Leonardo de Pisa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Leonardo da Pisa (Fibonacci)
Leonardo da Pisa, Fibonacci
Leonardo da Pisa, Fibonacci
Naixement c. 1170
Pisa, Gran Ducat de Toscana
Mort c. 1250
Pisa, Gran Ducat de Toscana
Camp Matemàtic
Treball(s) Successió de Fibonacci, Identitat de Fibonacci, Liber Quadratorum, Liber Abaci
Religió Catòlic

Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1250), també conegut com a Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, o, de forma més comuna, simplement Fibonacci, fou un matemàtic italià, potser un dels matemàtics amb més talent de l'edat mitjana.[1] Féu nombrosos viatges per tota l'àrea de la Mediterrània: Síria, Egipte, Grècia, França, Sicília i el nord d'Àfrica.[2]

Fibonacci és conegut actualment per:[3]

Aplicà l'àlgebra als problemes geomètrics. Desenvolupà la trigonometria i féu treballs interessants sobre les equacions quadràtiques.[2]

Biografia[modifica | modifica el codi]

Bust de Leonardo de Pisa, anomenat il Fibonacci, obra de Bertel Thorvaldsen (Museu Thorvaldsen, Copenhagen)[5]

Leonardo va néixer a Pisa. El seu pare, Guglielmo, era apodat Bonaccio ("bon jan" o "simple"). La mare de Leonardo, Alessandra, va morir quan ell tenia nou anys. Leonardo va ser anomenat pòstumament Fibonacci (de filius Bonacci, fill de Bonaccio).[6]

Guglielmo dirigia un establiment comercial -segons algunes fonts, era l'assessor de Pisa- a Bugia, un port a l'est d'Alger al soldanat de la dinastia almohade a l'Àfrica del nord (avui Bejaia, Algèria). De jove, Leonardo hi va viatjar per ajudar-lo. Va estar a Egipte, Síria, Grècia, Sicília i Provença. Va ser en tots aquests viatges on aprengué el sistema de numeració aràbiga.[7]

La seva falta d'atenció a les qüestions de comerç i la preferència per les activitats matemàtiques, els seus compatriotes li varen posar el malnom despectiu de "Bigollone".

Observant que l'aritmètica àrab, que havia après amb el seu pare, era un sistema més simple i eficient que la numeració romana, Fibonacci va viatjar per tot el Mediterrani per estudiar i aprendre dels millors matemàtics àrabs del seu temps. Va tornar a Pisa dels seus viatges cap al 1200. L'any 1202, a l'edat de 32 anys, va publicar el Liber Abaci (Llibre de l'Àbac o Llibre de Càlcul), amb el que es va introduir la numeració hindo-aràbiga a Europa. Al Liber Abaci Leonardo mostra per primer cop, amb exemples per a cada cas, la superiorioritat de la numeració aràbiga sobre el sistema romà preexistent. Si bé aquest no era el primer llibre escrit a Itàlia que tractes sobre la numeració aràbiga, cap altre prèviament ho havia fet de forma tant extensa i amb un contingut tant raonat.[8]

Fibonacci és anterior a la impremta, per tant, els seus llibres van ser manuscrits. Dels seus llibres encara tenim còpies del Liber Abaci (1202), Practica Geometriae (1220), Flos (1225), i el Liber quadratorum. No obstant això, sabem que va escriure alguns altres textos, que, malauradament, estan perduts. El seu llibre d'aritmètica comercial Di minor guisa s'ha perdut igual que el seu comentari sobre el Llibre X dels Elements d'Euclides que contenia un tractament numèric dels nombres irracionals a què Euclides s'havia aproximat des d'un punt de vista geomètric. També hi va haver un treball sobre els nombres quadrats, del qual es coneixia l'existència d'un manuscrit a Florència el 1768, però no ha pogut ser trobat.

Es podria pensar que en una època en què Europa estava poc interessada en l'erudició, Fibonacci hauria estat àmpliament ignorat. Això, però, no és així i l'ampli interès en la seva obra sens dubte va contribuir fortament a la seva importància. Fibonacci va ser contemporani de Jordà però ell va ser un matemàtic força més sofisticat i els seus èxits van ser clarament reconeguts, encara que van ser les aplicacions pràctiques més que els teoremes abstractes els que el van fer famós per als seus coetanis.

