Trigonometria esfèrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca


La trigonometria esfèrica és un conjunt de relacions anàlogues a les de la trigonometria plana, però en aquest cas, amb angles i distàncies disposades sobre una esfera.

Les regles habituals de la trigonometria plana ja no seran vàlides; per exemple la suma dels angles d'un triangle situat sobre una esfera és superior a \pi\, i els segments de rectes es transformen en arcs de cercles màxims.

El triangle esfèric[modifica | modifica el codi]

Triangle esfèric

Si se situen dos punts sobre una superfície esfèrica, la corba més curta sobre aquesta superfície que els uneix és un dels dos arcs del cercle màxim que aquests dos punts determinen. Aquest cercle màxim queda perfectament determinat per dos punts diferents qualssevol sobre l'esfera. Cal recordar que tots els cercles màxims d'una esfera tenen el mateix radi que l'esfera.

Un triangle esfèric no queda totalment determinat per tres punts A, B i C situats sobre la superfície esfèrica. Ja que, per exemple en el cas de l'adjunta imatge, els tres punts A, B i C, a part del triangle a, b i c remarcat pel dibuix, també són els vèrtexs del triangle a, \bar b' i \bar c, entenent per \bar b i \bar c, els arcs complementaris de b i c respectivament.

Així doncs, a, b i c són els costats del nostre triangle, però en trigonometria esfèrica, a, b i c no s'han de veure com a longituds, sinó com a angles. Així, quan s'escriu a s'ha de pensar en l'angle \angleBOC, on O és el centre de l'esfera. Igualment b serà l'angle \angleAOC i c serà \angleAOB. Evidentment, la longitud de a és Ra, aquesta segona a en radians.

Una altre de les característiques són els angles, ja que aquí no ens trobem sobre una superfície plana. Per exemple el valor de l'angle \alpha del vèrtex A és el que tindria un angle sobre el pla de la tangent a l'esfera en A, limitat per la recta definida per aquest pla tangent i el pla determinat pel cercle màxim que passa per A i B, d'una banda, i la recta definida pel mateix pla tangent i el pla determinat pel cercle màxim que passa per A i C, d'altra banda. En els triangles esfèrics no degenerats, no es compleix que la suma dels seus angles és igual a \pi\,, com passa amb els triangles d'un pla. En aquest cas es pot escriure \pi < \alpha + \beta + \gamma < 5 \pi\,.

Així doncs, en un triangle esfèric, considerem els següents elements:

  • El seu radi: R.
  • Els seus vèrtexs: A, B i C.
  • Els costats, que tal com s'ha dit són els angles: a=\angleBOC, b=\angleAOC i c=\angleAOB.
  • I els angles: \alpha, del vèrtex A. \beta, del vèrtex B i \gamma, del vèrtex C.

Triangle esfèric[modifica | modifica el codi]

Triangle esfèric.

Si tres punts de la superfície esfèrica són units per arcs de cercle màxim menors a 180 º, la figura obtinguda s'anomena triangle esfèric. Els costats del polígon així format s'expressen per conveniència com a angle el vèrtex és el centre de l'esfera i no per la seva longitud. Aquest arc mesurat en radians i multiplicat pel radi de l'esfera és la longitud de l'arc. En un triangle esfèric els angles compleixen que: P 180 ° < \alpha \! + \beta \! + \gamma \! <540 °

Fórmules fonamentals[modifica | modifica el codi]

 \alpha \! : angle format entre els arcs AC i AB.

 \beta \! : angle format entre els arcs AB i BC.

 \gamma \! : angle format entre els arcs AC i BC.

Fórmula del cosinus[modifica | modifica el codi]

 \cos CB = \cos AC \cos AB+{\rm{sin}}AC{\rm{sin}}AB \cos \alpha \!


Fórmula del sinus[modifica | modifica el codi]

 \frac{{\rm{sin}}CB}{{\rm{sin}}\alpha}= \frac{{\rm{sin}}AC}{{\rm{sin}}\beta}= \frac{{\rm{sin}}AB}{{\rm{sin}}\gamma}

Els sinus dels costats són proporcionals als sinus dels angles oposats.

Fórmula de la cotangent[modifica | modifica el codi]

La fórmula de la cotangent també s'anomena fórmula dels elements consecutius. Veure en la figura dels següents elements consecutius:

angle  \alpha \! ; banda  AB ; angle  \beta \! ; banda  BC .

 \cos \beta \cos AB ={\rm{sin}}\beta \cot \alpha \! -{\rm{sin}}AB \cot CB

cosinus dels elements mitjans, és igual a: si de l'angle mitjà per la cotangent de l'altre angle, menys si del costat mitjà per la cotangent de l'altre costat.

