Anell factorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un anell factorial (també dit anell de factorització única o domini de factorització única) és un anell íntegre en què tot element descompon de forma única com a producte de primers. En els anells factorials es verifica que un element és primer si, i només si, és irreductible. És fàcil veure que en alguns anells com ara  \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] certs elements admeten més d'una factorització. Així, en aquest anell,  6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1 - \sqrt{-5}) , i els quatre factors són irreductibles.

Un resultat important d'aquest tipus d'anells és que si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis A[X] també ho és.

Definició[modifica | modifica el codi]

Un anell íntegre A és un anell de factorització única on tot element x de A que no és l'element neutre de la suma i no és una unitat, s'escriu com un producte d'elements irreductibles:

x= p1 p2 ... pn

i aquesta representació és única en el sentit que si existeix una altra descomposició de x com a producte d'elements irreductibles de A

x= q1 q2 ... qm

Aleshores n = m i hi ha una permutació φ : {1,...,n} → {1,...,n} tal que pk = uk qφ(k) per a tot k de {1,...,n} i on els elements uk són unitats de A (això és, que pk i qφ(k) són elements associats per a qualsevol k).

Una definició alternativa, que no exigeix unicitat, és la següent: un anell és factorial si tots els seus elements no invertibles diferents de zero es poden escriure com a producte d'elements primers de A.


Exemples[modifica | modifica el codi]

Anells de factorització única[modifica | modifica el codi]

  • Fent inducció sobre la propietat anterior, si A és un anell factorial aleshores l'anell de polinomis en n variables A[X1, ..., Xn] també ho és. Si n > 1 tenim exemples d'anells factorials que no són principals.
  • L'anell A[[X1, ..., Xn]] de sèries de potències a coeficients en un anell íntegre A és un anell factorial.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]