Geometria

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Geometria plana

La geometria (del grec γmesopotamicεωμετρία; γη = terra, μετρώ = mesurar) és la branca del coneixement que s'ocupa dels objectes celestes i de les seves relacions en l'espai, és a dir: distància, posició, superfície, volum, forma, desplaçament, projecció, representació, etc. Fou un dels dos camps de les matemàtiques clàssiques, essent l'altre camp l'aritmètica o estudi dels nombres.[modifica | modifica el codi]

Geometria descriptiva. Làmina d'un tractat de geometria descriptiva del segle XIX.

A l'edat moderna, el filòsof René Descartes reformulà el concepte de coordenades cartesianes, el qual donà pas a la geometria analítica que va introduir els mètodes de càlcul algebraics en la geometria. Actualment, els conceptes geomètrics s'han generalitzat fins a assolir un elevat grau d'abstracció i complexitat, consegüentment podem parlar d'una 'geometria tradicional' o 'clàssica', que és la que tothom coneix, ja que s'ensenya a les escoles primàries. Les altres geometries, en general, són disciplines fonamentades, en part, en els conceptes en certa forma intuïtius de la geometria clàssica, a partir dels quals es formulen altres hipòtesis, es desenvolupen mètodes alternatius o s'estableixen vinculacions amb altres disciplines o matemàtiques.

La geometria clàssica s'ocupa de les figures i objectes que existeixen o podem imaginar, tant en el pla com en l'espai, així com de les seves principals relacions, aplicacions, extensions, etc., com són:

Entre les aplicacions notables hi ha la resolució de triangles, on a partir d'un costat i dos angles, dos costats i un angle o dels tres costats, es poden deduir els altres costats i angles. Aquesta aplicació és la base de la geodèsia i de la topografia.

La geometria clàssica és euclidiana, anomenada així en honor del matemàtic grec Euclides, qui formulà el famós cinquè postulat o postulat d'Euclides, en el qual es basa aquesta ciència.

Història de la geometria[modifica | modifica el codi]

Papir d'Oxirinc (P.Oxirinc I 29) que mostra fragments dels Elements d'Euclides
Una dona ensenyant geometria. Il·lustració al començament d'una traducció medieval dels Elements d'Euclides, (1310)
Geometria analítica plana. Sistema de coordenades cartesianes.

Antiguitat[modifica | modifica el codi]

Les nocions de geometria més antigues de les que es té constància remunten a l'antiga Mesopotàmia, l'antic Egipte i a l'anomenada Civilització de la vall de l'Indus, al voltant del 3000 aC. La geometria primitiva era un recull de principis descoberts empíricament referits a llargades, angles, àrees i volums, que es van desenvolupar per obtenir-ne un ús pràctic en agrimensura, construcció, astronomia i diverses aplicacions artesanes. Els primers texts coneguts sobre geometria són els papirs egipcis de Rhind i de Moscou, així com les tauletes d'argila babilòniques i el Shulba Sutras indi, mentre que els xinesos tenien els treballs de Mozi, Zhang Heng i Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) de Liu Hui.

Grècia clàssica[modifica | modifica el codi]

Els Elements d'Euclides (c. 300 aC) és un dels texts antics més importants sobre geometria, ja que a partir d'aquí es presenta la geometria d'una forma axiomàtica ideal, aquesta geometria és la que es coneix com geometria euclidiana. Aquest tractat, en contra del que de vegades es creu, no és un compendi de tot el que els matemàtics grecs sabien sobre geometria en aquella època, sinó que és una introducció elemental a la geometria;[1] El mateix Euclides va escriure vuit llibres més avançats sobre geometria. Es tenen referències de què els llibres d'Euclides no van ser el primer llibre de text elemental sobre geometria, però els altres no es varen fer servir i s'han perdut.

