Arrel aritmètica

L'arrel, és una operació aritmètica derivada de la potència. Consisteix en trobar quin nombre, elevat a un exponent donat, dona com a resultat una potència determinada.

$b^n= p \$ , llavors, $\sqrt[n]{p}=b$

També es pot expressar una arrel com a potència:

$\sqrt[n]{p}=p^{1 / n}$

Aquest exponent n s'anomena ordre o índex de l'arrel i es parla d'arrels enèsimes (n-simes). El cas específic de $\sqrt[2]{p}$ es coneix com arrel quadrada. En aquest cas no cal expressar l'exponent, i es pot escriure com $\sqrt{p}$. L'arrel d'ordre tres es diu arrel cúbica.

Propietats de les arrels

Les arrels, tenen propietats molt similars a les potències. Es poden operar com potències si s'expressen com a tals. Es pot veure les propietats de les potències a potència aritmètica

Suma i resta de radicals

La suma o la resta de arrel és un altre arrel semblant a les anteriors el coeficient de la qual és la suma o la resta de coeficients.

5$\sqrt[n]{m}$ + 3$\sqrt[n]{m}$ − 2$\sqrt[n]{m}$ = 6$\sqrt[n]{m}$

Arrel d'una arrel

Si es fa l'arrel d'una arrel, es pot simplificar com una sola arrel multiplicant els exponents:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{p}}=\sqrt[m \cdot n] {p}$

Producte d'arrels

El producte de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel del producte.

$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}$

Divisió d'arrels

La divisió de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel de la divisió.

$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$

Arrels de nombres negatius

Quan es fa l'arrel d'un nombre negatiu, llavors l'arrel té com a resultats n nombres complexos.

$\sqrt[n]{-p} = \sqrt[n]{p}\, \left(\cos \frac{(2 k + 1)\pi}{n} + i\, \sin \frac{(2 k + 1)\pi}{n}\right) = \sqrt[n]{p}\, \exp \left( \frac{(2 k + 1)\pi i}{n}\right)$ (k nombre enter, p > 0).

Per exemple, si n = 4, les quatre arrels de -1 són:

$\frac{\sqrt 2}{2}\,(1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 - i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(1 - i)$.

Introducció de factors en una arrel

Per introduir factors en una radical. han d'elevar-se aquests factors a l'índex de l'arrel.

a⋅$\sqrt[n]{x}$= $\sqrt[n]{a^nx}$

Vegeu també

• Arrel quadrada
• Arrel cúbica
• Potència aritmètica