Convergència uniforme

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La convergència uniforme[1] és un concepte propi de l'anàlisi matemàtica, sobretot de l'anàlisi real, introduït per salvar les mancances de la convergència puntual en successions de funcions.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una successió de funcions  \{ f_n \}_{n\in \mathbb{N}}, amb  f_n: X \rightarrow Y , amb Y un espai mètric amb distància d, direm que convergeix uniformement a una funció  f: X \rightarrow Y, i ho notarem  f_n \rightarrow f (unif.), si es compleix:

 \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ :\ \forall n\in \mathbb{N},\ n>N,\ d(f_n(x), f(x)) < \epsilon \ \ \forall x\in X

És a dir, la convergència uniforme es dóna quan a partir d'un cert terme de la successió, les funcions són tan properes com vulguem en tots els punts ( f_n s'aproxima a  f per igual a tot X, uniformement); aquest detall és el que diferencia la Convergència Uniforme de Convergència Puntual.

En particular, per funcions  f_n reals de variable real, que és el cas que desenvoluparem en aquest article, tenim:

 \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ :\ \forall n\in \mathbb{N},\ n>N,\ |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \ \ \forall x\in \mathbb{R}

Convergència uniforme de sèries[modifica | modifica el codi]

Direm que la sèrie  \sum_{n=1}^{\infty} f_n convergeix uniformement[1] a una funció  f , si ho fa la successió corresponent de sumes parcials  \{ \sum_{n=1}^{N} f_n \}_{N\in \mathbb{N}}, és a dir, si es compleix:

 \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ :\ \forall m\in \mathbb{N},\ m>N,\ |\sum_{n=1}^{m} f_n(x)-f(x)| < \epsilon \ \ \forall x\in \mathbb{R}

Criteri de Cauchy[modifica | modifica el codi]

El criteri de Cauchy per la convergència uniforme de successions de funcions,[1] nom que ve del matemàtic francès Augustin Louis Cauchy, ens diu que una successió de funcions  \{ f_n \}_{n\in \mathbb{N}} convergeix uniformement a una funció  f si, i només si, a partir d'un cert terme, les imatges per dos elements de la successió qualssevol d'un punt qualsevol del domini són tan properes com vulguem; és a dir:

 \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N} \ :\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>N,\ |f_n(x)-f_m(x)| < \epsilon \ \ \forall x\in \mathbb{R}

De nou, com en la definició de convergència uniforme, observem que aquí N només depèn de  \epsilon, i no pas del punt del domini escollit, així que podríem resumir el criteri dient que les funcions "s'han d'acostar a tots els punts per igual, uniformement" a partir d'un cert terme.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 1,2 Rudin, Walter.Principios de Análisis Matemático. McGraw Hill, 1980; p.157.