Edat mitjana[modifica | modifica el codi]

A l'edat mitjana, els matemàtics del món islàmic van contribuir de manera decisiva al desenvolupament de la geometria, en especial de la geometria algebraica[2][3] i de l'àlgebra geomètrica.[4] Al-Mahaní (853 -) va concebre la idea de reduir problemes geomètrics com duplicar el cub a problemes d'àlgebra.[3] Thàbit ibn Qurra (en llatí conegut com a Thebit) (836-901) va tractar amb operacions aritmètiques aplicades a proporcions de quantitats geomètriques, i va contribuir al desenvolupament de la geometria analítica.[5] Omar Khayyam (1048-1131) va trobar solucions geomètriques a equacions cúbiques, i els seus estudis extensius sobre el postulat de les paral·leles van contribuir al desenvolupament de la geometria no euclidiana.[6] Els teoremes d'Ibn al-Hàytham (Alhazen), Omar Khayyam i Nàssir-ad-Din at-Tussí sobre quadrilàters, incloent-hi el quadrilàter de Lambert i el quadrilàter de Saccheri, van ser els primers teoremes sobre geometria el·líptica i geometria hiperbòlica, i conjuntament amb els seus postulats alternatius, com l'axioma de Playfair, aquests treballs van tenir una influència considerable sobre el desenvolupament de la geometria no euclidiana entre geòmetres europeus posteriors, entre ells Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis, i Giovanni Girolamo Saccheri.[7]

Renaixement[modifica | modifica el codi]

A començaments del segle XVII, es van produir dos desenvolupaments importants en geometria. El primer, i més important, va ser la creació de la geometria analítica, o geometria amb coordenades i equacions, per part de René Descartes (1596-1650) i Pierre de Fermat (1601-1665). Això és un precursor necessari pel desenvolupament del càlcul infinitesimal i per fer de la física una ciència quantitativa i precisa. El segon desenvolupament geomètric d'aquest període va ser l'estudi sistemàtic de la geometria projectiva per part de Girard Desargues (1591-1661). La geometria projectiva és l'estudi de geometria sense mesures, només l'estudi de com s'alineen els punts entre ells.

Època moderna[modifica | modifica el codi]

Dos desenvolupaments en geometria al segle XIX van canviar la forma en què s'havia estudiat prèviament. Aquests van ser el descobriment de geometries no euclidianes per Lobachevsky, Bolyai i Gauss i el de la formulació de la simetria com la consideració central en el Programa d'Erlangen de Felix Klein (que generalitzava les geometries euclidianes i no euclidianes). Dos dels geòmetres principals del temps van ser Bernhard Riemann, que va treballar principalment amb eines de l'anàlisi matemàtica, i va presentar la superfície de Riemann, i Henri Poincaré, el fundador de la topologia algebraica i la teoria geomètrica dels sistemes dinàmics.

Com a conseqüència d'aquests canvis essencials en la concepció de la geometria, el concepte d'espai es va convertir en una cosa més rica i variada, i la base natural per a teories tan diferents com l'anàlisi complexa i la mecànica clàssica. El tipus tradicional de geometria s'identificava amb espais homogenis, aquells espais que tenen prou simetria, de manera que tinguin el mateix aspecte des de qualsevol punt.

Classes de geometria[modifica | modifica el codi]

Geometria de ena dimensions. El Tesseractis o hipercub de quatre dimensions

Les disciplines matemàtiques que tracten temes geomètrics es poden classificar seguint diversos criteris:

  • En funció de la manera en què s'estudia o axiomatitza la geometria: La geomtria sintètica que parteix d'axiomes i dedueix teoremes seguint les regles de la lògica. La geometria analítica que fa servir sistemes de coordenades per establir una correlació entra els punts de l'espai i ternes de nombres reals. L'àlgebra lineal que generalitza la geometria analítica substituint les coordenades per espais vectorials. El programa d'Erlangen que fa servir les nocions de grup i acció de grup.

També hi ha altres branques de les matemàtiques que fan servir les figures que procedeixen dels espais euclidians però que estudien espais que no són necessàriament espais euclidians: La topologia, la geometria diferencial, la geometria algebraica i la geometria no commutativa.

Classificació en funció del tipus d'espai[modifica | modifica el codi]

Per a Henri Poincaré,[8] l'espai geomètric posseeix les següents propietats:

  1. És continu.
  2. És infinit.
  3. Té tres dimensions.
  4. És homogeni, és a dir que tots els seus punts són idèntics entre ells.
  5. És isòtrop, és a dir que totes les dretes que passen per un mateix punt són idèntiques entre elles.

