Nombre hiperreal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el conjunt dels nombres hiperreals constitueix una extensió ^*\mathbb R dels nombres reals usuals, permetent donar un sentit rigorós a les nocions de quantitat infinitament petita o infinitament gran. Es pot evitar llavors l'ús dels passos al límit i de les expressions condicionades per un valor ε «positiu tan petit com es vulgui». No hi ha unicitat del conjunt ^*\mathbb R, però la tria d'una extensió en particular no té gaire incidència a la pràctica.

Tal com es pot construir el conjunt dels nombres reals a partir de successions de nombres racionals, es pot construir un model dels nombres hiperreals a partir de sucessions de nombres reals. Tècnicament, s'utilitza una ultrapotència per construir aquesta extensió. També es poden definir els nombres hiperreals basant-se en un model no estàndard dels nombres reals.

Motivació per introduir els nombres hiperreals[modifica | modifica el codi]

Els «infinitament petits» de l'anàlisi del segle XVII, que van ser explotats sistemàticament per Leibniz, Johann Bernoulli, Euler, i altres, havien suscitat violentes crítiques, bastant semblants a aquelles provocades per la introducció de « nombres imaginaris» de quadrat negatiu. Però contràriament a aquests últims, els problemes tècnics corresponents (tals com la negació de l'axioma d'arquimedianitat) no van poder ser resolts, la qual cosa va conduir a la desaparició progressiva dels infinitesimals i la seva substitució, deguda a Bolzano, a Cauchy i a Weierstrass, per les nocions de límit, de continuïtat, etc.

Tanmateix, encara es podia intentar d'adjuntar als reals nous objectes que permetin mantenir el rigor en els raonaments que utilitzen els infinitament petits, i diverses temptatives van ser fetes en aquest sentit (per exemple per Hadamard i du Bois-Reymond), però sense gran èxit, per raons que només la lògica matemàtica havia d'aclarir.

Des de 1930, els treballs de Skolem van mostrar que era possible una extensió dels reals que autoritzaven un verdader càlcul infinitesimal. D'altra banda en realitat n'existeix unes quantes d'aquestes extensions, però la tria exacta d'una d'elles no té grans conseqüències pràctiques (encara que no siguin totes isomorfes); es diuen en general «nombres hiperreals» qualsevol d'elles.

Un nombre hiperreal (no real) podrà representar així, per exemple, una quantitat «més gran que tot enter» (per tant "infinitament gran") o « més petita que l'invers de tot enter» (per tant infinitesimal), o també un hiperreal infinitament proper a 1, però estrictament més petit que 1.

Història[modifica | modifica el codi]

El 1948 Edwin Hewitt, en el marc dels seus treballs sobre els anells de funcions reals, definia objectes identificables a aquests nombres,[1] que Jerzy Łoś va demostrar el 1955 que tenen totes les propietats d'una extensió dels reals.

És al començament dels anys 1960 que Abraham Robinson, en el marc dels seus treballs sobre l'anàlisi no estàndard, havia de definir els nombres hiperreals i donar-los el seu nom actual, fent d'altra banda explícitament referència als treballs d'Hewitt.[2] Robinson unia les preocupacions de Leibniz (i dels altres analistes del segle XVII) intentant donar un sentit als nombres infinitament grans i infinitament petits, vistos com a nombres que tenen "gairebé" totes les propietats dels reals usuals (o estàndard).

La construcció de Robinson utilitzava essencialment la teoria dels models. Una construcció més explícita amb l'ajuda d'ultraproductes (i qui unia les construccions d'Hewitt) va ser descoberta alguns anys més tard, i és la que s'exposarà aquí. Llavors, un enfocament axiomàtic més general de l'anàlisi no estàndard, la teoria dels conjunts interns (Internal Set Theory, o IST), va ser proposada per Edward Nelson: es basa en l'axiomàtica de Zermelo-Fraenkel a la qual s'afegeixen tres axiomes nous; la descripció detallada d'aquests axiomes i de les seves conseqüències es donarà a l'article: anàlisi no estàndard. En aquesta últim enfocament (que té d'altra banda aplicacions molt més generals que la construcció d'infinitesimal), no es creen parlant pròpiament nous reals, sinó que es distingeix entre els reals una col·lecció (que no és pas un conjunt) de reals estàndard, els altres es comporten respecte d'aquests com infinitament petits o infinitament grans per exemple.

Explicació intuïtiva[modifica | modifica el codi]

Una forma d'entendre els nombres reals és pensar que un nombre real és la classe d'equivalència de totes les successions de Cauchy que tenen els mateix límit.

Així les successions:

  • x1 = 1, 1, 1, ....
  • x2= 1+1, 1+1/2, 1+1/4, 1+1/8 ...
  • x3= 1+2, 1+2/2, 1+2/4, 1+2/8 ...

Pertanyen totes a la mateixa classe (perquè tenen el mateix límit) i per tant totes es poden prendre com a representant del mateix nombre real: 1

Llavors en nombres reals l'operació:

  • (x3 - x1) / (x3 - x2)

No es pot calcular ja que dóna 0/0 que no està definit. En el fons el problema pel qual no es pot fer el càlcul directament amb els nombres reals és perquè "han perdut la memòria" de la successió que els defineix i cal reconstruir-la. Cal emprar límits.

Els nombres hiperreals es poden entendre com una extensió dels nombres reals on no s'identifiquen totes les successions de Cauchy amb el mateix límit sinó que es consideren diferents les que tendeixen amb diferent rapidesa al límit.

Així, si es diu

ε = 1, 1/2, 1/4, 1/8 ...

Els nombres hiperreals com ε que corresponen a successions que tendeixen a zero però que no són zero es diuen infinitesimals.

Llavors:

  • x1 = 1
  • x2= 1 + ε
  • x3= 1 + 2ε

Ara aquestes sucessions s'identifiquen amb diferents nombres hiperreals i ara sí que es pot fer el càlcul:

  • (x3 - x1) / (x3 - x2) = [(1 + 2ε) - 1] / [(1 + ε) - 1] = 2ε / ε = 2.

En el conjunt dels nombres hipereals s'admenten també nombres infinits (sucessions que tendeixen a infinit). Això permet què es puguin fer les operacions aritmètiques habituals en el conjunt dels nombres hipereals de forma que l'invers d'un nombre infinitesimal és un nombre infinit:

\frac{1}{\varepsilon }=K

Construcció[modifica | modifica el codi]

L'objectiu és de construir una extensió  ^*\mathbb R de  \mathbb R que contingui nombres infinitament grans i infinitament petits. Aquest cos extenssió haurà de continuar sent totalment ordenat i verificar que tot nombre x no infinitament gran s'escriu x*+ε amb x* un nombre real i ε un nombre infinitesimal.[3]

Aquesta construcció fa intervenir de forma natural les successions de nombres reals; així la sucessió (1/n) s'interpreta com un nombre infinitament petit i (n2) com un d'infinitament gran. Els nombres reals es representen per les successions constants. L'addició i la multiplicació de successions proveeixen bases adequades per obtenir una estructura de cos. Desgraciadament falla l'ordre total: no és clar si el nombre hiperreal definit per la suvcessió oscil·lant (1, -1, 1, -1...) és estrictament positiu o estrictament negatiu. S'observa dit això que donades dues successions de reals, els conjunts d'índex on un és superior a l'altre són complementaris. Escollir un ordre total sobre els nombres hiperreals és doncs equivalent a escollir una part de N en cada parella de parts (A; \mathbb{N}\setminus A). Aquesta última tria porta directament a la noció d'ultrafiltre sobre N, d'on es desprèn tota la construcció que segueix.[4]

La construcció dels hiperreals es fa a partir d'un ultrafiltre U sobre N que no conté cap part finita de N (es diu que és un ultrafiltre lliure). Desgraciadament no es pot presentar un tal ultrafiltre U, l'existència del qual descansa sobre el refinament del filtre de les parts cofinites de N pel lema de Zorn, i per tant en definitiva sobre l'axioma de l'elecció.

