Arrel enèsima

En matemàtiques, l'arrel enèsima d'un nombre x és un nombre r que, quan s'eleva a n, equival a x:

$r^n = x$

On n és el grau de l'arrel. Una arrel de grau 2 s'anomena arrel quadrada i una arrel de grau tres arrel cúbica. Les arrels de grau superior es designen usant els nombres ordinals, com per exemple arrel quarta, arrel vintena, etc.

Per exemple:

• 2 és una arrel quadrada de 4, perquè 2² = 4.
• −2 també és una arrel quadrada de 4, perquè (−2)² = 4.

Un nombre real o nombre complex té n arrels de grau n. Les arrels de 0 no són diferents (totes són zero), però excepte aquest cas especial, totes les n arrels enèsimes de qualsevol altre nombre real o complex són totes diferents. Si n és parell i el nombre és real i positiu, una de les seves n arrels és positiva, una és negativa i la resta són complexes però no reals; d'altra banda, si n és parell i el nombre és real i negatiu, cap de les n arrels és real. Si n és imparell i el nombre és real, una arrel és real i té el mateix signe que el nombre, mentre que la resta d'arrels no són reals.

Les arrels se solen escriure mitjançant el símbol de radical $\sqrt{\,\,}$ o $\surd{}$, on $\sqrt{x}\!\,$ o $\surd x$ denoten l'arrel quadrada, $\sqrt[3]{x}\!\,$ denota l'arrel cúbica, $\sqrt[4]{x}$ denota l'arrel quarta, etc. En l'expressió $\sqrt[n]{x}$, n s'anomena índex, $\sqrt{\,\,}$ és el símbol de radical i x és el radicand.

En càlcul, les arrels es tracten com casos especials de potenciació en els quals l'exponent és una fracció:

$\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}$

Les arrels són especialment importants en la teoria de sèries infinites; el criteri de l'arrel determina el radi de convergència d'una sèrie de potències. Les arrels enèsimes també es poden definir per nombres complexos, i les arrels complexes de 1 (arrel de la unitat) tenen un paper important en matemàtiques avançades. La teoria de Galois és útil per determinar quins nombres algebraics es poden expressar a partir d'arrels, i per demostrat el teorema d'Abel-Ruffini, que postula que una equació polinòmica general de grau cinc o superior no es pot resoldre tan sols fent servir arrels.

Propietats de les arrels

Les arrels, tenen propietats molt similars a les potències. Es poden operar com potències si s'expressen com a tals. Es pot veure les propietats de les potències a potència aritmètica

Suma i resta de radicals

La suma o la resta de arrel és un altre arrel semblant a les anteriors el coeficient de la qual és la suma o la resta de coeficients.

5$\sqrt[n]{m}$ + 3$\sqrt[n]{m}$ − 2$\sqrt[n]{m}$ = 6$\sqrt[n]{m}$

Arrel d'una arrel

Si es fa l'arrel d'una arrel, es pot simplificar com una sola arrel multiplicant els exponents:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{p}}=\sqrt[m \cdot n] {p}$

Producte d'arrels

El producte de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel del producte.

$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}$

Divisió d'arrels

La divisió de dues arrels del mateix exponent, és igual a l'arrel de la divisió.

$\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$

Arrels de nombres negatius

Quan es fa l'arrel d'un nombre negatiu, llavors l'arrel té com a resultats n nombres complexos.

$\sqrt[n]{-p} = \sqrt[n]{p}\, \left(\cos \frac{(2 k + 1)\pi}{n} + i\, \sin \frac{(2 k + 1)\pi}{n}\right) = \sqrt[n]{p}\, \exp \left( \frac{(2 k + 1)\pi i}{n}\right)$ (k nombre enter, p > 0).

Per exemple, si n = 4, les quatre arrels de -1 són:

$\frac{\sqrt 2}{2}\,(1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 + i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(-1 - i),\, \frac{\sqrt 2}{2}\,(1 - i)$.

Introducció de factors en una arrel

Per introduir factors en una radical. han d'elevar-se aquests factors a l'índex de l'arrel.

a⋅$\sqrt[n]{x}$= $\sqrt[n]{a^nx}$

Vegeu també

• Arrel quadrada i arrel cúbica
• Algorisme de càlcul de l'arrel enèsima
• Potenciació
• Nombre irracional
• Tetració