Les geometries euclidiana i no euclidiana corresponen a aquesta definició stricto sensu de l'espai. Construir aquesta geometria consisteix a enunciar les regles de manipulació dels quatre objectes fonamentals el punt, la recta, el pla i l'espai.

Una forma de generalitzar aquest espai és augmentant el nombre de dimensions.

Geometria euclidiana[modifica | modifica el codi]

Article principal: Geometria euclidiana

La geometria euclidiana estudia els espais on es compleixen els cinc postulats d'Euclides:

  1. Dos punts diferents es poden unir per una recta.
  2. Un segment rectilini pot ser allargat indefinidament mitjançant una recta.
  3. Donats un segment rectilini i un punt qualssevol, existeix una circumferència de centre aquest punt i radi el segment donat.
  4. Tots els angles rectes són iguals.
  5. Si dues rectes intersequen amb una tercera de manera que la suma dels angles interiors a un costat és menor de dos angles rectes, llavors les dues rectes inevitablement es tallen en el mateix costat si s'allarguen suficientment.

L'estudi de la geometria euclidiana normalment comença per l'estudi de les figures en el pla (un espai de dues dimensions) i després s'estén a l'estudi de l'espai de tres dimensions. Per representar en un pla els objectes de tres dimensions es fa servir la geometria descriptiva.

  • Geometria plana: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en el pla. Els elements físics plans, és a dir, amb una dimensió reduïda enfront de les altres dos, com per exemple: una paret o un paviment, una pàgina d'un llibre o el full d'un bloc, etc., constitueixen el suport de l'espai de dues dimensions on es desenvolupa aquesta geometria.
  • Geometria de l'espai: és la part de la geometria clàssica que s'ocupa de les figures en l'espai de tres dimensions, és a dir, l'espai físic del qual en tenim una experiència intuïtiva directa.
  • Geometria descriptiva: és una aplicació de la geometria clàssica que té per objecte representar sobre un o més plans, les figures de l'espai. Va néixer per satisfer la necessitat de representar sobre un full de paper (o qualsevol suport bidimensional). els plànols o dibuixos dels projectes dels edificis o les obres públiques així com els enginys, les màquines, etc., els quals són objectes de tres dimensions. Els mètodes de la geometria descriptiva permeten, a partir dels plànols, deduir i per tant construir amb seguretat allò que s'ha dibuixat, amb la seva forma, mesures i totes les relacions geomètriques per complexes que siguin.

Geometria afí[modifica | modifica el codi]

Article principal: Geometria afí

En la geometria afí no es consideren ni el tercer ni el quart postulats d'Euclides. Els seus resultats són vàlids en els espais de la geometria euclidiana però també, per exemple en l'espai de Minkowski.

La geometria afí estudia les propietats geomètriques que es mantenen inalterades per les transformacions afins, és a dir per les transformacions lineals i les translacions. No es poden mesurar angles ni comparar distàncies sobre rectes que tinguin direccions diferents.

Geometria projectiva[modifica | modifica el codi]

Article principal: Geometria projectiva

La geometria projectiva estudia les nocions intuïtives de "perspectiva" i d'"horitzó". Analitza les propietats de les figures invariants per projecció. L'espai sobre el qual treballa la geometria projectiva és l'espai projectiu. Intuïtivament respon a la idea d'un espai afí completat amb l'afegit d'un hiperplà que representa els punts situats a l'infinit, és a dir, allà on es tallen les rectes paral·leles.

Geometria no euclidiana[modifica | modifica el codi]

