Secció àuria

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article tracta sobre Nombre auri (matemàtiques). Vegeu altres significats a «Nombre auri (desambiguació)».
Segment dividit en dos segments a i b de forma àuria: El segment sencer és al segment a com el segment a és al segment b

La raó àuria, secció àuria o divina proporció és la relació que guarden dos segments a i b (o per extensió, la que guarden dues quantitats a i b) si entre el total i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el segment menor, o, en altres paraules, si el tot és al segment major igual que el major és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}

El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un nombre irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega Φ o φ (fi) en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys sovint amb τ (tau):

\Phi = \frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots

Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporció divina s'ha usat sovint al llarg de la Història en l'art i el disseny. Òbviament, també s'ha usat la inversa de la raó àuria Φ-1. A vegades s'utilitza la fi minúscula (φ) per aquest valor quan s'utilitza la majúscula per l'anterior.

\phi=\frac{1}{\Phi} = \frac{b}{a} = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 0,618 033 \dots

Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblement el fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie de curioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica) de "proporció divina".

Orígens[modifica | modifica el codi]

S'ha situat de vegades de l'origen de la proporció àuria a l'antiga civilització babilònica, basant-se en la relació entre aquesta proporció i les estrelles de cinc puntes trobades en tauletes de fang del 3200 aC. Tanmateix, res indica que aquesta civilització conegués la proporció àuria.

Raons molt properes a l'àuria s'han trobat en les posicions i proporcions de les piràmides de Giza, de manera que sembla que els primers que usaren la raó àuria foren els antics egipcis. El que no està tan clar és si les usaven conscientment per a unes suposades qualitats estètiques de la raó o si la seva primera aparició és fruit d'altres raons o l'atzar. De fet, són molts els que asseguren que els egipcis desconeixien aquesta marevella matemàtica.

En la antiga Grècia es coneixien bé algunes propietats geomètriques de la raó àuria, sobretot descobertes pels Pitagòrics, gràcies a la seva freqüent aparició en geometria; tanmateix, no sembla cert però que en valoressin la seva vessant estètica. Malgrat tot, en molts monuments, com en el Partenó, hom pot trobar-hi proporcions divines o molt pròximes a ella. No s'ha provat que aquestes relacions fossin expressament cercades, ja que en l'època de la construcció del Partenó poca gent coneixia aquesta proporció; tot i que molts asseguren que no pot ser una qüestió d'atzar, cal anar molt amb compte amb els textos que asseguren l'omnipresència de la secció àuria en aquests edificis, ja que la numerologia, en diverses ocasions, s'ha tret relacions de la màniga (com ara les que aparegueren sobre la gran piràmide d'Egipte al llibre The Great Pyramid: Why Was It Built and Who Built It? de John Taylor (1859)).

En l'arquitectura romana també s'hi poden trobar raons àuries, però tampoc no s'ha provat que fossin expressament emprades en els dissenys.

Raons àuries en geometria[modifica | modifica el codi]

Secció àuria d'un segment[modifica | modifica el codi]

Secció àuria del segment AB: S divideix AB de forma àuria, AS és el segment auri d'AB

Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secció àuria del segment AB (o el divideix de forma àuria) si la part més gran és mitjana proporcional (o geomètrica) entre el segment AB i la part petita. Si la part petita és SB, com en la figura, matemàticament això és

\overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB}

Equivalentment això passa quan el segment sencer és a la part gran com la part gran és a la petita, i.e.

\frac{\overline{AB}}{\overline{AS}} = \frac{\overline{AS}}{\overline{SB}}

L'equivalència entre les definicions es veu per exemple multiplicant en creu la segona expressió.

