ Bandelt, H.-J.; Dählmann, A.; Schütte, H. «Absolute retracts of bipartite graphs». Discrete Applied Mathematics, 16, 3, 1987, pàg. 191–215. DOI: 10.1016/0166-218X(87)90058-8..
Bibliografia
- Diestel, Reinhard. Graph Theory. 3rd. Springer, 2005. ISBN 3-540-26182-6. (Electronic edition).