Límit

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió[modifica | modifica el codi]

Introducció[modifica | modifica el codi]

Les successions són les funcions amb domini de definició , o, a vegades (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a n\in\mathbb N mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a n\to+\infty; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència[modifica | modifica el codi]

  • Cas del límit finit l\in\R\,\!: per a tot «descart de tolerància» \epsilon > 0\,\! existeix un «enter de confidència» N_0 \in \mathbb N \,\! tal que, per a tot n més gran que N_0 \,\!, el valor u_n \,\! és prop de l per a menys de ε: n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!.

Quan existeix, el límit l és únic ; s'escriu llavors \lim (u_n)_n = l \,\!, i es diu que (u_n)_n \,\! tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

  • Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) +\infty\, i B) -\infty\,.

Per a cada « llindar de tolerància » M>0 \,\! cal que es pugui trobar un « enter de confidència » N_0 \in \N \,\! a partir del qual els valors de \vert (u_n) \vert\, siguin superiors a M \,\! i els (u_n) \, es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

  • n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\! per a \lim (u_n) = +\infty \,\!
  • n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n \leq M \,\! per a \lim (u_n) = -\infty \,\!.

A més, en el cas A) n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n >0 \,\! i en el cas B) n \geq N_0 \ \Rightarrow u_n <0 \,\!.

Se diu llavors que (u_n) \,\! tendeix (o divergeix) a: A) +\infty 
\,\!, B) -\infty \,\!.

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit \infty \,\! quan \lim {1\over u_n} =0 . Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on n \geq N_0 \ \Rightarrow \vert u_n \vert\geq M \,\! però els (u_n) poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions[modifica | modifica el codi]

Es parla de sub-successió de la successió (u_n) 
\,\! quan se seleccionen "només uns quants" elements de (u_n) \,\!: així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions (u_{2n}) \,\! dels termes de rang parell, i (u_{2n+1}) \,\! dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació \phi \ : \ \N \to \N \,\! estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma (u_{\phi(n)}) \,\!.

Una proprietat important és que una successió (u_n) \,\! admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió (u_{\phi(n)}) \,\! admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit[modifica | modifica el codi]

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents i tals que lim xn = L i lim yn = P, llavors

  • la successió (xn + yn) convergeix a L + P.
  • Si a és un nombre real, llavors la successió (a xn) convergeix a aL.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (xn) i (yn) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (xnyn) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar N\in{\mathbb N} tal que la successió (xn/yn), amb n\geq N és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (xn) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
  • La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
  • La successió n\mapsto u(n):= (-1)^{n}= (-1, 1, -1, 1, ...) no és convergent, però les seves sub-successions n\mapsto u(2n) i n\mapsto u(2n+1) ho són.
  • La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit \infty.
  • La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
  • Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general an té límit 0.
  • Si a >0, llavors la successió de terme general a1/n té límit igual a 1.
  • La successió n\mapsto u(n):= (1+1/n)^{n} convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió n\mapsto u(n):= (1+x/n)^{n} convergeix a  e^x.

Límits de funcions[modifica | modifica el codi]

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a[modifica | modifica el codi]

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui f(x)\,\! : \ R\to\R


\lim_{x \to a}f(x) = \ l\in\R ⇔ ∀ε>0, ∃ \ \delta > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- \ \delta,a) ∪ (a, a+\ \delta)

Límits finits[modifica | modifica el codi]

Si \ f és una funció real de variable real i \ a un punt del domini de definició de f, es diu que \ l\in\R és el límit de \ f en \ a si :

  • intuïtivament, \ f(x) s'acosta a \ l en la mesura que \ x s'acosta a \ a ;
  • amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » \ \epsilon > 0 es pot trobar un « descart de confidència » \ \delta > 0 tal que, quan \ x és prop de \ a a menys de \ \delta, llavors f(x) és prop de \ l a menys de \ \epsilon.

En símbols: a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer f(x)\,\! tant prop de l\,\! que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de a\,\!.

En aquest cas, s'escriu \lim_{x \to a}f(x) = l\,\!.

Límits infinits[modifica | modifica el codi]

Pot també succeir que al punt a\,\! la funció f\,\! no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a a\,\! el valor de f\,\! "s'acosta" a +\infty\,\! o a -\infty\,\!; és a dir, esdeven grand quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de +\infty\,\!) o negatiu (-\infty\,\!).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » M>0\,\! es pot trobar un « descart de confidència » \delta > 
0\,\! tal que, dès que x\,\! és prop de a\,\! a menys de \delta\,\!, llavors \vert f(x) \vert\,\! és major que M\,\! i  f\! es manten de signe constant: a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) \vert \geq M i: f(x)>0 per al cas del límit +\infty, f(x)<0 per al cas del límit -\infty.

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer f(x)\,\! tant prop de \pm\infty que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de a\,\!.

En aquest cas s'escriu \lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\! (o \lim_{x \to 
a}f(x) = -\infty\,\!).

Infinit sense signe[modifica | modifica el codi]

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit \infty \,\!, quan \lim_{x \to a} {1/f(x)} =0 . Això resumeix els casos \pm\infty 
\,\! i, a més, el cas on a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x) 
\vert \geq M però f pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en (a-\delta,x)\bigcup (x, a+\delta).