Fórmula de Bessel[modifica | modifica el codi]

Des de les fórmules dels cosinus, obtingudes en la secció anterior, es poden obtenir de immediat un conjunt de diverses fórmules conegudes com a "relacions del sinus pel cosinus" o també anomenades Fórmules de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Van ser deduïdes per primera vegada pel gran matemàtic Friedrich Wilhelm Bessel (Westfàlia, Alemanya, 1784 - Kaliningrad, Rússia, 1846):

cos a/k = cos b/k · cos c/k+sin b/k · sin c/k · cos A

cos b/k = cos c/k · cosa/k+sin c/k · sin a/k · cos B

cos c/k = cos a/k · cos b/k+sin a/k · sin b/k · cos C

El conjunt de les fórmules de Bessel es pot escriure, per a l'esfera de radi unitat, això és, l'esfera trigonomètrica de la forma:

sin c · cos B = cos b · sin a - cos a · sin b · cos C

sin c · cos A = cos a · sin b - cos b · sin a · cos C

sin b · cos A = cos a · sin c - cos c · sin a · cos B

sin b · cos C = cos c · sin a - cos a · sin c · cos B

sin a · cos B = cos b · sin c - cos c · sin b · cos A

sin a · cos C = cos c · sin b - cos b · sin c · cos A

Presentació matricial de les fórmules del triangle esfèric[modifica | modifica el codi]

El conjunt de les fórmules del sinus i del cosinus (anomenades per alguns segona i primera fórmila de Bessel), i la (tercera) fórmula de Bessel, poden expressar-se de forma matricial:


 \begin{vmatrix}cos (a) \\sin (a) sin (B) \\sin (a) cos (B) \end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}cos (c) & 0 & sin (c) \\0 & 1 & 0 \\sin (c) & 0 &-cos (c) \end{vmatrix}
.
\begin{vmatrix}cos (b) \\sin (b) sin (A) \\sin (b) cos (A) \end{vmatrix}

[Sent a, b, ic els costats i A, B, i C els vèrtexs del triangle esfèric]

Triangle esfèric rectangle[modifica | modifica el codi]

En triangle esfèric amb almenys un angle recte, se l'anomena triangle rectangle. En un triangle esfèric seus tres angles poden ser rectes, en aquest cas la suma és 270 °. En tots els altres casos aquesta suma excedeix els 180 ° ja aquest excés se l'anomena excés esfèric; s'expressa per la fórmula: E: E =  \alpha \! + \beta \! + \gamma \! - 180 °.

Qualsevol triangle esfèric pot descompondre's en dos triangles esfèrics rectangles.

Pentàgon de Neper[modifica | modifica el codi]

Pentàgon de Neper.

El pentàgon de Neper és una regla mnemotècnica per resoldre triangles esfèrics rectangles; pren aquest nom en memòria del científic anglès John Napier, i es construeix de la següent manera:

Es col loquen en cada sector circular: catet - angle - catet - angle - catet, consecutivament, tal com apareixen ordenats en el triangle, exceptuant l'angle recte C .

Es reemplacen els angles B , C , i la hipotenusa a pels seus complementaris:

: B per (90 ° - B) : C per (90 ° - C) : A per (90 ° - a)


S'estableixen dues regles:

  • El sinus d'un element és igual al producte de les tangents dels elements adjacents:

: Si (a) = tg (b) tg (90 ° - B), o el seu equivalent: si (a) = tg (b) CTG (B)

  • El sinus d'un element és igual al producte dels cosinus dels elements oposats:

: Si (a) = cosinus (90 ° - A) cosinus (90 ° - c), o el seu equivalent: si (a) = si (A) si (c)

Àrea del triangle esfèric[modifica | modifica el codi]

Un aspecte remarcable és l'àrea del triangle esfèric, que es calcula molt fàcilment a partir dels tres angles:

 \mathrm{Area=R^2(\alpha +\beta + \gamma - \pi)}\,

on \mathrm R\, és el radi de l'esfera, i els angles van expressats en radians.

Grup de Bessel[modifica | modifica el codi]

El grup de Bessel són les fórmules bàsiques de la trigonometria esfèrica en la resolució de triangles esfèrics:

cosa = cosb · cosc + sinb · sinc · cos\alpha Fórmula del cosinus
sina · sin\beta = sinb · sin\alpha Fórrmula del sinus
sina · cos\beta = cosb · sinc - sinb · cosc · cos\alpha

I, per mutació, el grups corresponents als costats b i c.

Teorema del cosinus[modifica | modifica el codi]

Figura 7 - Triangle esfèric : dimensions reduïdes a, b i c; angles α, β i γ.

En un triangle esfèric ABC (figura 7), el teorema del cosinus s'escriu

\cos c = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b \, \cos\gamma.

Quan el radi de curvatura és molt gran respecte les dimensions del triangle, és a dir quan

\,a <\!\!< 1,

Aquesta expressió se simplifica per donar la versió euclidiana del teorema del cosinus. Per veure-ho, s'utilitzen els desenvolupaments limitats següents :

\,\sin a = a + O(a^3), etc.,
\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3), etc.

Existeix una identitat similar que enllaça els tres angles :

\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Trigonometria esfèrica Modifica l'enllaç a Wikidata

Podeu trobar les demostracions del grup de Bessel, i moltes altres relacions trigonomètriques a: