Diferència finita: diferència entre les revisions
inici |
(Cap diferència)
|
Revisió del 22:23, 4 des 2022
Una diferència finita és una expressió matemàtica de la forma f (x + b) − f (x + a) . Si una diferència finita es divideix per b − a, s'obté un quocient de diferència. L'aproximació de derivades per diferències finites té un paper central en els mètodes de diferències finites per a la solució numèrica d' equacions diferencials, especialment problemes de valors de contorn.
L'operador de diferència, denotat habitualment és l'operador que mapeja una funció f amb la funció definit per
![{\displaystyle \Delta [f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978a8399050eeaf584e6c0f7a57196f57d9bdb71)
=f(x+1)-f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15da4d892ccab64158a6e556b809b3f365da7057)
Una equació de diferència és una equació funcional que implica l'operador de diferències finites de la mateixa manera que una equació diferencial implica derivades . Hi ha moltes similituds entre les equacions a diferència i les equacions diferencials, especialment en els mètodes de resolució. Algunes relacions de recurrència es poden escriure com a equacions de diferència substituint la notació d'iteració per diferències finites.
En l'anàlisi numèrica, les diferències finites s'utilitzen àmpliament per aproximar derivades, i el terme "diferència finita" s'utilitza sovint com a abreviatura de "aproximació per diferències finites de derivades". [1] [2] [3] Les aproximacions de diferències finites són quocients de diferències finites en la terminologia emprada anteriorment.
Les diferències finites van ser introduïdes per Brook Taylor el 1715 i també s'han estudiat com a objectes matemàtics abstractes autònoms en obres de George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) i Károly Jordan de (1939). Les diferències finites remunten els seus orígens a un dels algorismes de Jost Bürgi ( c. 1592 ) i treballs d' altres, inclòs Isaac Newton. El càlcul formal de diferències finites es pot veure com una alternativa al càlcul dels infinitesimals. [4]
Normalment es consideren tres tipus bàsics: diferències finites cap endavant, enrere i centrals . [5] [6] [7]
Una diferència cap endavant, denotada d'una funció f és una funció definida com
![{\displaystyle \Delta _{h}[f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1b2280f8d8410699154ebec9166fc24f713e55)
=f(x+h)-f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4b1b463ac6a532d0089dad4ef7f7ec1a91acb9)
Una diferència cap enrere utilitza els valors de la funció a x i x − h, en lloc dels valors a x + h i x :
=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a100757e5e1977e4c05a91e35bacf18bc054954c)
Finalment, la diferència central ve donada per
=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2499836d521433992592446e489e3f7f5ff77de)
Referències
- ↑ Paul Wilmott. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction (en anglès). Cambridge University Press, 1995, p. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
- ↑ Peter Olver. Introduction to Partial Differential Equations (en anglès). Springer Science & Business Media, 2013, p. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
- ↑ M Hanif Chaudhry. Open-Channel Flow (en anglès). Springer, 2007, p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
- ↑ Jordán, op. cit., p. 1 and Milne-Thomson, p. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): The Calculus of Finite Differences (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077
- ↑ Paul Wilmott. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction (en anglès). Cambridge University Press, 1995, p. 137. ISBN 978-0-521-49789-3.
- ↑ Peter Olver. Introduction to Partial Differential Equations (en anglès). Springer Science & Business Media, 2013, p. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
- ↑ M Hanif Chaudhry. Open-Channel Flow (en anglès). Springer, 2007, p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.