També es veu l'equivalència entre aquestes definicions i la de capçalera: en efecte, si AS mesura a i SB té una mesura b (i llavors AB té una mesura a + b) i tot plegat se substitueix en la segona expressió, s'obté

\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}

La secció àuria del segment en una part gran i una de petita té a més la propietat següent:

  • La part petita és segment auri de la part gran, i.e.
\frac{\overline{AS}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{SB}}{\overline{AS}-\overline{SB}} o bé \overline{SB}^2 = \overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB})
Demostració: si \overline{AS}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{SB} (per ser AS el segment auri de AB), restant  \overline{AS} \cdot \overline{SB} a banda i banda s'obté que
\overline{AS}^2 - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = \overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB}
Traient factor comú, i tenint en compte que (\overline{AB}-\overline{AS})=\overline{SB}
 \overline{AB} \cdot \overline{SB} - \overline{AS} \cdot \overline{SB} = (\overline{AB} - \overline{AS}) \cdot \overline{SB} = \overline{SB} \cdot \overline{SB} = \overline{SB}^2 .
Llavors,  \overline{AS} \cdot (\overline{AS}-\overline{SB}) = \overline{SB}^2 , Q.E.D.

Construcció de raons àuries amb regle i compàs[modifica | modifica el codi]

  • Divisió àuria d'un segment donat. Una de les construccions més senzilles és la següent:
Divisió de forma àuria d'un segment AB donat
    1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de AB.
    2. Amb centre a C, transporteu la distància CB sobre la hipotenusa CA. S'obté així el punt D.
    3. Amb centre a A, transporteu la distància AD sobre el segment AB. La intersecció d'aquest arc amb el segment AB defineix el punt S buscat, que constitueix secció àuria d'AB.
  • Construcció del segment tal que el seu segment auri és el donat. Aquesta és una de les construccions més famoses amb la raó àuria:
Construcció del segment AB a partir del seu segment auri AS.
    1. Traceu SC, perpendicular a AS per S i de longitud igual a AS.
    2. Trobeu el punt mitjà M del segment AS (per exemple amb la mediatriu).
    3. Amb centre a M, traceu l'arc amb radi MC. La intersecció B d'aquest arc amb la recta suport de AS defineix el segment cercat AB, el segment auri del qual és AS.

Triangle d'or[modifica | modifica el codi]

Els 'triangles d'or són aquells triangles isòsceles els costats dels quals estan en raó àuria. N'hi ha de dos tipus: els que \frac{\mbox{costat igual}}{\mbox{costat desigual}} = \Phi, que són acutangles i els que \frac{\mbox{costat desigual}}{\mbox{costat igual}} = \Phi, que són obtusangles. Aquests últims sovint són també anomenats triangles d'argent, però no tenen res a veure amb el nombre d'argent (que no té res a veure amb φ, l'invers de Φ).

Triangles d'or

Els triangles d'or tenen dos angles de 72º i un de 36º; els triangles d'argent tenen dos angles de 36º i un de 108º. Aquests són els mateixos angles que apareixen també en el pentàgon regular i el pentacle, on no és sorprenent de retrobar els triangles d'or i la raó àuria.

Demostració: En la figura de l'esquerra, es pot veure com el triangle ABD és semblant al triangle BCA ja que els dos són isòsceles i tenen un angle en comú. Així, els angles ABD i ACB són iguals. La raó de semblança és, per construcció dels triangles 1/Φ. Llavors, el segment AD mesura 1/Φ.
Com que el nombre d'or verifica la igualtat
\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi},
el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD és isòsceles i els angles DCB i DBC són iguals. Per tant, com que DCB i ACB són iguals, ABD i DBC són iguals i DB marca la bisectriu de l'angle ABC. Atès que la suma dels angles d'un triangle val 180°, els valors dels angles és de 36° pels més aguts (la cinquena part d'un angle pla) i de 72º pels més oberts, (dues cinquenes parts de l'angle pla o una cinquena part d'un angle complet).

Rectangle d'or[modifica | modifica el codi]

Rectangles d'or

Els rectangles d'or són aquells rectangles els costats dels quals guarden raó àuria.

