Geometria
De Viquipèdia
La Geometria (etimologia del grec γεωμετρία; γη = terra, μετρώ = mesurar) és la branca del coneixement que s'ocupa dels objectes o figures i de les seves relacions en l'espai, es a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació, etc. Fou un dels dos camps de les matemàtiques clàssiques, essent l'altre camp, l'aritmètica o estudi dels nombres.
A l'Edat Moderna, el filòsof Descartes reformulà el concepte de coordenades cartesianes, el qual donà pas a la geometria analítica que va introduir els metòdes de càlcul algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s'han generalitzat fins assolir un elevat grau d'abstracció i complexitat, conseqüentment podem parlar d'una geometria tradicional o clàssica, que és la que tothom coneix, ja que s'ensenya a les escoles primàries. Les altres geometries, en general, són disciplines fonamentades, en part, en els conceptes en certa forma intuïtius de la geometria clàssica, a partir dels quals es formulen altres hipòtesis, es desenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o matematiques.
La geometria clàssica s'ocupa de les figures i objectes que existeixen o podem imaginar, tant en el pla com en l'espai, així com de les seves principals relacions, aplicacions, extensions, etc., com són:
-
- La forma de les figures, la seva generació i paràmetres.
- Per exemple: la circumferència es defineix com una corba tancada i plana, els punts de la qual equidisten d'un punt anomenat centre.
-
- Les mesures sobre o de les figures com són la superfície, el volum o altres.
- Com exemple tenim el volum de l'esfera segons la següent expressió:
-
- Les relacions entre les figures com: distància, proporcions, igualtat o semblança, punts mitjans, bisectriu, etc.
-
- Les operacions entre figures o a partir de les figures com: paral·lelisme, perpendicularitat, simetria, homologia, unió, intersecció, etc.
-
- Les aplicacions a la resolució de problemes entre figures o a partir de les figures com: trobar tangents comunes a dues circumferències, trobar la projecció sobre un pla, etc.
-
- Entre les aplicacions notables hi ha la resolució de triangles, on a partir d'un costat i dos angles, dos costats i un angle o dels tres costats, es poden deduir els altres costats i angles. Aquesta aplicació és la base de la Geodèsia i de la Topografia.
La geometria clàssica és Euclidiana, anomenada així en honor del matemàtic grec Euclides, qui formulà el famós cinquè postulat o postulat d'Euclides, en el qual es basa aquesta ciència.
Taula de continguts
|
[edita] Història de la geometria
Els començaments de la geometria més antics dels que hi ha constància es remunten a la antiga Mesopotàmia, Egipte, i la Vall del Indus al voltant del 3000 aC. La geometria primitiva era un recull de principis descoberts empíricament referits a llargades, angles, àrees, i volums, que es van desenvolupar per obtenir-ne algun ús pràctic en agrimensura, construcció, astronomia, i diverses aplicacions artesanes. Els primers texts coneguts sobre geometria són els papirs egipcis, de Rhind i de Moscou, les tauletes d'argila babilòniques, i el Shulba Sutras indi, mentre que els xinesos tenien el treball de Mozi, Zhang Heng, i els Nou Capítols sobre l'Art Matemàtic, editat per Liu Hui.
Els elements d’Euclides (c. 300 aC) va ser un dels texts antics més importants sobre geometria, en aquest text Euclides presenta la gometria d’una forma axiomàtica ideal, aquesta geometria és la que es coneix com geometria Euclidiana. Aquest tractat, en contra del que de vegades es creu, no és un compendi de tot el que els matemàtics grecs sabien sobre geometria en aquella època; sinó que, és una introducció elemental a la geometria;[1] El mateix Euclides va escriure vuit llibres més avançats sobre geometria. Es tenen referències de què els llibres d’Euclides no van ser el primer llibre de text elemental sobre geometria, però els altres no es varen fer servir i s’han perdut.
