Anàlisi matemàtica

L'estudi del conjunt de Mandelbrot, que és un objecte fractal amb autosimilars estadístics, involucra diverses àrees de l'anàlisi matemàtica, l'anàlisi de la convergència, la teoria de la mesura, la geometria i la teoria de la probabilitat i l'estadística.

L'anàlisi matemàtica, o simplement anàlisi, és la branca de les matemàtiques que inclou els conceptes de límit i continuïtat, sèries numèriques, diferenciació, integració, teoria de la mesura, aproximació de funcions, i en general totes les qüestions relatives als conceptes de límit i convergència, estudiats en el context dels nombres reals i complexos i de les seves funcions.

L'anàlisi tingué els seus inicis en el càlcul infinitesimal, nom que actualment s'aplica als conceptes i tècniques més elementals de l'anàlisi (successions i sèries numèriques, límits, derivació i integració de funcions d'una o diverses variables reals, sèries de potències). El rigor i l'abstracció creixents de les matemàtiques han portat l'anàlisi més enllà de l'àmbit de les funcions d'una o diverses variables, i segons quins conceptes es poden estudiar en espais vectorials més generals, com ara els espais de Banach o de Hilbert, o espais on hi hagi un concepte de proximitat, com ara els espais mètrics o topològics.

Història

Isaac Newton, en un retrat realitzat per Godfrey Kneller el 1689.

A l'antiguitat i en la edat mitjana respectivament, els matemàtics grecs i hindús van estar interessats en l'infinitesimal i van obtenir resultats prou interessants, però molt fragmentaris. Per raons històriques, els seus successors immediats no varen poder continuar aquests treballs. Els primers resultats en l'anàlisi aparegueren de manera implícita en els primers temps de la matemàtica de l'Antiga Grècia. Per exemple, una suma geomètrica infinita apareix de manera implícita en la paradoxa de Zenó de la dicotomia. Més tard, matemàtics grecs com Eudoxe i Arquimedes va fer-ho de manera més explícita, però també més informal, l'ús dels conceptes de límit i convergència quan van usar el mètode d'esgotament per calcular l'àrea i el volum de les regions i els sòlids. A l'Índia, el matemàtic del segle XII Bhaskara II va donar exemples de la derivada i s'utilitza el que es coneix com el teorema de Rolle.

L'anàlisi moderna va ser establerta al segle XVII amb el càlcul infinitesimal de Newton i de Leibniz. En aquella època, els temes d'anàlisi tal com el càlcul infinitesimal, les equacions diferencials, les equacions en derivades parcials, l'anàlisi de Fourier i les funcions engendrades eren desenvolupats principalment en els treballs aplicats. Les tècniques de càlcul infinitesimal eren utilitzades amb èxit per tal d'aproximar problemes discrets, cap a problemes del continu.

Bernard Bolzano, matemàtic, teòleg, filòsof txec, impulsà l'anàlisi real a començaments del segle XIX

Al segle XVIII, Euler va introduir la noció de funció matemàtica. L'anàlisi real va començar a emergir com una assignatura independent quan, el 1816, Bernard Bolzano (1781-1848) va introduir la definició moderna de la continuïtat. Durant tot aquest segle, la definició de funció va ser objecte de debat entre els matemàtics. En el segle XIX, Cauchy va ser el primer a donar uns fonaments lògics estrictes del càlcul diferencial introduint el concepte de successió de Cauchy. I també, fou en aquesta època, que s'inicià la teoria formal de l'anàlisi complexa. Poisson, Liouville, Fourier i d'altres estudiaren les equacions en derivades parcials i l'anàlisi harmònica.

A mitjans del segle XIX, Riemann va introduir la seva teoria de la integració: la integral de Riemann. Durant l'últim terç del segle XIX, l'anàlisi es va veure aritmetitzada per Karl Weierstrass, que opinava que els raonaments geomètrics eren en si mateixos tramposos i introduí també la definició $''\epsilon \delta ''$ dels límits. Després els matemàtics començaren a inquietar-se pel fet de no tenir prova de l'existència de continu dels nombres reals. Fins que Richard Dedekind va construir els nombres reals amb els talls de Dedekind. Al mateix temps, els intents per afinar els teoremes de la integral de Riemann han portat a l'estudi de la mida dels conjunts discontinus de les funcions reals.

A més, "monstres" (funcions no contínues en cap punt, funcions contínues però no derivables en cap punt, corbes de farciment de l'espai) començaren a ser descrites. En aquest context, Jordan va desenvolupar la seva teoria sobre la mesura. Cantor va desenvolupar el que actualment s'anomena la teoria ingènua dels conjunts. A principis del segle XX, el càlcul infinitesimal es formalitza per la teoria axiomàtica dels conjunts. Lebesgue va solucionar el problema de la mesura, i Hilbert introduí els espais de Hilbert per solucionar les equacions integrals. La idea de l'espai vectorial normat era força estudiada als anys 1920 i Stefan Banach va crear l'anàlisi funcional.

Subdivisions

Avui es pot considerar l'anàlisi dividida en els temes següents:

• Anàlisi real: L'estudi rigorós i formal de les derivades i integrals de funcions amb valors reals. Incloent l'estudi dels límits, de les sèries potencials i de les mesures.
• Anàlisi funcional: L'estudi dels espais de funcions i la introducció de conceptes tals com els espais de Banach i els espais de Hilbert.
• Anàlisi harmònica: L'estudi de les sèries de Fourier i de les seves abstraccions.
• Anàlisi complexa: L'estudi de les funcions del pla complex i que són derivables sobre el conjunt dels nombres complexos.
• Anàlisi no-estàndard: L'estudi dels nombres hiperreals i de les seves funcions.

Bibliografia

• Aleksandrov, A. D.; Kolmogorov, A. N.; Lavrent'ev, M. A. (Ed.), traducció de S. H. Gould, K. A. Hirsch i T. Bartha. Traducció editada per S. H. Gould; Mathematics, its Content, Methods, and Meaning, The M.I.T Press; publicada en col·laboració amb l'American Mathematical Society, segona edició, quarta impressió, 1984 Cambridge, Massachusetts, Library of Congress Card Number: 64-7547.
• Apostol, Tom M.. Mathematical Analysis. 2a edició (en anglès). Addison-Wesley, 1974. ISBN 978-0201002881. 
• «Curs de Harvard» (en anglès).
• Jean-Étienne Rombaldi. Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (en francès)
• K.G. Binmore. The foundations of analysis: a straightforward introduction (en anglès)
• Nikol'skii, S. M. Mathematical analysis, a Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor), Springer-Verlag (2002). ISBN 1-4020-0609-8.
• Richard Johnsonbaugh i W. E. Pfaffenberger. Foundations of mathematical analysis
• Smith, David E.. History of Mathematics (en anglès). Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8. 
• Stillwell, John. Mathematics and its History. segona edició (en anglès). Springer Science + Business Media Inc., 2004. ISBN 0387953361. 
• Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Tercera edició revisada (en anglès). McGraw-Hill Publishing Co., 1 de setembre de 1976. ISBN 978-0070856134. 
• Whittaker, E.T. i Watson, G.N.. A Course of Modern Analysis. 4a edició (en anglès). Cambridge University Press, 1927. ISBN 0521588073. 

Enllaços externs

• «Entrada "anàlisi matemàtica"». Enciclopèdia.cat.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis (en anglès)
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis per Jiri Lebl (en anglès)