La construcció d'un rectangle d'or amb compàs es pot fer fàcilment a partir d'un quadrat mitjançant la segona construcció de l'apartat corresponent. Punxant al centre d'un dels costats i obrint fins a un dels dos angles oposats, només cal baixar l'arc fins a la prolongació del costat on s'ha punxat. Una de les propietats dels rectangles d'or és que el rectangle resultant de l'eliminació del quadrat de costat b que el pot generar (vegeu la figura), també és d'or. Aquesta propietat és deguda al fet que la raó àuria compleix la propietat següent, ja vista en apartats anteriors:

 \frac{b}{a-b} = \frac{a}{b} = \Phi.

El pentàgon i el pentalfa regulars[modifica | modifica el codi]

Pentacle en pentàgon regular

El pentàgon regular i les seves diagonals, que formen un pentalfa (o pentacle) amaguen unes quantes propietats relacionades amb la raó àuria. Alguns creuen que aquest podria ser un dels motius pels quals aquest símbol va ser l'escollit per Pitàgores per a la germandat que creà i presidí: els pitagòrics.

Per tractar-se de pentàgons regulars, s'identifiquen deu angles de 108º, cinc en el pentàgon exterior i cinc més en el format en l'interior. A partir d'aquests deu angles se'n poden trobar cinc més també de 108º (per angles oposats pel vèrtex) i deu angles de 72º (per angles suplementaris. D'aquesta manera, s'identifiquen cinc triangles d'or, que són els que formen les puntes del pentacle. També s'hi identifiquen quinze triangles d'argent (de dues mides diferents). Nombés hi ha doncs tres tipus d'angles: de 36º, 72º (el doble de 36º) i 108º (el triple).

Pentalfa il·lustrant les raons àuries que s'hi amaguen

Pel que fa a longitud de segments, s'observa que només n'hi ha de quatre longituds diferents, però totes en relació àuria amb alguna altra:

 \Phi = \frac{\mbox{vermell}}{\mbox{blau}} = \frac{\mbox{blau}}{\mbox{verd}} = \frac{\mbox{verd}}{\mbox{lila}}
Demostració Per a demostrar cadascuna d'aquestes relacions, només cal trobar un triangle d'or o d'argent format per costats amb les longituds corresponents. Els triangles són efectivament d'or o d'argent perquè ho corroboren els seus angles i la relació és àuria per definició de triangle d'or o d'argent.

Espirals d'or[modifica | modifica el codi]

Hom pot construir, a partir d'una successió de rectangles d'or i quadrats (vegeu la figura), una espiral tot traçant quarts de circumferència dins cada quadrat i tangents a ell. Aquesta espiral s'aproxima a l'espiral d'or, una espiral logarítmica de centre la intersecció de les dues diagonals indicades en la figura, punt que s'anomena l'ull de Déu, i d'equació polar:

 r (\theta) = r \cdot \Phi^{-\frac{\theta}{\pi \, / \, 2}}
Espiral d'or aproximada mijtançant arcs de circumferència en una successió de quadrats-rectangles d'or
Espiral d'or aproximada (verda) i vertadera (vermella) (el groc apareix allà on es trepitgen ambdues corbes)
Espiral d'or aproximada mitjançant arcs de circumferència dins d'una successió de triangles d'or

De la mateixa manera, es pot construir, a partir d'una successió de triangles d'or, una espiral aproximada a la vertadera d'or triangular, també espiral logarítmica però ara d'equació polar:

 r (\theta) = r \cdot \Phi^{\frac{\theta}{3 \, \pi \, / \, 5}}

Angle d'or[modifica | modifica el codi]

Angle d'or Ψ

S'anomena angle d'or aquell angle obtingut mitjançant la partició d'un cercle (la circumferència del qual té una longitud c) en dos sectors circulars, el més gran amb un arc de longitud a i el menor, amb un arc de longitud b, de manera que

\frac{c}{a}=\frac{a}{b}

i prenent com a bo l'angle petit (el de longitud d'arc b).

Com que es tracta d'una partició del cercle, també es té que c=a+b \,, i per tant, \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} (vegeu el paral·lelisme amb la secció àuria d'un segment).