A l'edat mitjana, els matemàtics del món islàmic van contribuir al desenvolupament de la geometria, en especial de la geometria algebraica[2][3] i de l'àlgebra geomètrica.[4] Al-Mahani (853 - ) va concebre la idea de reduir problemes geomètrics com duplicar el cub a problemes d'àlgebra. [3] Thābit ibn Qurra (en llatí conegut com Thebit) (836-901) va tractar amb operacions aritmètiques aplicades a proporcions de quantitats geomètriques, i va contribuir al desenvolupament de la geometria analítica.[5] Omar Khayyám (1048-1131) va trobar solucions geomètriques a equacions cúbiques, i els seus estudis extensius sobre el postulat de les paral·leles van contribuir al desenvolupament de la geometria no euclidiana.[6] Els teoremes d'Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam i Nasir al-Din al-Tusi sobre quadrilàters, incloent-hi el quadrilàter de Lambert i el quadrilàter de Saccheri, van ser els primers teoremes sobre geometria el·líptica i geometria hiperbòlica, i conjuntament amb els seus postulats alternatius, com l'axioma de Playfair, aquests treballs van tenir una influència considerable sobre el desenvolupament de la geometria no euclidiana entre geòmetres europeus posteriors, entre ells Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis, i Giovanni Girolamo Saccheri.[7]
A començaments del segle XVII, es van produir dos desenvolupaments importants en geometria. El primer, i més important, va ser la creació de la geometria analítica, o geometria amb coordenades i equacions, per part de René Descartes (1596-1650) i Pierre de Fermat (1601-1665). Això és un precursor necessari pel desenvolupament del càlcul infinitesimal i per fer de la física una ciència quantitativa i precisa. El segon desenvolupament geomètric d'aquest període va ser l'estudi sistemàtic de la geometria projectiva per part de Girard Desargues (1591-1661). La geometria projectiva és l'estudi de geometria sense mesures, només l'estudi de com s'alineen els punts entre ells.
Dos desenvolupaments en geometria al segle XIX van canviar la forma en què s'havia estudiat prèviament. Aquests van ser el descobriment de geometries no euclidians per Lobachevsky, Bolyai i Gauss i el de la formulació de la simetria com la consideració central en el Programa Erlangen de Felix Klein (que generalitzava les geometries euclidianes i no euclidians). Dos dels geòmetres principals del temps van ser Bernhard Riemann, que va treballar principalment amb eines de l'anàlisi matemàtica, i va presentar la superfície de Riemann, i Henri Poincaré, el fundador de la topologia algebraica i la teoria geomètrica dels sistemes dinàmics.
Com a conseqüència d'aquests canvis essencials en la concepció de la geometria, el concepte d'espai es va convertir en una cosa més rica i variada, i la base natural per a teories tan diferents com l'anàlisi complexa i la mecànica clàssica. El tipus tradicional de geometria s'identificava amb espais homogenis, aquells espais que tenen prou simetria, de manera que tinguin el mateix aspecte des de qualsevol punt.
[edita] Classes de geometria
Les disciplines matemàtiques que tracten temes geomètrics es poden classificar seguint diversos criteris.
En funció del tipus d'espai que s'estudia: La geometria euclidiana que estudia l'espai usual amb les nocions de distància i d'angle. La geometria afí que estudia els punts i les rectes però sense les nocions de distàncies i angles. La geometria projectiva que afegeix als espais de la geometria afí punts a l'infinit. La geometria no euclidiana que és una variació de la geometria euclidiana que compren la geometria hiperbòlica, el·líptica i esfèrica. Aquestes geometries es poden generalitzar, principalment augmentant la dimensió de l'espai.
En funció de la manera en què s'estudia o axiomatitza la geometria: La geomtria sintètica que parteix d'axiomes i dedueix teoremes seguint les regles de la lògica. La geometria analítica que fa servir sistemes de coordenades per establir una correlació entra els punts de l'espai i ternes de nombres reals. L'àlgebra lineal que generalitza la geometria analítica substituint les coordenades per espais vectorials. El programa d'Erlangen que fa servir la noció de grup i 'acció de grup.
També hi ha altres branques de les matemàtiques que fan servir les figures que procedeixen dels espais euclidians però que estudien espais que no són necessàriament espais euclidians: La topologia, la geometria diferencial, la geometria algebraica i la geometria no commutativa.
[edita] Classificació en funció del tipus d'espai
Per a Henri Poincaré[8], l'espai geomètric posseeix les següents propietats:
- És continu.
- És infinit.
- Té tres dimensions.
- És homogeni, és a dir que tots els seus punts són idèntics entre ells.
- És isòtrop, és a dir que totes les dretes que passen per un mateix punt són idèntiques entre elles.
