Espai de mesura: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 07:24, 31 ago 2023

Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra.^[1]

Definició

Un espai de mesura és un triplet $(X,{\mathcal {A}},\mu ),$ on^[2]^[3]

$X$ és un conjunt
${\mathcal {A}}$ és una $σ$ -algebra en el conjunt $X$
$\mu$ és una mesura en $(X,{\mathcal {A}})$

En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable $(X,{\mathcal {A}})$ juntament amb una mesura definit en aquest espai.

Exemples

La tripleta $\scriptstyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )$ on $\scriptstyle \mathbb {R}$ és el conjunt dels nombres reals, $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ la σ-àlgebra boreliana i $\lambda$ la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura.
Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.

Referències

↑ «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
↑ Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
↑ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1] «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.

[Kosorok83-2] Kosorok, Michael R. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-3] Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]

[2]

[3]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
 Un ''' espai de mesura ''' és un conjunt per al qual s'ha definit una [[sigma àlgebra|σ-àlgebra]] de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra.<ref>{{GEC|0234857|mesura}}</ref>
+== Definició ==
+Un espai de mesura és un triplet <math>(X, \mathcal A, \mu),</math> on<ref name="Kosorok83" >{{cite book |last1=Kosorok |first1=Michael R. |year=2008  |title=Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference |location=New York |publisher=Springer |page=83|isbn=978-0-387-74977-8 }}</ref><ref name="Klenke18" >{{cite book |last1=Klenke |first1=Achim |year=2008  |title=Probability Theory |location=Berlin |publisher=Springer |doi=10.1007/978-1-84800-048-3 |isbn=978-1-84800-047-6 |page=18}}</ref>
+* <math>X</math> és un conjunt
+* <math>\mathcal A</math> és una [[σ-àlgebra|{{mvar|σ}}-algebra]] en el conjunt <math>X</math>
+* <math>\mu</math> és una [[Teoria de la mesura|mesura]] en <math>(X, \mathcal{A})</math>
+En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un [[espai mesurable]] <math>(X, \mathcal{A})</math> juntament amb una mesura definit en aquest espai.
 == Exemples ==