Límits per l'esquerra, per la dreta[modifica | modifica el codi]

Pot succeir també que el comportament local de la funció f\,\! sigui different « per l'esquerra » de a\,\! (és a dir per a les x<a\,\!) i « per la dreta » de a\,\! (és a dir per a les x>a\,\!). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra ; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de f(x)\,\! amb l\,\! o \pm\infty\,\! és demanada només per a un costat de a\,\!. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

  • per al límit per l'esquerra :
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\! quan
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\! quan
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M
  • per al límit per la dreta :
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\! quan
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\! quan
a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt a \,\! si i només si té un límit per l'esquerra l_e\,\! i un límit per la dreta l_d\,\! i aquests són iguals : l_g=l_d\,\!

Límit d'una funció a l'infinit[modifica | modifica el codi]

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definicó, sigui quan x\,\! creix indefinidament (límit en +\infty), sigui quan x\,\! decreix indefinidament (límit en -\infty).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en +\infty són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en -\infty són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits[modifica | modifica el codi]

El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0 ; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció f\,\! admet el límit finit l\,\! en +\infty sif(x) \,\! s'acosta a l\,\! en la mesura que x\,\! esdeven més gran (o « tendeix a +\infty\,\! »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » \epsilon>0 \,\! es pot trobar una « llindar de confidència » M>0 

\,\! després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre l\,\! i radi \epsilon \,\!, és a dir: x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon

En altres mots, es pot fer f(x)\,\! tant prop de l\,\! que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu \lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en -\infty : es diu que f(x)\,\! tendeix a l\,\! quan x tendeix a -\infty si per a tot descart \epsilon > 0 \,\! es pot trobar una llindar M < 0 \,\! tal que:  x \leq M \  \Rightarrow \ 
l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon, i s'escriurà \lim_{x \to -\infty}f(x) = l 
\,\!.

Límits infinits[modifica | modifica el codi]

Direm que la funció f\,\! admet el límit \pm\infty\,\! en +\infty si\vert f(x) \vert\,\! esdevé arbitràriament gran en la mesura que x\,\! esdevé més gran (o « tendeix a +\infty\,\! »). De més, f(x)\,\! resta amb signe positiu (+\infty\,\!) o negatiu (-\infty\,\!) per a tals x . La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit \infty\,\!.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » K>0 \,\! es pot trobar un « llindar de confidència » M>0 \,\! després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir (K,+\infty)\,\! (cas +\infty\,\!), (-\infty,-K)\,\! (cas -\infty\,\!) o (-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\! (cas \infty\,\!).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer f(x)\,\! tant prop de \pm\infty\,\! (o \infty\,\!) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu \lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\! o \lim_{x 
\to +\infty}f(x) = \infty \,\!.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en -\infty : direm que la funció f\,\! admet el límit \pm\infty\,\! en -\infty si\vert f(x) \vert\,\! esdeven arbitràriament gran en la mesura que x\,\! esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a -\infty\,\! »). De més, f\,\! resta amb signe positiu (+\infty\,\!) o negatiu (-\infty\,\!) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit \infty\,\!.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » K>0 \,\! es pot trobar un « llindar de confidència » M<0 \,\! abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir (K,+\infty)\,\! (cas +\infty\,\!), (-\infty,-K)\,\! (cas -\infty\,\!) o (-\infty,-K)\bigcup (K,+\infty)\,\! (cas \infty\,\!).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer f(x)\,\! tant prop de \pm\infty\,\! (o \infty\,\!) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu \lim_{x \to +\infty}f(x) = \pm\infty \,\! o \lim_{x 
\to +\infty}f(x) = \infty \,\!.

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x0 un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o \pm\infty .

  • Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
  • Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x0, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x0 és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x0, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x0 on f/g està ben definida; el seu límit a x0 és L/P.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • El límit de x\mapsto \frac{1}{x} quan x tendeix a \pm\infty és igual a 0.
Clau de la demostració per a +\infty: si x\geq M, llavors \frac{1}{x}\leq 1/M.
  • El límit per la dreta de x\mapsto \frac{1}{x} quan x tendeix a 0 (0+) és +\infty.
Clau de la demostració: si 0<x\leq \delta, llavors \frac{1}{x}\geq \frac{1}{\delta}.
  • El límit per l'esquerra de x\mapsto \frac{1}{x} quan x tendeix a 0 (0-) és -\infty.
  • El límit (bilateral) de x\mapsto \frac{1}{x} quan x tendeix a 0 és \infty sense signe, és a dir x\mapsto \frac{1}{1/x} tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que \frac{1}{1/x}=x. Recordeu que

\infty sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

  • El límit de x\mapsto x^2 quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).
Clau de la demostració: si 2\leq x\leq 4, llavors \vert x^2-9\vert= \vert (x+3)\vert\cdot\vert (x-3) \vert\leq 7\cdot\vert (x-3) \vert .
  • El límit de x\mapsto \vert x \vert^{\vert x \vert} quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x} quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
  • El límit per la dreta de x\mapsto \frac{\vert x \vert}{x} quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
  • El límit de x\mapsto \frac{\sin x}{x} quan x tendeix a 0 és igual a 1.
  • El límit de x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x} quan x tendeix a 0 és igual a 0.
  • El límit de x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x^2} quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
  • El límit de x\mapsto \frac{\sin x}{x}+\vert x \vert^{\vert x \vert} quan x tendeix a 0 és igual a 2.
  • El límit de x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot\vert x \vert^{\vert x \vert} quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions[modifica | modifica el codi]

Es pot provar que \lim_{x \to +x_0} f(x) = y_0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(u_n) 
= y_0 per a cada successió (u_n) = tal que \lim_{n \to 
\infty} (u_n) = x_0 , és a dir per a cada successió convergent a x_0 
.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]