Les geometries euclidiana i no euclidiana corresponen a aquesta definició stricto sensu de l'espai. Construir aquesta geometria consisteix en enunciar les regles de manipulació dels quatre objectes fonamentals el punt, la recta, el pla i l'espai.
Una forma de generalitzar aquest espai és augmentant el nombre de dimensions.
[edita] Geometria euclidiana
La geometria euclidiana estudia els espais on es compleixen els cinc postulats d'Euclides:
- Dos punts diferents es poden unir per una recta.
- Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta.
- Donats un segment rectilini i un punt qualsevols, existeix una circumferència de centre aquest punt i radi el segment donat.
- Tots els angles rectes són iguals.
- Si dues rectes intersequen amb un tercera de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.
L'estudi de la geometria euclidiana normalment comença per l'estudi de les figures en el pla (un espai de dues dimensions) i després s'estén a l'estudi de l'espai de tres dimensions. Per representar en un pla els objectes de tres dimensions es fa servir la geometria descriptiva.
- Geometria plana: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, es a dir, amb una dimensió reduïda front a les altres dos, com per exemple: una paret o un paviment, una pàgina d'un llibre o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dos dimensions on es dessenvolupa aquesta geometria.
- Geometria de l'espai: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions, es a dir, l'espai físic del qual en tenim una experiència intuitiva directa.
- Geometria descriptiva: és una aplicació de la geometria clàssica que te per objecte representar sobre un o més plans, les figures de l'espai. Va néixer per satisfer la necesitat de representar sobre un full de paper (o qualsevol suport bidimensional). els plànols o dibuixos dels projectes dels edificis o les obres públiques així com els enginys, les màquines,etc., els quals són objectes de tres dimensions. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten, a partir dels plànols, deduïr i per tant construir amb seguretat allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, mesures i totes les relacions geomètriques per complexes que siguin.
[edita] Geometria afí
En la geometria afí no es consideren ni el tercer ni el quart postulats d'Euclides. El seus resultats són vàlids en els espais de la geometria euclidiana però també, per exemple en l'espai de Minkowski.
La geometria afí estudia les propietats geomètriques que es mantenen inalterades per les transformacions afins, és a dir per les transformacions lineals i les translacions. No es poden mesurar angles ni comparar distàncies sobre rectes que tinguin direccions diferents.
[edita] Geometria projectiva
La geometria projectiva estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció.
L'espai sobre el que treballa la geometria projectiva és l'espai projectiu. Intuïtivament respon a la idea d'un espai afí completat amb l'afegit d'un hiperplà que representa els punts situats a l'infinit, és a dir, allà on es tallen les rectes paral·leles.
[edita] Geometria no euclidiana
- Geometries no euclidianes: a partir del segle XIX, alguns matemàtics neguen el cinquè postulat d'Euclides i parteixen de què hi ha mes d'una recta paral·lela que pasi per un punt exterior d'una recta. Aixó permetè formular una serie de conceptes geomètrics coherents on, per exemple, la suma dels angles d'un triàngle és menor que l'arc de la semicircumferència (180º). Aquestes teories tant sorprenents, van modificar molt la comprensió del paper de les matemàtiques, en postular la geometria com un esquema formal sense referència inmediata en l'espai físic. Les geometries hiperbòlica (amb dos paral·leles) o l'elíptica (sense paral·leles) foren antecedents d'aquestes formulacions.
[edita] Generalització
- Geometria n-dimensional: el concepte d'espai de ena dimensions neix en aplicar la correspondencia entre l'àlgebra i la geometria, propia de la geometria analítica, a les equacions algebraiques de mes de tres variables, la qual cosa, per analogia conceptual implica un espai de tantes dimensions com variables te l'equació estudiada. La part científica d'aquesta disciplina, va des de la geometria de quatre dimensions que fonamenta la Teoria de la relativitat, fins la Teoria de les cordes amb les seves onze o vint-i-tres dimensions i es contraposa amb una variant mes lúdica que s'ha dessenvolupat ampliament en la literatura, els còmics i el cinema de ciencia ficció.
[edita] Classificació en funció de les tècniques emprades
[edita] Geometria sintètica
La geometria sintètica o geometria pura es basa en l'enfocament axiomàtic de la geometria en oposició a la geometria analítica. Parteix dels axiomes i dedueix el teoremes emprant les regles de la lògica, refusa sistemàticament de fer servir les propietats analítiques de les figures i fer servir les coordenades.