  • L'angle d'or mesura \Psi = \frac {360^{\circ}}{\Phi^2} \approx 137,51^{\circ}, o bé en radians, \Psi = \frac {2 \pi}{\Phi^2} = (3-\sqrt{5}) \pi \approx 2,39996 \mbox{ rad}
Demostració: De l'equació \frac{c}{a}=\frac{a}{b}, operant s'arriba a l'equació  a^2-a \cdot b-b^2 = 0 , d'on, resolent, s'obté:
a=\frac{b \pm \sqrt{b^2+4b^2}}{2} = b \cdot \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
D'aquí, s'obtenen els dos següents valors per a \frac{a}{b} :
{1+\sqrt{5} \over 2} = \Phi \ \mathrm{i}\ {1-\sqrt{5} \over 2} = - \phi
Com que tant a com b són positius, es té que \frac{a}{b} = \Phi o que a = \Phi \cdot b. Substituint-ho en c=a+b \,, i reordenant s'obté que:
\frac{b}{c} = \frac{1}{\Phi+1} = \frac{1}{\Phi^2} , d'on s'obté la mesura angular de l'angle: \Psi = \frac {360^{\circ}}{\Phi^2} o \Psi = \frac{2 \pi}{\Phi^2}.

El nombre d'or[modifica | modifica el codi]

Propietats[modifica | modifica el codi]

Puix que Φ resulta de la solució d'una equació polinòmica, forma part del conjunt dels nombres algebraics. Pot ésser demostrat també que Φ és un nombre irracional o incommensurable.

\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 \dots (vegeu les primeres 20000 xifres decimals del nombre d'or)

Com que el seu conjugat és menor que la unitat, també és un Nombre de Pisot.

Algunes expressions amb les potències de Φ:

  • \Phi^2 = \Phi + 1 \
  • \Phi^3 = \frac{\Phi + 1}{\Phi - 1}
  • \Phi^{-1} = \Phi - 1 \
  • \Phi^{-2} = 2 - \Phi \

Les potències de Φ també compleixen la següent propietat:

\forall n\in\mathbb{N}, \quad \Phi^n = \Phi^{n-1} + \Phi^{n-2}
Demostració: La propietat anterior pot obtenir-se \forall n\in\mathbb{N} de multiplicar la igualtat  \Phi^2 = 1 + \Phi \, per \Phi^{n-2} \,.
Així, les potències naturals del nombre d'or compleixen la relació de recurrència de Fibonacci,
\forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,
Gràcies a aquesta propietat, es poden també escriure expressions on s'observa la successió de Fibonacci:
\Phi^{-2} = - \Phi + 2 \,,
\Phi^{-1} = \Phi - 1 \,,
\Phi^0 = 1 \,,
\Phi^1 = 1 \Phi \,,
\Phi^2 = 1 \Phi + 1 \,,
\Phi^3 = 2 \Phi + 1 \,,
\Phi^4 = 3 \Phi + 2 \,,
\Phi^5 = 5 \Phi + 3 \,,
\Phi^6 = 8 \Phi + 5 \,,
\Phi^n = F_n \Phi + F_{n-1} \,,
\dots \,,

Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurrència de Fibonacci és que el quocient entre termes consecutius d'una successió definida amb aquesta recurrència, entre aquestes, la successió de Fibonacci, tendeix al nombre d'or. En efecte, si (F_n)_{n\in\mathbb{N}} és una successió tal que \forall n\in\mathbb{N}, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\,, llavors:

\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\Phi
Demostració: plantejant el límit,
x=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{F_n+F_{n-1}}{F_n}
=1+\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}
=1+\frac1{\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n-1}}}
=1+\frac1x
De x=1+\frac1x, multiplicant per x, s'arriba a:
x^2=x+1\, , una equació quadràtica ja coneguda amb arrels \Phi\, i  1-\Phi = - \phi \, . La primera arrel x = \Phi\, és la corresponent a la part creixent de la successió, Q.E.D. La segona, és la corresponent a una hipotètica successió endarrere (cercant el límit x=\lim_{n\to -\infty}.