Frederic II, l'emperador del Sacre Imperi Romanogermànic havia estat coronat pel papa a l'església de Sant Pere de Roma el novembre de 1220. Frederic II va donar suport a Pisa en els seus conflictes amb Gènova al mar i amb Lucca i Florència en terra, i va emprar fins al 1227 per consolidar el seu poder a Itàlia. El control de l'estat va ser introduït en el comerç i la indústria, i van ser entrenats funcionaris civils per supervisar aquest monopoli a la Universitat de Nàpols que Frederic va fundar per a aquest propòsit en 1224.

Frederic va tenir notícies de l'obra de Fibonacci a través dels erudits de la seva cort que havien mantingut correspondència amb ell des del seu retorn a Pisa al voltant del 1200. Aquests erudits incloïen a Michael Scotus que era l'astròleg de la cort, Theodorus Physicus el filòsof de la cort i Dominicus Hispanus que va suggerir a Frederic que es trobés amb Fibonacci quan la cort era a Pisa al voltant del 1225.[9]

Leonardo es va fer amic i convidat de l'emperador Frederic, a qui li interessaven les matemàtiques i la ciència.[10]

Johannes de Palerm, un altre membre de la cort de Frederic II, va presentar un conjunt de problemes com a reptes per al gran matemàtic Fibonacci. Tres d'aquests problemes van ser resolts per Fibonacci i va donar les solucions al llibre Flos que va enviar a Frederic II.

Després de 1228 només hi ha un document conegut pel que fa a Fibonacci. Aquest és un decret de la República de Pisa el 1240 en el qual s'atorga un salari a:

... el seriós i culte Maestro Leonardo Bonacci ....

Aquest salari va ser atorgat a Fibonacci en reconeixement pels serveis que havia prestat a la ciutat, aconsellant sobre temes de comptabilitat i ensenyant als ciutadans.[9]

Treballs matemàtics[modifica | modifica el codi]

Full del Liber Abaci de Leonardo da Pisa[11]

Cap escriptor cristià no havia introduït els nombres àrabs o indis a cap lloc de la cristiandat abans de la publicació del Liber Abaci. Els manuscrits existents, i els que semblen haver existit prèviament, es creu que varen ser escrits per jueus i per cristians espanyols, entre els moros. El Dr. Peacock ("Encyclopedia Metropolitana") havia arribat a la conclusió que les obres de Fibonacci van ser les primeres en les que aquestes xifres es troben. És notable destacar que l'autor no va ser conegut fins al segle XVII, quan els manuscrits es van descobrir a Florència per Giovanni Targioni Tozzetti. Amb tot, les intencions de Commandine i Bernard eren demostrar que es coneixien en un període anterior.[12]

Liber Abaci[modifica | modifica el codi]

Algorisme de multiplicació per gelosia. Es dibuixa una gelosia com la de la figura, el nombres a multiplicar s'escriuen al damunt i a la dreta, a cada quadrat s'escriuen separades per la diagonal les dues xifres resultat de multiplicar la xifra de la fila per la xifra de la columna. Finalment se sumen les diagonals i s'obté el resultat de la multiplicació.

Quan aparèixer el Liber Abaci de Leonardo per primera vegada, només uns pocs intel·lectuals europeus coneixien el nombres hindú-aràbics a través de traduccions dels escrits del matemàtic àrab del segle IX, Al-Khwarizmi.

En el Liber Abaci (1202) Fibonacci presenta l'anomenat modus Indorum (mètode dels indis), que avui es coneix com els nombres aràbics (Sigler 2003; Grimm 1973). El llibre propugna numeració amb els dígits 0-9 i en determina la seva notació posicional. El llibre mostra la gran practicitat d'aquest "nou" sistema de numeració, mitjançant l'ús de la multiplicació per gelosia (tipus de multiplicació algorítmica) i la fracció egipciana, tot aplicant-lo a la comptabilitat, la conversió de mesures i pesos, càlculs d'interès, canvi de monedes i altres aplicacions.

El llibre fou molt ben rebut a tot Europa instruïda tot provocant un profund impacte en el pensament europeu.