[edita] Geometria analítica
- Geometria analítica: és la part de les matemàtiques que fa ús de l'àlgebra per descriure i estudiar les figures geomètriques i les seves relacions. La geometria analítica es basa en la correspondència biunívoca que es pot establir entre el conjunt de nombres reals i el conjunt de punts d'una recta. Conseqüentment, dos o tres rectes perpendiculars, representen els eixos d'un sistema de coordenades cartesianes al pla o a l'espai de tres dimensions respectivament. Les equacions algebraiques de dos o tres variables representen corbes planes (p.ex: l'el·lipse) o a l'espai (corbes de tres dimensions com l'hèlix o figures tridimensionals com el cilindre o el paraboloide hiperbòlic.
[edita] Àlgebra lineal
L'àlgebra lineal fa servir els espais vectorials per modelitzar l'espai. Els espais vectorials provenen de la geometria afí, mitjançant la introducció de sistemes de coordenades en l'espai pla o tridimensional.
Els espais vectorials sense estructura addicional (sense norma o mòdul) no permeten mesurar angles. D'alguna forma l'àlgebra lineal és a la geometria afí lo que la geometria analítica és a la geometria euclidiana.
[edita] Programa d'Erlangen
El batibull generat per l'irrupció de les geometries no euclidianes, fou aclarit l'any 1872 pel matemàtic C.F. Klein en el Programa de Erlangen [1] segons el qual, la Geometria es la branca de la Matemàtica que estudia els invariants i el conjunt de les transformacions que tenen lloc en l'espai base. Un grup és un conjunt en el qual hi ha definida una operació, es a dir, una aplicació on a cada parell d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar els dos elements donats). Por exemple, l'operació de donar el punt mig, consisteix en assignar a cada parell de punts el punt mig del segment que els uneix. Per succesives especialitzacions del grup hom obté la geometria afí la geometria mètrica i les no euclidianes, això fa que la geometria projectiva es considerada, a dia d'avuí, com la geometria bàsica.
[edita] Branques de la matemàtica estretament relacionades amb la geometria
[edita] Topologia
La Topologia estudia les deformacions dels objectes de l'espai per deformacions contínues. Identifica els objectes que poden ser obtinguts els uns a partir dels altres per aquest tipus de transformacions i estudia les propietats de les classes d'objectes que en resulten.
[edita] Geometria diferencial i geometria algebraica
- Geometria diferencial i Geometria algebraica: tenen per objecte l'estudi de les corbes i superfícies definides per les equacions algebràiques. Aquestes geometries no s'ocupen tant de l'espai o el pla, que són el suport de la geometria analítica, com de les propies corbes considerades per elles mateixes, en les quals cerquen els punts singulars (màxims, mínims o puts d'inflexió, etc.) i els invariants de les transformacions. La geometria algebraica, mitjançant el llenguatge espectral permet obtenir una visió geomètrica dels problemes algèbrics.
[edita] Geometria no commutativa
La Geometria no commutativa estudia les possibles interpretacions espacials de les estructures algebraiques que no compleixen la propietat commutativa.
[edita] Àmbits de recerca rellevants en geometria
[edita] Geometria Riemaniana
La geometria riemaniana es pot veure com una extensió de la geometria euclidiana. El seu estudi es basa en les propietats geomètriques d'espais (varietats) que presenten una noció de vectors tangents, i que estan equipats amb una mètrica (mètrica de Riemann) que permet mesurar aquests vectors. Els primers exemples que es troben són les superfícies de l'espai euclidià de dimensió 3 les propietats mètriques de les quals van ser estudiades per Gauss en els anys 1820. El producte euclidià indueix una mètrica sobre la superfície estudiada per restricció en els diferents plans tangents. La definició intrínseca de mètrica va ser formalitzada en dimensions superiors per Riemann. La noció de transport paral·lel autoritza la comparació dels espais tangents en dos punts diferents de la varietat: permet transportar de manera coherent un vector al llarg d'una corba traçada sobre la varietat riemaniana. La curvatura d'una varietat riemaniana mesura per definició la dependència del transport paral·lel d'un punt a un altre respecte a la corba que els enllaça.