Geometries no euclidianes: a partir del segle XIX, alguns matemàtics neguen el cinquè postulat d'Euclides i parteixen del fet que hi ha més d'una recta paral·lela que pasi per un punt exterior d'una recta. Això permeté formular una sèrie de conceptes geomètrics coherents on, per exemple, la suma dels angles d'un triàngle és menor que l'arc de la semicircumferència (180 °). Aquestes teories tan sorprenents, van modificar molt la comprensió del paper de les matemàtiques, en postular la geometria com un esquema formal sense referència immediata en l'espai físic. Les geometries hiperbòlica (amb dues paral·leles) o l'el·líptica (sense paral·leles) foren antecedents d'aquestes formulacions.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Geometria n-dimensional: el concepte d'espai de ena dimensions neix en aplicar la correspondencia entre l'àlgebra i la geometria, pròpia de la geometria analítica, a les equacions algebraiques de més de tres variables, la qual cosa, per analogia conceptual implica un espai de tantes dimensions com variables té l'equació estudiada. La part científica d'aquesta disciplina, va des de la geometria de quatre dimensions que fonamenta la Teoria de la relativitat, fins a la Teoria de les cordes amb les seves onze o vint-i-tres dimensions i es contraposa amb una variant més lúdica que s'ha desenvolupat ampliament en la literatura, els còmics i el cinema de ciència-ficció.

Classificació en funció de les tècniques emprades[modifica | modifica el codi]

Geometria sintètica[modifica | modifica el codi]

La geometria sintètica o geometria pura es basa en l'enfocament axiomàtic de la geometria en oposició a la geometria analítica. Parteix dels axiomes i dedueix els teoremes emprant les regles de la lògica, refusa sistemàticament de fer servir les propietats analítiques de les figures i fer servir les coordenades.

Geometria analítica[modifica | modifica el codi]

Àlgebra lineal[modifica | modifica el codi]

Article principal: Àlgebra lineal

L'àlgebra lineal fa servir els espais vectorials per modelitzar l'espai. Els espais vectorials provenen de la geometria afí, mitjançant la introducció de sistemes de coordenades en l'espai pla o tridimensional.

Els espais vectorials sense estructura addicional (sense norma o mòdul) no permeten mesurar angles. D'alguna forma l'àlgebra lineal és a la geometria afí allò que la geometria analítica és a la geometria euclidiana.

Programa d'Erlangen[modifica | modifica el codi]

El batibull generat per la irrupció de les geometries no euclidianes, fou aclarit l'any 1872 pel matemàtic F.C. Klein en el Programa d'Erlangen [9] segons el qual, la Geometria és la branca de la Matemàtica que estudia els invariants i el conjunt de les transformacions que tenen lloc en l'espai base. Un grup és un conjunt en el qual hi ha definida una operació, és a dir, una aplicació on a cada parell d'elements del conjunt li assigna altre element del conjunt (que serà el resultat d'operar els dos elements donats). Per exemple, l'operació de donar el punt mitjà, consisteix a assignar a cada parell de punts el punt mitjà del segment que els uneix. Per successives especialitzacions del grup hom obté la geometria afí la geometria mètrica i les no euclidianes, això fa que la geometria projectiva és considerada, avui dia, com la geometria bàsica.

Branques de la matemàtica estretament relacionades amb la geometria[modifica | modifica el codi]

La topologia estudia les deformacions dels objectes de l'espai per deformacions contínues. Identifica els objectes que poden ser obtinguts els uns a partir dels altres per aquest tipus de transformacions i estudia les propietats de les classes d'objectes que en resulten.

La geometria diferencial i geometria algebraica tenen per objecte l'estudi de les corbes i superfícies definides per les equacions algebraiques. Aquestes geometries no s'ocupen tant de l'espai o el pla, que són el suport de la geometria analítica, com de les mateixes corbes considerades per elles mateixes, en les quals cerquen els punts singulars (màxims, mínims o puts d'inflexió, etc.) i els invariants de les transformacions. La geometria algebraica, mitjançant el llenguatge espectral permet obtenir una visió geomètrica dels problemes algèbrics.

La geometria no commutativa estudia les possibles interpretacions espacials de les estructures algebraiques que no compleixen la propietat commutativa.