Liber Abaci també planteja, i resol, un problema que implica el creixement d'una hipotètica població de conills sobre una base de supòsits idealitzada. La solució, generació per generació, és una seqüència de nombres més tard coneguda com a Successió de Fibonacci. Dita seqüència, això no obstant, ja era coneguda per matemàtics indis en el segle VI,[13] però fou Fibonacci, mitjançant aquest llibre, qui la va introduir a Occident.

Successió de Fibonacci[modifica | modifica el codi]

Article principal: Successió de Fibonacci

Fibonacci Considera el creixement d'una població de conills idealitzada (biològicament irreal),[14] suposant que:

  • En el mes "zero", hi ha un parell de conills (parells addicionals de conills = 0).
  • Durant el primer mes, el primer parell cria un altre parell (parells addicionals de conills = 1).
  • Tant, Durant el segon mes, cada parell de conills té un altre parell, però el primer parell mor (parells addicionals de conills = 1).
  • En el tercer mes, el segon parell i el nou (dos parells) tenen un total de tres parells nous, i el segon parell més vell mor (parells addicionals de conills = 2).

El resultat d'això és que cada parell de conills té 2 parells en la seva vida, i mor.

Sia la població al mes n F(n). En aquest moment, només els conills que eren vius al mes n − 2 són fèrtils i es reprodueixen, així s'afegeixen F(n − 2) parells de conills a la població actual de F(n − 1). Per tant el total és F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).[15]

És a dir, en la successió de nombres de Fibonacci, cada nnombre és la suma dels dos nombres anteriors, començant amb 0 i 1. Així comença la successió:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 etc.

El els nombrés més alts de la successió, si es prenen dos nombres consecutius d'aquesta i es divideixen, dóna un resultat molt proper a la raó àuria (aproximadament 1: 1,618 i 0,618: 1), de fet la raó àuria n'és la tendència d'aquesta operació.

Liber Quadratorum[modifica | modifica el codi]

L'any 1225 publica el seu segon i principal llibre: "Liber Quadratorum", El llibre dels Quadrats, arran d'un desafiament fet per Joan de Palermo, un altre matemàtic de la cort de Frederic II, el qual li proposà de trobar un quadrat tal que si se li sumés o restés el nombre cinc dones com a resultat, en ambdós casos, nombres quadrats.

En notació moderna: x² + 5 = y² i x² - 5 = z²

Fibonacci inicià la resolució del problema amb els coneixements rudimentaris que es disposava vers els nombres quadrats des de l'Antiga Grècia, tot avançant gradualment, resolent, una rere altre, proposicions fins a donar amb la solució al problema d'anàlisi indeterminat que li havien llençat a manera de desafiament.

Inicialment Leonardo, en la seva obra parteix de la simple observació:

« Vaig pensar sobre l'origen de tots els nombres quadrats i vaig descobrir que es deriven de l'augment de la seqüència de nombres senars, per la unitat és un quadrat i d'ella s'extreu el primer quadrat, a saber 1; a aquesta unitat si afegeix 3, obtenint el següent quadrat, és a dir, 4, amb arrel 2; si a la suma s'afegeix el tercer nombre senar, a saber, el 5, es crea el tercer quadrat, a saber, 9, amb arrel 3; i llavors, les sumes de nombres imparells consecutius i una seqüència de quadrats sorgeixen junts i en ordre »
— Leonardo de Pisa, Liber Quadratorum, pag.4[16]

És a dir: 1=12, 1+3=22, 1+3+5=32...

O en general, en notació moderna:

\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( 2i-1 \right)}=n^{2}



A partir d'aquí podia haver contestat immediatament que el problema no té solució. Fixeu-vos que la diferència entre dos quadrats ha de ser igual a la suma d'una sèrie de nombres senars consecutius. Al problema es demana que y2 - z2 = 10 però no hi ha cap successió de nombres senars consecutius que doni 10 (3+5=8, 3+5+7=15, 5+7=12 i totes les altres donen més de 10). Però Fibonacci generalitza el problema i busca la solució pel cas general.

En el llibre introdueix el concepte d'uns nombres que denominà "congruents" i que defineix, en terminologia actual, com c = m·n (m² - n²), on m i n són naturals senars amb m > n. D'aquesta manera, el menor d'aquests nombres és el 24. Enuncia i demostra que el producte d'un nombre congruent per un quadrat dóna com a resultat un altre nombre congruent.

Utilitza aquests nombres com a eines per a les seves posteriors proposicions, fent-los intervenir en una identitat que és coneguda amb el nom d'"Identitat de Fibonacci". El valor de dita identitat ve determinat per la formula: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]²; i permet trobar amb facilitat solucions possibles al problema.

Per exemple, pel cas més petit, m = 3 i n = 1, llavors c = 3·1·(32-12) = 24, aplicant la identitat de Fibonacci s'obté:

\begin{align}
 & \left[ \frac{1}{2}\left( 3^{2}+1^{2} \right) \right]^{2}\pm 3\cdot 1\left( 3^{2}-1^{2} \right)=\left[ \frac{1}{2}\left( 3^{2}-1^{2} \right)\pm 3\cdot 1 \right]^{2} \\ 
 & \left[ \frac{1}{2}\left( 9+1 \right) \right]^{2}\pm 3\cdot 1\left( 9-1 \right)=\left[ \frac{1}{2}\left( 9-1 \right)\pm 3\cdot 1 \right]^{2} \\ 
 & \left[ \frac{1}{2}10 \right]^{2}\pm 3\cdot 1\left( 8 \right)=\left[ \frac{1}{2}\left( 8 \right)\pm 3 \right]^{2} \\ 
 & 5^{2}\pm 24=\left( 4\pm 3 \right)^{2} \\ 
 & \left\{ \begin{matrix}
 5^{2}+24=7^{2} \\
 5^{2}-24=1^{2} \\
\end{matrix} \right. \\ 
\end{align}


Leonardo de Pisa utilitza sovint les proposicions precedents com a lemes per a les següents. Per aquest motiu el llibre es troba encadenat lògicament. Les seves demostracions son de tipus retòric i empra segments de recta com a representació de les quantitats. Si bé algunes d'aquestes proposicions no estan rigorosament demostrades, si no que les accepta fent una espècie d'inducció completa, tot dotant-les d'exemples pràctics i específics. El seu domini algorítmic és excel·lent i totes les afirmacions que exposa en el llibre poden ser demostrades amb les eines actuals i en el llibre, exceptuant la incompletesa d'algunes demostracions, no s'hi troben errors d'importància. El contingut del llibre supera amb escreix la resposta al desafiament rebut i mostra l'estat de la matemàtica en la seva època.

Desgraciadament el manuscrit és incomplet, tot deixant estroncada la resolució d'un interessant problema; no obstant el Liber Quadratorum es considerat una de les obres fonamentals del saber humà i ha estat traduït a múltiples idiomes.

Al segle XIX, una estàtua de Fibonacci fou construïda i erigida a Pisa. Avui es troba al claustre del cementeri històric del Camposanto, a la Piazza dei Miracoli.[17]

L'estàtua de Leonardo[modifica | modifica el codi]

Monument a Leonardo de Pisa (Fibonacci), fet per Giovanni Paganucci i acabat el 1863, al Camposanto de Pisa

A Pisa, al claustre del cementiri històric Camposanto es troba una estàtua de Leonardo, amb una inscripció que diu: Ampere Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII. La imatge és un producte de fantasia artística ja que no es disposa de cap imatge ni representació contemporània de Leonardo.

L'estàtua es va aixecar per la iniciativa de dos membres del govern provisional del Gran Ducat de Toscana, Bettino Ricasoli i Cosimo Ridolfi, que promulgaren un decret per al finançament de l'estàtua el 23 de setembre de 1859. Es va encarregar l'escultor florentí Giovanni Paganucci qui va acabar l'obra el 1863. L'estàtua es va col·locar a Pisa sobre el Campo Santo on les tombes, ja des de l'edat mitjana, són mausoleus amb obres d'art.

A l'època del feixisme les autoritats decidiren traslladar a Pisa l'estàtua de Leonardo el 1926, així com dues estàtues d'altres ciutadans prestigiosos de Pisa, traient-les de la solitud sacra del Camposanto i portant-les a llocs públics i ben visibles. L'estàtua de Leonardo es va col·locar al final meridional del Ponte di Mezzo. Durant la Segona Guerra Mundial va ser destruït el pont el 1944 en les lluites per Pisa, i l'estàtua es va guardar en un magatzem caient en l'oblit. Als anys 1950 es redescobrí, es restaurà provisionalment i es va col·locar al parc Giardino Scotto a l'entrada oriental de la ciutat vella. Només en els anys 1990 l'administració de ciutat de Pisa es decidí a restaurar l'estàtua i deixar-la altre cop a la seva ubicació original al Campo Santo.