La mètrica dóna lloc a la definició de la longitud de les corbes, d'on deriva la definició de la distància riemaniana. Però les propietats mètriques dels triangles poden diferir de la trigonometria euclidiana. Aquesta diferència s'estudia en par a través del teorema de comparació de Toponogov, que permet comparar almenys localment la varietat riemanniana estudiada en els espais models, segons les inequacions suposades conegudes sobre la curvatura de la secciço. Entre els espais modelats hi ha:
- L'espai euclidià és una varietat riemaniana de curvatura nula;
- L'esfera de dimensió n és una varietat riemaniana de curvatura positiva constant 1;
- L'espai hiperbòlic de dimensió n és una varietat riemaniana de curvatura negativa -1.
[edita] Geometria complexa
La geometria complexa comporta les propietats d'espais que es poden identifica localment amb 
. Aquests objectes (varietat complexa) presenten una certa rigidesa, que es desprenen de la unicitat d'un prolongament analític d'una funció de diverses variables.
[edita] Geometria simplectica
La geometria simplectica es pot introduir com una generalització en dimensió superior de la noció d'àrea que es troba en dimensió 2. Com la geometria complexa, els seu objectes d'estudi, les varietats symplectiques, són força rígids
[edita] Aplicacions de la geometria
Durant molt de temps, la geometria i l'astronomia han estat lligades. A un nivell elemental, el càlcul de les mides de la Lluna, del Sol i de les seves distàncies respectives a la Terra fa servir el teorema de Tales. En els primers models del sistema solar, a cada planeta se li associava un sòlid platònic. Des de les observacions astronòmiques de Kepler, confirmades pels treballs de Newton, s'ha vist que els planetes segueixen una òrbita el·líptica que té el Sol en un dels seus focus. Aquestes consideracions de natura geomètrica es fan servir habitualment en mecànica clàssica per descriure qualitativament les trajectòries.
En aquest sentit, la geometria intervé en enginyeria en l'estudi de l'estabilitat d'un sistema mecànic. També intervé de forma encara més naturalment en el dibuix tècnic. El dibuix tècnic presenta les seccions o les projeccions d'un objecte tridimensional, i conté anotades les longituds i els angles. És la primera etapa de la realització d'un projecte de de disseny industrial. Recentment, la aplicació de la informàtica a la geometria ha permès l'arribada del disseny assistit per ordinador (CAD), i del càlcul per elements finits.
La trigonometria euclidiana intervé en òptica per estudiar per exemple la difracció de la llum. La geometria també és a l'origen del desenvolupament de la navegació: navegació marítima en base a les estrelles (amb els sextants), cartografia, navegació aèria (pilotatge als instruments a partir dels senyals de les balises).
Els nous avenços en geometria al segle XIX troben aplicació en física. Sovint es diu que la geometria de Riemann ha estat motivada inicialment pels interrogacions de Gauss sobre la cartografia de la Terra. Dóna compte en particular de la geometria de les superfícies en l'espai. Una de les seves extensions, la geometria Lorenz, ha subministrat al formalisme ideal per formular les lleis de la relativitat general. La geometria diferencial troba noves aplicacions en la física postnewtoniana amb la teoria de cordes o la de les membranes.
La geometria no commutativa, inventada per Alain Connes, s'està imposant per oferir les estructures matemàtiques adequades amb les que treballar per establir noves teories físiques.
[edita] Geòmetres
[edita] Enllaços externs
[edita] Referències i notes
- ↑ Boyer. «Euclid of Alexandria», , 1991, 104. «The Elements was not, as is sometimes thought, a compendium of all geometric knowledge; it was instead an introductory textbook covering all elementary mathematics-»
- ↑ R. Rashed (1994), The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, London
- ↑ 3,0 3,1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Arabic mathematics: forgotten brilliance?» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
- ↑ Boyer. «The Arabic Hegemony», , 1991, 241-242. «Omar Khayyam (ca. 1050-1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."»
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Omar Khayyam» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
- ↑ Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [470], Routledge, London and New York:
« "Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the nineteenth century. In essence their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between tthis postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investiagtions of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines - made by Witelo, the Polish scientists of the thirteenth century, while revising Ibn al-Haytham's Book of Optics (Kitab al-Manazir) - was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the fourteenth century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid had stimulated borth J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines." » - ↑ Henri Poincaré. Champs Flammarion: La science est l'hypothèse, 1902.
