Fórmula d'Euler

La fórmula o relació d'Euler és una fórmula matemàtica atribuïda a Leonhard Euler, estableix que per a tot nombre real x:

$e^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x$

e és la base del logaritme natural

i és la unitat imaginària

sin, cos són funcions trigonomètriques

Una propietat important d'aquesta fórmula d'Euler és que conté dos tipus de simetries: la parella i la imparella.

La fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex

La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una circumferència de radi unitari en el pla complex, dibuixada per la funció e^ix al variar $x$ sobre els nombres reals. Així, $x$ es l'angle d'una recta que connecta l'origen del pla i un punt sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, medit en sentit contrari a las agulles del rellotge i en radiants. La fórmula només és vàlida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en radiants.

La demostració està basada en l'expansió en sèrie de Taylor de la funció exponencial e^z (on z és un nombre complex), i l'expansió de sin x i cos x.

La fórmula d'Euler va ser demostrada per primer cop per Roger Cotes el 1714, redescoberta i popularitzada per Euler el 1748, cap dels dos descobridors va veure la interpretació geomètrica anterior: la visió dels nombres complexos como punts en el pla va sorgir uns 50 anys més tard (veure Caspar Wessel).

La fórmula proporciona una potent connexió entre l'anàlisis matemàtica i la trigonometria. S'utilitza per representar els nombres complexos en coordenades polars i permet definir el logaritme per a nombres complexos.

Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és l'única funció matemàtica que roman amb la mateixa forma -excepte per la unitat imaginària- amb les operacions d'integració i derivació del càlcul integral, el que permet que, en enginyeria elèctrica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica (per exemple en la resolució de circuits amb condensador i bobines), simplificant enormement aquestes operacions.

A partir de la fórmula d'Euler i les operacions amb funcions exponencials, es poden derivar diverses identitats trigonomètriques, així com la fórmula de De Moivre.

La fórmula d'Euler també permet interpretar les funcions sinus i cosinus com simples variacions de la funció exponencial:

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$

En les equacions diferencials, la funció e^ix s'utilitza sovint per a simplificar derivades, fins i tot si la resposta final es una funció real en la que apareixen sinus o cosinus.

En enginyeria i altres disciplines, els senyals que varien periòdicament se solen descriure com una combinació de funcions sinus i cosinus (vegi's anàlisis de Fourier), per compactar el resultat d'utilitzar l'exponencial complexa, utilitzant la fórmula de Euler.

Identitat d'Euler

De la fórmula d'Euler se'n deriva, el que es coneix com identitat d'Euler:

$e^{\mathrm{i}\,\pi} + 1 = 0$