Com que \Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} \,, es pot representar Φ en forma de fracció contínua:

\Phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}

El fet que en aquesta fracció contínua només apareguin uns fa que el nombre Φ sigui l'irracional més irracional (el que convergeix més lentament), cosa que fa que tingui aplicacions interessants a la natura (veieu l'apartat "El nombre d'or a la natura").

Com que \Phi^2 = 1 + \Phi \,, Φ es pot representar també amb una iteració infinita d'arrels quadrades:

\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}

El nombre d'or presenta també propietats interessants si s'utilitza com a base d'un sistema de nombres (vegeu base d'or).

En trigonometria, el nombre d'or està molt relacionat amb els angles que apareixen en un pentacle: (36º, 72º i 108º) i amb les seves meitats: 18º i 54º:

\Phi=2\cos 36^\circ \,
\Phi=\frac{\sin 108^\circ}{\sin 36^\circ } \,
\Phi=2\sin 18^\circ + 1\,
\Phi=2\sin 54^\circ \,

La demostració és a l'article Constants trigonomètriques exactes, angle de 36º.

El nombre d'or també apareix en expressions com

\Phi = e^{\operatorname{arcsinh} \frac{1}{2}}

La raó àuria en les arts[modifica | modifica el codi]

En 1509, Luca Pacioli publicà Divina Proportione, on tractava no només amb les curiositats matemàtiques del nombre d'or, sinó també amb el seu ús en l'arquitectura. Això va propiciar l'acceptació de la idea que molts artistes del Renaixement, introduïen la raó àuria en els seus dissenys. Un bon exemple d'aquests mites és en les pintures de Leonardo Da Vinci, on, de la mateixa manera que en el Partenó, hom pot trobar-hi relacions àuries tot i que no hi ha proves fefaents que confirmin que fossin introduïdes expressament pel mateix autor.

Ja en el segle XX, l'arquitecte suís Le Corbusier va publicar Le Modulor, on tractava, entre d'altres amb la raó àuria en l'arquitectura i sobretot en l'urbanisme.

La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis i d'altres, com per exemple en la mida estàndard de carnets i targetes de crèdit que s'aproximen a rectangles d'or. Potser l'edifici més emblemàtic és la seu de l'ONU a Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle d'or.

La raó àuria també ha estat usada en música, tant per la durada de les notes (per exemple pel compositor hongarès Béla Bartók i el francès Olivier Messiaen), com per l'organització de les parts d'una peça (per exemple en alguna obra del compositor mexicà Silvestre Revueltas) o fins i tot en la relació entre les freqüències de noves notes fora de les escales cromàtiques (per exemple en For Ann (rising), de James Tenney).

Hi ha gent que creu que la raó àuria té propietats estètiques particulars. D'altres argumenten que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.

El nombre d'or en la natura[modifica | modifica el codi]

Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també en la naturalesa, de vegades en llocs insospitats:

  • En cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
  • En la disposició dels pètals de les flors (Anomenat Llei de Ludwig en botànica)
  • En la relació entre els nervis del tall d'una fulla.
  • En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és a causa del fet que el nombre d'or és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, l'efecte que crea aquest angle és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).
  • En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de girasol
  • En l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.
  • En les espirals d'una pinya.
  • En alguns quasicristalls com el de l'aliatge de zinc, magnesi i holmi, que formen un dodecaedre regular. No és el cas dels cristalls de pirita dodecaèdrics (piritoedres), en que les cares són pentàgons amb quatre costats iguals i un de diferent, i la figura resultant té la simetria del tetraedre, anomenada Th (3*2), i no pas pentagonal.

Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D'altres però, són aparicions més misterioses.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

La proporción áurea, Mario Livio, Editorial Ariel (Barcelona, 2009)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Secció àuria
Pi-symbol.svg Portal de matemàtiques – Accediu als articles temàtics sobre matemàtiques.