Es construeix el conjunt M de les successions de reals (z_n) el conjunt dels index de les quals és n on  z_n = 0 és un element de l'ultrafiltre. Es pot escriure de manera condensada  M = \{a \in \mathbb R^{\mathbb N}\|\ a^{-1}(\{0\}) \in U\} . Tal conjunt M és un ideal màxim de l'anell commutatiu de les successions de reals  \mathbb R^{\mathbb N} . Per tant l'anell quocient  \mathbb R^{\mathbb N} / M és un cos ordenat commutatiu que conté  \mathbb R .[5]

Aquest conjunt (proveït de les lleis induïdes pel quocient) és una extensió del cos  \mathbb R totalment ordenat. Conté per exemple l'infinitament petit (1,1/2,1/3...,1/n ,...) (o més precisament la classe d'equivalència d'aquesta successió). Es perd en canvi el teorema de la fita superior sobre els nombres hiperreals.

S'observa que el cardinal de  ^*\mathbb R és  2^{\aleph_0} i per tant aquest conjunt és equipotencial a  \mathbb R ; tanmateix, es pot demostrar que el conjunt exacte obtingut depèn de l'ultrafiltre escollit: no tots els sistemes de nombres hiperreals construïts així són isomorfs entre ells.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Un nombre hiperreal x s'anomena

  • infinitesimal, si|x| és estrictament inferior a tot real positiu
  • infinitament gran si 1/x és infinitesimal.
  • apreciable si no és ni infinitament petit, ni infinitament gran.

Per a tot x apreciable, existeix un real únic, la part estàndard (o l'ombra) de x (notat x*) tal que x-x* sigui infinitesimal; l'escriptura en x *+ε; de tot nombre hiperreal no infinitament gran prové d'una simple dicotomia (en R) autoritzada per l'ordre total sobre  ^*\mathbb R . En efecte un nombre hiperreal no infinitament gran està contingut en un segment amb fites reals; es talla de manera successiva aquest segment en 2 per emmarcar el nombre hiperreal cada vegada més precisament. Pel teorema dels segments encaixats, s'obté així el nombre real únic x*.

Un exemple d'utilització[modifica | modifica el codi]

Amb les definicions precedents, moltes nocions de l'anàlisi clàssic s'expressen de manera més simple: així, si \varepsilon és un infinitesimal no nul, la derivada de f en a és l'ombra de l'hiperreal \frac{f(a+\varepsilon)-f(a)}{\varepsilon}: tot passa com si ja no es necessités la noció de límit. Es trobaran altres exemples (i de les precisions sobre la validesa d'aquests raonaments) a l'article anàlisi no estàndard.

Notes i referències[modifica | modifica el codi]

  1. Edmin Hewitt, Rings of real-valued continuous functions
  2. Robinson ( No estàndar Analysis, 1966, pàg. 278) parla de la "theory of hyperreal fields (Hewitt [1948]) which... can serve as non-standard models of analysis". Vegeu també igualment Howard Jerome Keisler, The hyppereal line, en Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, ed. by P. Erlich, Kluwer Academic Publishers, pàg. 207-237, 1994.
  3. En realitat, s'exigeix també que totes les propietats de R es conservin, cosa que pot semblar absurda (R és en efecte el major cos ordenat arquimedià), però modificant lleugerament el sentit de propietats tals com la de la fita superior, la construcció que segueix permet assolir l'èxit, com ho ha mostrat Robinson
  4. Cal amb tot fixar-se que amb construccions molt més simples n'hi ha prou per obtenir extensions de R que posseeixin infinitesimals, per exemple el cos de les fraccions racionals R(X); però aquestes extensions no permeten un verdader anàlisi no estàndard; així, en R(X), no es disposa d'una funció exponencial...
  5. Balade en analyse non-standard sur les traces de Robinson