Obres publicades[modifica | modifica el codi]

  • Liber Abaci (1202), un llibre de càlcul. Escrit el 1202, revisat i considerablement augmentat l'any 1228, es divideix en quinze capítols. Un capítol important està dedicat a les fraccions graduals,[18] de les que exposa les propietats. En elles basa una teoria dels nombres fraccionaris i, després d'haver-introduït en els càlculs de nombres abstractes, les converteix en un instrument pràctic per a l'obtenció de nombres concrets. Totes les fraccions es presenten a la manera egípcia, és a dir, com a suma de fraccions amb numeradors unitaris i denominadors no repetits. L'única excepció és la fracció \textstyle \frac{2}{3},[19] que no es descompon. Inclou una taula per descomposició en fraccions unitàries que es llegeix dreta a esquerra, com en les llengües semítiques.
  • Practica Geometriae (1220), un compendi de geometria i trigonometria. Està dividit en set capítols en els quals aborda problemes de geometria dimensional referent a les figures planes i sòlides. És l'obra més avançada en el seu tipus que es troba en aquesta època a Occident.
  • Flos (1225) o Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium (Ramells de solucions de certes qüestions relatives al nombre i a la geometria), són un compendi de solucions als problemes plantejats per Johannes de Palerm. Comprèn quinze problemes d'anàlisi determinat i indeterminat de primer grau. Dos d'aquests problemes havien estat proposats com a desafiament a Leonardo per Juan de Palerm, matemàtic de la cort de l'emperador Frederic II.
  • Liber quadratorum, ("El llibre dels quadrats") sobre equacions diofàntiques, dedicat a l'emperador Frederic II del Sacre Imperi Romanogermànic. Consta de vint proposicions; aquestes no consisteixen en un recull sistemàtica de les propietats dels nombres quadrats, sinó una selecció de les propietats que porten a resoldre un problema d'anàlisi indeterminat de segon grau que li fos proposat per Teodor, un matemàtic de la cort de Frederic II.
  • Di minor guisa, d'aritmètica comercial (perdut).
  • Comentari al llibre X dels Elements d'Euclides (perdut).
  • Carta a Teodor. És una simple carta que Leonardo envià a Teodor, astrolòleg de la cort de Frederic II. En ella es resolen dos problemes. El primer és algebraic i consisteix en trobar objectes de diferents proporcions. Aquests objectes porten els noms d'ocells de diverses espècies. Paul Ver Eecke, qui va traduir el Líber Quadratorum al francès des de l'original llatí de l'edició de 1228, opina que va poder haver estat una cortesia cap a Frederic II, que era afeccionat a la caça amb falcó, preveient que la seva carta seria portada al príncep. El segon problema és geomètric-algebraic. Es tracta d'inscriure en un triangle isòsceles un pentàgon equilàter que tingui un costat sobre la base del triangle i d'altres dos costats sobre els restants d'aquest. Ho redueix a una equació de segon grau, donant un valor molt aproximat per al costat del pentàgon en el sistema sexagesimal.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Howard, Eves. An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.) (en anglès). Brooks Cole, 1990, p. 261. ISBN 0-03-029558-0. 
  2. 2,0 2,1 «Leonardo Fibonacci» (en català). Gran Enciclopèdia Catalana. Enciclopèdia Catalana, SAU. [Consulta: 15 de maig de 2010].
  3. «Leonardo Pisano - page 3: Contributions to number theory» (en anglès). Encyclopædia Britannica, 2006.
  4. Parmanand, Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math (en anglès). Ed. Siwan, 1986, p. 28-30. 
  5. Museu Thorvaldsen, Copenhagen, 15 d'agost de 2008. Foto de Stefano Bolognini.
  6. Vegeu l'íncipit del Liber Abaci: "Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano" (copiat de "Prologus" del Liber Ab(b)aci al Wikisource de llatí), en català: "Aquí comença el llibre de Càlcul escrit per Leonardo, fill de Bonaccio, de Pisa"
