Funció exponencial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En sentit ampli, una funció exponencial és qualsevol funció del tipus ax, una potenciació on la base a és qualsevol nombre real positiu i l'exponent x és la variable. De manera encara més general, s'anomenen així les funcions múltiples d'aquestes, de la forma kax amb k real (vegeu Creixement exponencial). En llenguatge menys precís, fins i tot es pot anomenar exponencial qualsevol funció formada a partir d'algun dels termes anteriors o que s'hi aproximi. Malgrat tot, el terme funció exponencial gairebé sempre es refereix a la funció exponencial en base e, que és la que tracta aquest article.

La funció exponencial creix lentament per les x negatives, val 1 quan la x és igual a 0, i creix ràpidament per les x positives.

La funció exponencial és una de les funcions més importants de les matemàtiques. Sorgeix en el desenvolupament del càlcul infinitesimal i apareix en una immensa quantitat de fórmules amb nombroses aplicacions en la majoria de branques científiques. El domini de la funció són els nombres reals i es pot estendre també als nombres complexos. Si x és la variable, s'escriu exp(x) o ex, notació aquesta darrera que correspon a la potenciació amb base e, la constant d'Euler, que val aproximadament 2,71828183. Es pot caracteritzar de diverses maneres; és, per exemple, l'única funció que és igual a la seva derivada i que val 1 en el punt 0. És la funció inversa del logaritme natural, de manera que és un element imprescindible a l'hora de resoldre certs problemes.

Com a funció de la variable x real, la gràfica d'ex sempre és positiva (al llarg de l'eix de les x) i creixent (d'esquerra a dreta). Mai arriba a tocar l'eix de les x, tot i que s'hi aproxima tant com es vulgui (això significa que l'eix de les x és un asímptota horitzontal de la gràfica). La funció inversa, el logaritme neperià, ln(x), està definit per tota x positiva.

La funció exponencial es pot definir de manera anàloga en objectes matemàtics diferents als nombres reals i complexos, com en espais de matrius quadrades.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Utilitzant logaritmes neperians, es poden generalitzar el concepte de funció exponencial. La funció

\!\, a^x=e^{x \ln a}

definida per tot a > 0, i per tot x real, s'anomena la funció exponencial de base a.

Fixeu-vos que l'anterior equació també és vàlida per a = e, ja que

\!\, e^{x \ln e}=e^{x \cdot 1}=e^x.

Les funcions exponencials compleixen les següents propietats, per tot a i b reals positius i per tot x i y reals:

\!\, a^0 = 1
\!\, a^1 = a
\!\, a^{x + y} = a^x a^y
\!\, a^{x y} = \left( a^x \right)^y
\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
\!\, a^x b^x = (a b)^x

Les expressions que contenen fraccions i arrels aritmètiques es poden simplificar utilitzant la notació exponencial perquè:

{1 \over a} = a^{-1}

i per tot a > 0, b real, i n > 1 enter:

\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

Derivades i equacions diferencials[modifica | modifica el codi]

La importància de les funcions exponencials en matemàtiques i les ciències ve principalment de les propietats de llurs derivades. En particular,

{d \over dx} e^x = e^x

És a dir, la derivada d'ex és ella mateixa. Aquesta és una propietat única dins de les funcions reals. Altres maneres de dir el mateix són:

  • La pendent de la gràfica al punt x és igual al valor de la funció a x.
  • La funció exponencial és solució de l'equació diferencial y'=y.

De fet, moltes equacions diferencials donen lloc a funcions exponencials, com ara l'equació de Schrödinger, l'equació de Laplace i les equacions del moviment harmònic simple.

Per a les funcions exponencials amb altres bases:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Tenim que qualsevol funció exponencial és un múltiple constant de la seva derivada.

Si el grau de creixement o de decreixement d'una variable és proporcional a la seva dimensió llavors podem escriure la variable com el producte d'una constant per la funció exponencial del temps.

A més a més, per qualsevol funció diferenciable f (x), tenim, per la regla de la cadena:

{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

La funció exponencial ex es pot definir de diverses maneres equivalents fent servir sèries infinites. En particular es pot definir com una sèrie de potències:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

o com el límit d'una successió:

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.

En aquestes definicions, n! significa factorial d'n, i x pot ser un nombre real, un nombre complex, un element d'una àlgebra de Banach o un element d'un cos de nombres p-àdics.