Àmbits de recerca rellevants en geometria[modifica | modifica el codi]

Geometria riemanniana[modifica | modifica el codi]

La geometria riemanniana es pot veure com una extensió de la geometria euclidiana. El seu estudi es basa en les propietats geomètriques d'espais (varietats) que presenten una noció de vectors tangents, i que estan equipats amb una mètrica (mètrica riemanniana) que permet mesurar aquests vectors. Els primers exemples que es troben són les superfícies de l'espai euclidià de dimensió 3 les propietats mètriques de les quals van ser estudiades per Gauss en els anys 1820. El producte euclidià indueix una mètrica sobre la superfície estudiada per restricció en els diferents plans tangents. La definició intrínseca de mètrica va ser formalitzada en dimensions superiors per Riemann. La noció de transport paral·lel autoritza la comparació dels espais tangents en dos punts diferents de la varietat: permet transportar de manera coherent un vector al llarg d'una corba traçada sobre la varietat riemanniana. La curvatura d'una varietat riemanniana mesura per definició la dependència del transport paral·lel d'un punt a un altre respecte a la corba que els enllaça.

La mètrica dóna lloc a la definició de la longitud de les corbes, d'on deriva la definició de la distància riemanniana. Però les propietats mètriques dels triangles poden diferir de la trigonometria euclidiana. Aquesta diferència s'estudia en par a través del teorema de comparació de Toponogov, que permet comparar almenys localment la varietat riemanniana estudiada en els espais models, segons les inequacions suposades conegudes sobre la curvatura de la secciço. Entre els espais modelats hi ha:

  • L'espai euclidià és una varietat riemanniana de curvatura nula;
  • L'esfera de dimensió n és una varietat riemanniana de curvatura positiva constant 1;
  • L'espai hiperbòlic de dimensió n és una varietat riemanniana de curvatura negativa -1.

Geometria complexa[modifica | modifica el codi]

La geometria complexa comporta les propietats d'espais que es poden identifica localment amb \mathbb C^n. Aquests objectes (varietat complexa) presenten una certa rigidesa, que es desprenen de la unicitat d'un prolongament analític d'una funció de diverses variables.

Geometria simplèctica[modifica | modifica el codi]

La geometria simplèctica es pot introduir com una generalització en dimensió superior de la noció d'àrea que es troba en dimensió 2. Com la geometria complexa, els seus objectes d'estudi, les varietats simplèctiques, són força rígids.

Aplicacions de la geometria[modifica | modifica el codi]

Durant molt de temps, la geometria i l'astronomia han estat lligades. A un nivell elemental, el càlcul de les mides de la Lluna, del Sol i de les seves distàncies respectives a la Terra fa servir el teorema de Tales. En els primers models del sistema solar, a cada planeta se li associava un sòlid platònic. Des de les observacions astronòmiques de Kepler, confirmades pels treballs de Newton, s'ha vist que els planetes segueixen una òrbita el·líptica que té el Sol en un dels seus focus. Aquestes consideracions de natura geomètrica es fan servir habitualment en mecànica clàssica per descriure qualitativament les trajectòries.

En aquest sentit, la geometria intervé en enginyeria en l'estudi de l'estabilitat d'un sistema mecànic. També intervé de forma encara més naturalment en el dibuix tècnic. El dibuix tècnic presenta les seccions o les projeccions d'un objecte tridimensional, i conté anotades les longituds i els angles. És la primera etapa de la realització d'un projecte de disseny industrial. Recentment, l'aplicació de la informàtica a la geometria ha permès l'arribada del disseny assistit per ordinador (CAD), i del càlcul per elements finits.

La trigonometria euclidiana intervé en òptica per estudiar per exemple la difracció de la llum. La geometria també és a l'origen del desenvolupament de la navegació aquàtica basant-se en les estrelles (amb els sextants), cartografia, navegació aèria (pilotatge als instruments a partir dels senyals de les balises).

Els nous avenços en geometria al segle XIX troben aplicació en física. Sovint es diu que la geometria de Riemann ha estat motivada inicialment per les interrogacions de Gauss sobre la cartografia de la Terra. Dóna compte en particular de la geometria de les superfícies en l'espai. Una de les seves extensions, la geometria Lorenz, ha subministrat al formalisme ideal per formular les lleis de la relativitat general. La geometria diferencial troba noves aplicacions en la física postnewtoniana amb la teoria de cordes o la de les membranes.

La geometria no commutativa, inventada per Alain Connes, s'està imposant per oferir les estructures matemàtiques adequades amb les quals treballar per establir noves teories físiques.

