Teorema de Tales

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Hi ha dos teoremes que reben el mateix nom de teorema de Tales:

Primer Teorema[modifica | modifica el codi]

El primer diu el següent:

Siguin dues rectes (d) i (d') orientades i concurrents en un punt O. I siguin A i A' dos punts de (d), i B i B' dos punts de (d').
Llavors:
\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{OB'}}{\overline{OB}}\iff (AB)//(A'B')


Una altra forma de dir-ho: si dues rectes concurrents són tallades per un sistema de rectes, aleshores aquestes són paral·leles si, i només si, els segments determinats a les rectes concurrents són proporcionals (a/b=c/d, a/c=b/d)


Primer teorema de Tales

És a dir que la igualtat dels quocients equival al paral·lelisme. Aquest teorema estableix així una relació entre l'àlgebra i la geometria.

La primera figura correspon a mesures algebraiques positives - els vectors OA, OA', OB i OB' tenen la mateixa orientació que les rectes (d) i (d') - i la segona a quocients negatius.

Si s'aplica el teorema, tenim a més una altra conseqüència: Si s'orienta de la mateixa manera les dos rectes paral·leles (AB) i (B'), és a dir amb el mateix vector, llavors el tercer quocient (de mesures algebraiques): B' / AB és igual als dos anteriors.

A vegades es reserva el nom de teorema de Tales al sentit directe de l'equivalència, i l'altre sentit rep el nom de recíproca del teorema de Tales.

Aquest teorema és un cas particular dels Triangles semblants.

Segon teorema[modifica | modifica el codi]

El segon teorema diu el següent:

Siga C un punt del cercle de diàmetre [AB], diferent de A i de B. Llavors l'angle ACB és recte.
Segon Teorema de Tales

Aquest teorema és un cas particular d'una propietat dels punts cocíclics

Prova: \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=r, radi del cercle. Per tant OAC i OBC són isòsceles. La suma dels angles del triangle ABC val 2\cdot \alpha+2\cdot \beta= \pi. Dividint per dos, s'obté \widehat{BCA}=\alpha+\beta=\frac{\pi}2 o, equivalentment, 90^\circ.

LLEGENDA[modifica | modifica el codi]

Segons la llegenda (relatada per Plutarc), 1 Tales de Milet en un viatge a Egipte, va visitar les piràmides de Gizeh (les de Kheops, Kefrén i Micerino), construïdes diversos segles abans. Admirat davant tan portentosos monuments d'aquesta civilització, va voler saber la seva altura. D'acord a la llegenda, va tractar aquest problema amb semblança de triangles (i sota la suposició que els raigs solars incidents eren paral · lels), va poder establir una relació de semblança (teorema primer de Tales) entre dos triangles rectangles, d'una banda el que té per catets (C i d) a la longitud de l'ombra de la piràmide (cognoscible) i la longitud de la seva alçada (desconeguda), i d'altra banda, valent-se d'una vara (clavada a terra de manera perfectament vertical) els catets conocibles (A i B) són, la longitud de la vara i la longitud de la seva ombra. Realitzant els mesuraments en una hora del dia en què l'ombra de la vara sigui perpendicular a la base de la cara des de la qual mesurava l'ombra de la piràmide i afegint a la seva ombra la meitat de la longitud d'una de les cares, obtenia la longitud total C de l'ombra de la piràmide fins al centre de la mateixa.

Com en triangles semblants, es compleix que \ frac {A} {B} = \ frac {D} {C}, per tant l'altura de la piràmide és D = \ frac {AC} {B}, amb la qual cosa va resoldre el problema.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema de Tales