  7. Fibonacci, Leonardo; Sigler, L. E. Springer. [http://books.google.cat/books?id=PilhoGJeKBUC&printsec=frontcover&dq=fibonacci+constantinoble&as_brr=3&hl=ca&cd=1#v=onepage&q&f=false Fibonacci's Liber abaci: a translation into modern English of Leonardo Pisano's Book of calculation Sources and studies in the history of mathematics and physical sciences] (en anglès), 2003, p. 15. ISBN 978-0-387-40737-1. 
  8. Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson. Ed. MAA. Sherlock Holmes in Babylon: and other tales of mathematical history (en anglès), 2004, p. 143. ISBN 9780883855461. 
  9. 9,0 9,1 «Leonardo Pisano Fibonacci Biography» (en anglès). School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. [Consulta: 14 octubre 2009].
  10. Vegeu l'íncipit de Flos: "Incipit flos Leonardi bigolli pisani...", on es refereix a Leonardo com a Leonardo Bigollo (citat en el document Sources in Recreational Mathematics: An Annotated Bibliography de David Singmaster, 18 de març de 2004), en català: "Aquí comença 'la flor' de Leonardo el trotador de Pisa..."
  11. Leonardo da Pisa, Liber abbaci, Ms. Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice magliabechiano cs cI, 2626, fol. 124r
  12. Charles Knight; Bradbury, Evans & Co.. Biography: or, Third division of "The English encyclopedia", Volum 4 (en anglès), 1867. . pàg.840
  13. Susantha Goonatilake. Indiana University Press. Toward a Global Science, 1998, p. 126. ISBN 9780253333889. 
  14. Sigler, Laurence E. (trans.). «Capítol II.12». A: Springer-Verlag. Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag, 2002, pàgines 404–405. ISBN 0-387-95419-8. 
  15. Knott, Ron. «Fibonacci's Rabbits». University of Surrey School of Electronics and Physical Sciences.
  16. Headley, Patrick. «Fibonacci and Square Numbers» (en anglès). Arxivat de l'original el 2011-05-22. [Consulta: 23 de febrer de 2012].
  17. «La estatua de Fibonacci en Pisa» (en castellà). [Consulta: 23 de febrer de 2012].
  18. Fracció gradual: \frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1\cdot a_2}+\frac{1}{a_1\cdot a_2\cdot a_3}+\ \cdots
  19. L'excepció no sorgeix d'una impossibilitat aritmètica, ja que \textstyle\frac{2}{3}=\textstyle\frac{1}{2}+\textstyle\frac{1}{6}. La fracció no es descomponia per raons filosòfiques i religioses.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Mucillo, Maria. Fibonacci, Leonardo (Leonardo Pisano) Dizionario Biografico degli Italiani, Vol. 47] (en italià). Istituto dell'Enciclopedia Italiana Treccani. 
  • Boncompagni, Baldassarre. Della vita e delle opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo, notizie (en italià). Roma: Tipografia delle Belle arti, 1852, estratto da "Atti della reale Accademia pontificia de' nuovi lincei", a. 5, sessioni 1, 2 e 3, 1851-1852. 
  • Genocchi, Angelo. Intorno ad alcuni problemi trattati da Leonardo Pisano nel suo Liber quadratorum / brani di lettere dirette a D. Baldassarre Boncompagni (en italià), 1855. 
  • Bernardini, Rodolfo. Leonardo Fibonacci nella iconografia e nei marmi (en italià). Pisa economica, n. 1, 1977, p. 37-39. 
  • Radicati di Brozolo, Luigi Arialdo. bonacci tra arte e scienza (en italià). Pisa: Cassa di risparmio, 2002. 
  • Geronimi, Nando; Nastasi, Pietro; Merz, Mario. Giochi matematici del Medioevo, i "conigli di Fibonacci" e altri rompicapi liberamente tratti dal Liber abaci (en italià). Milano: B. Mondadori, 2006. 
  • Snijders, C.J. La sezione aurea (en italià). Padova: Franco Muzzio editore, 1985. 
  • Posamentier, Alfred; Lehmann, Ingmar. I (favolosi) numeri di Fibonacci (en italià). Gruppo editoriale Muzzio, 2010. ISBN 978-88-96159-24-8. 
  • Goetzmann, William N; Rouwenhorst, K.Geert. The Financial Innovations That Created Modern Capital Markets (en anglès). Oxford University Press Inc, USA), 2005. ISBN 0195175719. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]