Cos (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En l'àlgebra abstracta, un cos és una estructura algebraica en la qual es poden efectuar la suma, resta, multiplicació i divisió (llevat de la divisió per 0), i en la qual se satisfan certes lleis.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Els cossos són uns objectes molt importants d'estudi en l'àlgebra, ja que proporcionen una útil generalització de molts sistemes de nombres, tal com els nombres racionals, els nombres reals i els nombres complexos. En particular es poden aplicar les lleis usuals d'associativitat, commutativitat i distributivitat. Els cossos apareixen també en moltes branques de les matemàtiques tal com veurem en exemples posteriors.

Quan l'àlgebra abstracta va començar a ésser desenvolupada, la definició de cos normalment no incloïa la commutativitat de la multiplicació, així el què avui anomenem cos fa un temps hauria estat anomenat cos commutatiu o domini racional. Avui en dia però, un cos és sempre commutatiu. Una estructura que satisfaci totes les propietats d'un cos llevat de la commutativitat, l'anomenem avui anell de divisió encara que cos no commutatiu és encara força usat. Altres llengües han mantingut aquesta antiga notació. Així per exemple, en italià i francès, els anells de divisió se'ls anomena corpo i corps. En canvi, en anglès, alemany i castellà, field, Körper (d'aquí vé que \mathbb{K} denoti normalment un cos) i cuerpo signifiquen cos. Remarquem que en francès no tenen una paraula concreta per dessignar un cos, amb la qual cosa han d'usar la forma corps commutatif. En italià existeix també la forma campo que es tradueix exactament per la nostra noció de cos.

El concepte de cos s'usa, per exemple, per definir vectors i matrius, dues estructures d'àlgebra lineal els components de les quals poden ésser elements d'un cos arbitrari. La teoria de Galois estudia la simetria de les equacions investigant les maneres en les quals els cossos estan continguts entre ells. Vegeu teoria de cossos per a més informació.

Història[modifica | modifica el codi]

El 1910 Ernst Steinitz va donar la primera definició axiomàtica de cos en el seu article Algebraische Theorie der Körper (en alemany:Teoria algebraica dels cossos).

Definició[modifica | modifica el codi]

Un cos és un anell commutatiu (F, +, *) tal que 0 no és igual a 1 i tots els elements de F llevat del zero tenen invers respecte la multiplicació (notem que aquí 0 i 1 representen els elements neutres de la suma i la multiplicació, respectivament, i no pas necessàriament els nombres 0 i 1).

En altres paraules, se satisfà:

Clausura de F respecte + i * 
Per a tots elements a i b de F, tant a + b com a * b pertanyen a F (o més formalment, + i * són operacions binàries en F).
Tant + com * són associatives 
Per a tot a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
Tant + com * són commutatives 
Per a tot a, b en F, a + b = b + a i a * b = b * a.
L'operació * és distributiva respecte la suma + 
Per a tots a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Existència d'element neutre per la suma 
Existeix un element 0 en F, tal que per a tot a en F, a + 0 = a.
Existència d'element neutre per la multiplicació 
Existeix un element 1 en F, diferent del 0, tal que per a tot a en F, a * 1 = a.
Existència d'element invers per la suma 
Per a tot a en F, existeix un element −a en F, tal que a + (−a) = 0.
Existència d'element invers per la multiplicació
Per a tot element a ≠ 0 en F, existeix un element a−1 en F, tal que a * a−1 = 1.

La condició 0 ≠ 1 ens assegura que el conjunt que només conté un sol element no és un cos. Directament dels axiomes, hom pot demostrar que (F, +) i (F − {0},*) són grups abelians commutatius i per tant l'invers de la multiplicació d'un producte és igual al producte dels inversos:

(a*b)−1 = b−1 * a−1 = a−1 * b−1

tals que a i b són diferents de zero. Altres propietats útils són:

a = (−1) * a

i més generalment

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b)

així com

a * 0 = 0,

i totes les lleis de l'aritmètica elemental.

Si traiem la condició de commutativitat de l'operació *, distingim aleshores entre cossos commutatius i cossos no commutatius, anomenats generalment anells de divisió.


Exemples de cossos[modifica | modifica el codi]