El terme d'error d'aquest límit-l'expressió és descrit per

\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x \left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3(8+3x)}{24n^2}+\cdots \right),

on, el grau del polinomi (enx) en el terme amb el denominador' nk es 2k.

Valor numèric[modifica | modifica el codi]

Per obtenir el valor numèric de la funció exponencial, la sèrie infinita es pot reescriure com:

e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)
= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)

Aquesta expressió convergeix ràpidament si podem assegurar que x < 1. Per assegurar-ho, podem fer servir la següent identitat.

e^x\, =e^{z+f}\,
= e^z \cdot \left[{1 \over 0!} + f \, \left( {1 \over 1!} + f \, \left( {1 \over 2!} + f \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)\right]
  • On z és la part entera d'x
  • on f és la part decimal d'x
  • Per tant, f és sempre més petit que 1 i la suma d'f i z és x.

El valor de la constant ez es pot calcular per endavant multiplicant e per ella mateixa z vegades.

Al pla complex[modifica | modifica el codi]

Quan es considera com una funció definida al pla complex, la funció exponencial conserva les propietats importants següents

\!\, e^{z + w} = e^z e^w
\!\, e^0 = 1
\!\, e^z \ne 0
\!\, {d \over dz} e^z = e^z

per a tot z i w.

La funció exponencial pot ser definida com una funció holomorfa en el pla complex de diferents maneres. Alguna d'elles són simples extensions de les fórmules que s'utilitzen per definir-la en el domini dels nombres reals. Específicament la forma més normal de definir-la pel domini de nombres complexos és mitjançant la sèrie de potències, on el valor real x se substitueix per la variable complexa z:

e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}

Una funció holomorfa periòdica amb període imaginari  2 \pi i, es pot escriure com

\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

on a i b són valors reals. Aquesta fórmula relaciona la funció exponencial amb les funcions trigonomètriques i les funcions hiperbòliques. Així veiem que tota funció elemental excepte els polinomis prové d'una funció exponencial.

Vegeu també la fórmula d'Euler.

Estenent el logaritme a arguments complexos s'obté una funció multivalorada, ln(z), és a dir, per a un element z obtenim una imatge amb més d'un element. Podem definir una potenciació més general:

\!\, z^w = e^{w \ln z}

per a tot z i w complexos, que també és una funció multivalorada. Les propietats exponencials establertes anteriorment es mantenen per a aquesta funció si tenim present que es tracta d'una funció multivalorada.

La funció exponencial transforma una recta del pla complex en una espiral logarítmica del pla complex amb centre a l'origen de coordenades. Si la recta és paral·lela a l'eix real, l'espiral no arriba a tocar-se; i si la recta és paral·lela a l'eix imaginari, l'espiral degenera en un cercle.

Calcul ez per al complex z[modifica | modifica el codi]

Si z=x+yi, on x i y són nombres reals, llavors

\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

Matrius i àlgebres de Banach[modifica | modifica el codi]

La definició de la funció exponencial donada anteriorment també és vàlida per a tota àlgebra de Banach, i en particular per matrius quadrades (en aquest cas la funció és anomenada la matriu exponencial). Tenim que:

\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ si } xy = yx
\ e^0 = 1
\ e^x és invertible amb inversa \ e^{-x}
la derivada de \ e^x en el punt \ x és l'aplicació lineal que envia \ u a \ ue^x.

En el context d'àlgebres de Banach no commutatives, tals com àlgebres de matrius o d'operadors en espais de Banach o de Hilbert, la funció exponencial sovint es considera com una funció amb argument real:

\ f(t) = e^{t A}

on A és un element fixat de l'àlgebra i t és un nombre real. Aquesta funció té les importants propietats

\ f(s + t) = f(s) f(t)
\ f(0) = 1
\ f'(t) = A f(t)

Exemple d'aplicació de la funció exponencial[modifica | modifica el codi]

És possible mesurar la concentració d'alcohol en la sang d'una persona. Investigacions mèdiques recents van demostrar que el risc de tenir un accident automobilístic pot ser representat mitjançant l'equació:

\,r = 6e^{kx}

on 'x' és la concentració d'alcohol a la sang i 'k' una constant.

Doble funció exponencial[modifica | modifica el codi]

El terme doble funció exponencial conté dos aspectes:

  • una funció amb dues funcions exponencials, amb diferents exponents
  • una funció f(x) = a^{a^x}, que creix molt més ràpidament que una funció exponensial.

Uns exemples de doble funció exponencial podien ser:


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció exponencial Modifica l'enllaç a Wikidata