Nombre algebraic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).


a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = 0\,

on:

n > 0 (a_n \ne 0), és el grau del polinomi.
a_i \in \mathbb{Z}, els coeficients del polinomi són nombres enters.

Exemples :

  • tot nombre racional \frac{p}{q} és algebraic, perquè és arrel del polinomi q x - p
  • el nombre real \sqrt{2} és algebraic perquè és arrel del polinomi x^2-2
  • el nombre complex i és algebraic perquè és arrel del polinomi x^2+1
  • en canvi se sap que π no és un nombre algebraic : el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que tingui π per arrel

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos \C dels nombres complexos.

Classificació dels complexos[modifica | modifica el codi]

  • Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
  • Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).