Geòmetres[modifica | modifica el codi]

Referències i notes[modifica | modifica el codi]

  1. Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. «Euclid of Alexandria». A: A history of mathematics (en anglès). Wiley, 1991. ISBN 978-0-471-54397-8. «l'Elements no era, com es pensa de vegades, un compendi de tot el coneixement geomètric, sinó que era un llibre de text introductori que cobreix totes les matemàtiques elementals» 
  2. Rāshid, Rushdī. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra (en anglès). Londres: Springer, 1994. ISBN 978-0-471-54397-8 [Consulta: 07 de març de 2012]. 
  3. 3,0 3,1 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Arabic mathematics: forgotten brilliance?» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
  4. Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. «The Arabic Hegemony». A: A history of mathematics (en anglès). Wiley, 1991, p. 241-242. ISBN 978-0-471-54397-8. «Omar Khayyam (ca. 1050-1123),el "fabricant de tendes", va escriure Àlgebra que anava més enllà que la d'Al-Khwarizmí per incloure equacions de tercer grau. Igual que els seus predecessors àrabs, Omar Khayyam proporcionen per a equacions de segon grau, solucions tant aritmètiques com geomètriques; Per les equacions cúbiques generals, ell creia (erròniament, Tal com es va demostrar posteriorment al segle XVI) que donar solucions aritmètiques era impossible, de manera que només va donar solucions geomètriques. L'esquema de la utilització de les interseccions còniques per resoldre equacions cúbiques havia estat utilitzat anteriorment per Menecmo, Arquimedes i Alhazen, però Omar Khayyam va fer un pas digne d'elogi de generalitzar el mètode per cobrir totes les equacions de tercer grau ... Per a les equacions de grau superior al tercer, Omar Khayyam, evidentment, no preveu similars mètodes geomètrics, donat que l'espai no conté més de tres dimensions, ... Una de les aportacions més fecundes de l'eclecticisme àrab va ser la tendència a tancar la bretxa entre l'àlgebra numèrica i geomètrica. El pas decisiu en aquesta direcció va arribar molt més tard amb Descartes, però Omar Khayyam s'estava movent en aquesta direcció quan va escriure: "Qui pensi àlgebra és un truc en l'obtenció de desconeguts ho pensa en va. No s'ha de prestar atenció al fet que l'àlgebra i la geometria són diferents en aparença. L'Àlgebra són fets geomètrics provats."» 
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
  6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Omar Khayyam» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
  7. Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447-494 [470], Routledge, London and New York:
    « "Tres científics, Ibn al-Hàytham, Khayyam i At-Tussí, havien fet la contribució més important en aquesta branca de la geometria, aquesta importància va arribar a ser completament reconeguda només en el segle XIX. En essència, les seves propostes sobre les propietats dels quadrilàters que, els tres, assumeixen que alguns dels angles d'aquestes figures eren aguts d'obtús, encarnaven els primers teoremes de la hiperbòlica i de les geometries el·líptiques. les seves altres propostes van mostrar que diverses declaracions geomètriques eren equivalents al postulat V d'Euclides. És extremadament important que aquests estudiosos establissin la connexió mútua entre aquest postulat i la suma dels angles d'un triangle i d'un quadrilàter. Pels seus treballs sobre la teoria de les línies paral·leles els matemàtics àrabs influïren directament en les investigacions pertinents dels seus homòlegs europeus. El primer intent d'Europa per provar el postulat de línies paral·leles (realitzades per Witelo, científic polonès del segle XIII, mentre revisava elLlibre d'òptica (Kitab al-Manazir)de Ibn al-Haytham ) va ser motivada sens dubte per les fonts àrabs. Les proves presentades al segle XIV per l'erudit jueu Levi ben Gerson, que va viure al sud de França, i per l'esmentat Alfons d'Espanya entronquen directament amb la demostració d'Ibn al-Haytham. Anteriorment, hem demostrat que el "Pseudo-exposició de Tusi a Euclides, havia estimulat els estudis Borth J. Wallis i G. Saccheri sobre la teoria de línies paral·leles. " »
  8. Henri Poincaré. Champs Flammarion. La science est l'hypothèse, 1902. 
  9. «Programa d'Erlangen».

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Geometria Modifica l'enllaç a Wikidata