  • Els nombres complexos \mathbb C, amb les operacions habituals de suma i multiplicació. El cos de nombres complexos conté els següents subcossos (un subcòs d'un cos F és un conjunt que conté el 0 i l'1, tancat respecte les operacions + i * de F i amb les seves pròpies operacions definides mitjançant la restricció):
    • Els nombres racionals \mathbb Q = { a/b | a, b de \mathbb Z, b ≠ 0 } on \mathbb Z és l'anell dels enters. El cos dels nombres racionals no conté cap subcòs propi (és a dir, estrictament contingut).
    • Un cos de nombres és una extensió finita dels nombres racionals \mathbb Q, és a dir, un cos que conté \mathbb Q i que té dimensió finita com a espai vectorial sobre \mathbb Q. Aquests cossos són molt importants en la teoria de nombres.
    • El cos dels nombres algebraics, la clausura algebraica de \mathbb Q.
    • El cos dels nombres reals \mathbb R, amb les operacions habituals de suma i multiplicació. Quan en aquest cos es defineix l'ordre habitual, aleshores forma un cos completament ordenat que és categòric — aquesta és l'estructura que aporta la base de la majoria de tractaments formals del càlcul.
  • Si q > 1 és una potència d'un nombre primer, aleshores existeix (llevat d'isomorfisme) un únic cos finit amb q elements, denotat normalment \mathbb F_q, o bé GF(q). Qualsevol altre cos finit és isomorf a un d'aquests cossos. A aquests cossos se'ls anomena moltes vegades cos de Galois, d'on prové la notació GF(q).
    • En particular, per a un nombre primer p donat, el conjunt d'enters mòdul p és un cos finit amb p elements: \mathbb F_p = {0, 1, ..., p − 1} on les operacions es defineixen efectuant les operacions a \mathbb Z, dividint entre p i quedant-nos amb el residu (vegeu aritmètica modular).
      • Prenent p = 2, obtenim el cos més petit \mathbb F_2, que té només dos elements: el 0 i l'1. Pot ser definit mitjançant les dues taules de Cayley
+   0     1  
0   0     1  
1   1     0  
*   0     1  
0   0     0  
1   0     1  
Aquest cos té un rol important en ciències de la computació, especialment en criptografia i teoria de codis.
  • Els nombres racionals poden ser estesos als cossos de nombres p-àdics per a cada nombre primer p. Aquests cossos són molt importants tant en teoria de nombres com en anàlisi matemàtica.
  • Siguin E i F dos cossos tals que F és un subcos de E. Sigui x un element de E que no pertany aF. Aleshores F(x) es defineix com el subcos de E més petit que conté F i x. Anomenem F(x) una extensió simple de F. Per exemple, \mathbb Q[i] és el cos de nombres contingut en \mathbb C tal que els seus elements són nombres de la forma a + bi on tant a com b són nombres racionals. De fet, es pot demostrar que tot cos de nombres és una extensió simple de \mathbb Q.
  • Sigui F un cos. El conjunt F(X) de funcions racionals de variable X amb coeficients en F és un cos, definit com el conjunt de quocients de polinomis amb coeficients en F. Aquest és l'exemple més simple d'extensió transcendent.
  • Si F és un cos i p(X) és un polinomi irreductible en l'anell de polinomis F[X], aleshores l'anell quocient F[X]/<p(X)> és un cos amb un subcos isomorf a F. Per exemple, \mathbb R[X]/<X^2+1> és un cos (de fet, és isomorf al cos dels nombres complexos). Es pot veure que tota extensió algebraica simple de F és isomorfa a un cos d'aquesta forma.
  • Si F és un cos, el conjunt F((X)) de sèries formals de Laurent sobre F és un cos.
  • Si V és una varietat algebraica sobre F, aleshores les funcions racionals VF formen un cos, el cos de funcions de V.
  • Si S és una superfície de Riemann, aleshores les funcions meromorfes S\mathbb C formen un cos.
  • Si I és un conjunt indexat, U és un ultrafiltre en I, i Fi és un cos per a cada i en I, l'ultraproducte dels Fi (usant U) és un cos.
  • Els nombres hiperreals i els nombres superreal estenen els nombres reals amb l'addició d'infinitesimals i infinits nombres.

També hi ha classes pròpies amb estructura de cos, que són de vegades anomenades Cossos, amb C majúscula:

  • Els nombres surreals formen un Cos que conté els reals, i seria un cos si no fos que són una classe pròpia i no pas un conjunt. El conjunt de tots els nombres surreals amb aniversari més petit que algun cardinal inaccessible formen un cos.
  • Els nimbers formen un Cos. El conjunt de nimbers amb aniversari més petit que 2^{2^n} i els nimbers amb aniversari més petit que qualsevol cardinal infinit són exemples de cossos.

Alguns teoremes introductoris[modifica | modifica el codi]

  • El conjunt d'elements diferents de zero d'un cos F (denotat normalment per F×) és un grup abelià amb la multiplicació. Tot subgrup finit de F× és cíclic.
  • La característica de qualsevol cos és o bé 0 o bé un nombre primer. (La característica es defineix com el nombre enter positiu n més petit que n·1 = 0, o zero si no existeix tal nombre; aquí n·1 significa la suma 1 + 1 + 1 + ... + 1 n vegades. Una definició equivalent és la següent: la característica d'un cos F és l'únic generador no negatiu del nucli de l'únic anell d'homomorfismes \mathbb ZF que envia 1 |-> 1.)
  • El nombre d'elements d'un cos finit és una potència d'un nombre primer.
  • Com a anell, un cos no té cap ideal llevat del {0} i d'ell mateix.

Construint nous cossos a partir d'altres donats[modifica | modifica el codi]

  • Si un subconjunt I d'un cos (F,+,*) juntament amb les operacions *, + restringit a I és en si mateix un cos, llavors es diu un subcos de F. Tal subcos té els mateixos 0 i 1 que F.
  • Una extensió algebraica d'un cos F és el cos més petit que conté a F i una arrel d'un polinomi irreduible p(X) en F [X]. Alternativament, és idèntic a l'anell factor F [X]/<p(X)>, on <p(X)> és l'ideal generat per p(X).