Grup de Carnot: diferència entre les revisions
Pàgina nova, amb el contingut: «En matemàtiques, un '''grup de Carnot''' és un grup de Lie nilpotent simplement connex, juntament amb la derivació de la seva àlgebra de Lie tal que el subespai de valor propi igual a 1 genera l'àlgebra de Lie. Al subfibrat del fibrat tangent associat a aquest espai propi se l'anomena horitzontal. En un grup de Carnot, qualsevol norma en el subfibrat horitzontal dóna lloc a una mètri...». Etiqueta: editor de codi 2017 |
(Cap diferència)
|
Revisió del 05:29, 27 oct 2021
En matemàtiques, un grup de Carnot és un grup de Lie nilpotent simplement connex, juntament amb la derivació de la seva àlgebra de Lie tal que el subespai de valor propi igual a 1 genera l'àlgebra de Lie. Al subfibrat del fibrat tangent associat a aquest espai propi se l'anomena horitzontal. En un grup de Carnot, qualsevol norma en el subfibrat horitzontal dóna lloc a una mètrica de Carnot–Carathéodory. Les mètriques de Carnot–Carathéodory tenen dilacions mètriques; són cons asimptòtics de grups nilpotents finitament generats, i de grups de Lie nilpotents, així com cons tangents de varietats subriemannianes.
Definició formal i propietats bàsiques
Un grup de Carnot (o estratificat) de passos és un grup de Lie connex, simplement connex i de dimensió finita, l'àlgebra de Lie del qual admet una estratificació de passos. És a dir, existeixen subespais lineals no trivials tals que
- , per , i .
Noti's que aquesta definició implica que el primer estrat genera tota l'àlgebra de Lie .
La funció exponencial és un difeomorfsme de a . Utilitzant aquestes coordenades exponencials, es pot identificar amb , on i l'operació venen donats per la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff.
De vegades convé més escriure un element com
- amb per .
La raó d'això és que té una operació de dilació intrínseca donada per
- .
Exemples
El Grup de Heisenberg sobre el cos dels nombres reals és un grup de Carnot que es pot veure com un model pla dins de la geometria sub-riemanniana igual que l'espai euclidià dins de la geometria riemanniana. El grup d'Engel també és un grup de Carnot.
Història
Els grup de Carnot van ser introduïts, sota aquest nom, per Pierre Pansu (1982, 1989) i John Mitchell (1985). Tanmateix, el concepte havia estat introduït abans per Gerald Folland (1975), sota el nom de grup estratificata.
Vegeu també
- Derivada de Pansu, una derivada en un grup de Carnot, que va ser introduïda a Pansu (1989)
Referències
- Folland, Gerald (1975), "Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups", Arkiv for Math 13 (2): 161–207, DOI 10.1007/BF02386204
- Mitchell, John (1985), "On Carnot-Carathéodory metrics", Journal of Differential Geometry 21 (1): 35–45, ISSN 0022-040X, doi:10.4310/jdg/1214439462, <http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214439462>
- Pansu, Pierre (1982), Géometrie du groupe d'Heisenberg, Thesis, Université Paris VII, <http://www.math.u-psud.fr/~pansu/pansu_These_1982.html>
- Pansu, Pierre (1989), "Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un", Annals of Mathematics 129 (1): 1–60, DOI 10.2307/1971484
- Bellaïche, André. Sub-Riemannian geometry. 144. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996 (Progress in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-0348-9210-0. ISBN 978-3-0348-9946-8.