Nombre irracional

En matemàtiques, un nombre irracional és tot aquell nombre real que no és racional, és a dir, que no es pot expressar com una fracció a / b, essent a i b enters, i b diferent de 0. Els nombres irracionals són precisament aquells l'expansió decimal dels quals no s'atura mai, i tampoc no entra mai en un cicle periòdic. "Gairebé tots" els nombres reals són irracionals, en un sentit que es pot definir amb més precisió.

Alguns nombres irracionals són nombres algebraics, com l'arrel quadrada de 2 o l'arrel cúbica de 5; altres són transcendents, com $\pi$ i $e$.

Irracionalitat de certs logaritmes

Suposem que el log₂3 sigui racional.

Llavors, per alguns enters positius m i n, tenim log₂3 = m/n.

• En conseqüència, 2^m/n = 3.
• Així, 2^m = 3ⁿ.
• Però 2^m és parell (ja que almenys un dels seus factors primers és 2) i 3ⁿ és imparell (ja que cap dels seus factors primers és 2; tots són 3). Tenim, doncs, una contradicció, i per tant log₂3 ha de ser irracional.

Nombres irracionals i expansions decimals

De vegades se suposa erròniament que els matemàtics defineixen els "nombres irracionals", en termes d'expansions decimals, declarant que un nombre és irracional si la seva expansió decimal no es repeteix ni acaba. Cap matemàtic pren aquesta definició en consideració, ja que l'elecció de la base 10 és arbitrària i la definició estàndard és molt millor.

De tota manera, és cert que un nombre té la forma n/m on n i m són enters, si i només si la seva expansió decimal es repeteix o acaba. Quan l'algorisme de divisió euclidiana que s'aprèn a l'escola s'aplica a la divisió de n per m, només són possibles m residus. Si el residu és 0, l'expansió decimal s'atura. Si el residu no és 0, l'algorisme només pot córrer m − 1 vegades sense usar un residu més d'un cop. Si un residu es repeteix, l'expansió decimal també!

A la inversa, suposem que trobem una expansió decimal periòdica, per exemple:

A = 0,7162162162...

Com que la longitud del període és 3, multipliquem per 10³:

1000A = 716,2162162...

Observem que tant el valor numéric de A com el de 1000A tenen la mateixa cua, el període 162. Per tant, si restem A dels 2 costats de l'última igualtat, la cua s'anul·larà:

999A = 715,5

Llavors

A = 715,5/999 = 7155/9990 = 53/74 (trobant el màxim comú divisor)

53/74 és un quocient d'enters, i per tant un nombre racional.

Nombres que actualment no se sap si són irracionals

No se sap si π + e o π − e són irracionals o no. De fet, no existeix un parell de nombres enters m i n pels quals se sàpiga si mπ + ne és o no irracional (vegeu al respecte la conjectura de Schnauel). Tampoc no se sap si 2^e, π^e, π^√2 o la constant γ són irracionals.

El conjunt de tots els nombres irracionals

El conjunt de tots els nombres irracionals és no numerable. Usant el valor absolut per a mesurar distàncies, els nombres irracionals són un espai mètric que no és un complet. De tota manera, aquest espai mètric és homeomòrfic a l'espai mètric complet de totes les successions d'enters positius; l'homeomorfisme ve donat per l'expansió infinita en fraccions contínues. Això mostra que el teorema de categories de Baire s'aplica a l'espai de nombres irracionals.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre irracional