Nombre e

La constant matemàtica e (anomenada a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes) és la base dels logaritmes naturals.

El nombre e és igual a exp(1), on exp és la funció exponencial. Correspon al límit matemàtic

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Aquest límit existeix, ja que la successió $n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ és creixent i limitada per sobre. Això dóna aproximadament e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

$1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,$

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.$

Es pot provar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial [exp(x)] és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,$

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

$e^{i\pi}+1=0 \,\!$

Ella és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

$e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y )$

vàlida per a tot $x,y\in{\mathbb R}$ (i de fet per a tot $x,y\in{\mathbb C}$ ).

És conegut que e és irracional i transcendent.

[edita] Implementació en informàtica

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>

using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
   //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
   // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
   //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
   if(n == 0) return 0;
   double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
   double s = 1;
   for(int i = 1; i < n; ++i) {
       facti *= i;        
       s += 1/double(facti);      
   }
   
   return s;
}

int main() {
   cout.setf(ios::fixed);
   cout.precision(10);

   int n;
   while(cin >> n) {
       cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
   }
}

Nombre e

De Viquipèdia

[edita] Implementació en informàtica

Vistes

Eines personals

Navegació

Cerca

comunitat

Eines

En altres llengües