ZFC

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

ZFC és el conjunt d'axiomes canònic de la Teoria de conjunts. El seu nom es deu als matemàtics que la van desenvolupar: Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel i la C per la inclusió del axioma d'elecció (Choice en anglès). Existeixen altres conjunts d'axiomes de la Teoria de Conjunts com el NBG (von Newmann, Bernays, Gödel), el TG (Tarski, Grothendieck) i el MK (Morse, Kelley), però són extensions conservadora, no conservadora i pròpia, respectivament, de ZFC.

El conjunt d'axiomes[modifica | modifica el codi]

La teoria axiomàtica de conjunts es desenvolupa en el marc de la lògica de primer ordre, amb els seus símbols habituals de connectives ( \and, \or, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow) i de quantificadors (  \forall, \exist ), més el predicat d'igualtat (=) i una relació binària de pertinença (\in). Denotem amb majúscules els conjunts i amb minúscules els elements d'un conjunt (que, òbviament, poden ser altres conjunts). Existeixen diverses formalitzacions equivalents dels axiomes; seguim la proposada per Thomas Jech.[1]

1 Axioma d'Extensionalitat[modifica | modifica el codi]

Si X i Y tenen els mateixos elements, aleshores X=Y.

Formalment:

\forall u (u \in X \leftrightarrow u \in Y) \rightarrow X=Y

L'axioma expressa la idea bàsica que un conjunt està determinat pels seus elements.[2]

2 Axioma del Parell[modifica | modifica el codi]

Per a qualsevol a i b existeix un conjunt \{a,b\} que conté exactament a i b

Formalment:

\forall a \forall b \exist c \forall x (x \in c \leftrightarrow x=a \or x=b)

Per l'axioma d'extensionalitat, el conjunt c és únic. D'altra banda, com que \{ a,b \} = \{ b,a \} podem defnir també el parell ordenat: (a,b) que satisfà la condició (a,b)=(c,d) \leftrightarrow (a=c) \and (b=d).[3] De la mateixa forma es poden definir n-tuples triples, quadrúples, etc.

3 Axioma de Separació[modifica | modifica el codi]

Si P és una propietat (amb paràmetre p), aleshores per a tot X i p existeix un conjunt Y=\{u \in X:P(u,p)\} que conté tots els u \in X que tenen la propietat P

Formalment:

\forall X \forall p \exist Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow u \in X \and \phi (u,p))

Cal tenir en compte que per a cada fórmula \phi (u,p), la fórmula anterior és un axioma. Per això a vegades se l'anomena Axioma del esquema de Separació.

Una conseqüència directa del Axioma de Separació, és que la intersecció i la resta de dos conjunts és un altre conjunt i es poden definir les operacions: X \cap Y = \{ u \in X : u \in Y \} i X - Y = \{ u \in X : u \notin Y \}.

4 Axioma de la Unió[modifica | modifica el codi]

Per a tot X existeix un conjunt Y= \bigcup X, unió de tots els elements de X

Formalment

\forall X \exist Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow \exist z (z \in X \and u \in z))

Per extensionalitat el conjunt Y és únic.

5 Axioma del Conjunt Potència[modifica | modifica el codi]

Per a tot X existeix un conjunt Y=P(X), que és el conjunt format per tots els subconjunts de X

Formalment:

\forall X \exist Y \forall u (u \in Y \leftrightarrow u \subset X)

Un conjunt u és un subconjunt de X, (u \subset X) si \forall z(z \in u \rightarrow z \in X).

Quan u \in X i u \ne X diem que u és un subconjunt propi de X.

6 Axioma de Infinitud[modifica | modifica el codi]

Existeix un conjunt infinit.

Formalment:

\exist S (\empty \in S \and (\forall x \in S) x \cup \{ x \} \in S)

Aquest axioma evita un altre axioma, que seria bàsic, postulant l'existència de, com a mínim, un conjunt.

La combinació d'aquest axioma amb l'axioma del conjunt potència, implica l'existència d'infinits conjunts infinits diferents, ja que el conjunt potència del conjunt infinit és un altre conjunt infinit de cardinalitat estrictament superior. I així successivament.

7 Axioma de Reemplaçament[modifica | modifica el codi]

Si una classe F és una funció, aleshores per a tot X existeix un conjunt Y=F(X)=\{ F(x):x \in X \}

Formalment:

\forall x \forall y \forall z(\phi (x,y,p) \and \phi (x,z,p) \rightarrow y=z) \rightarrow \forall X \exist Y \forall y (y \in Y \leftrightarrow (\exist x \in X) \phi (x,y,p))

Com en el cas de l'axioma de separació, per a cada funció \phi, la fórmula anterior és un axioma, per això se l'anomena Axioma del Esquema de Reemplaçament.

8 Axioma de Regularitat[modifica | modifica el codi]

Tot conjunt no buit té un element ∈-minimal.

Formalment:

\forall S (S \ne \empty \rightarrow (\exist x \in S)S \cap x = \empty)

Com a conseqüència no existeix la seqüència infinita x_0 \ni x_1 \ni x_2 \ni .... En particular, no existeix cap conjunt tal que x \in x i no existeixen cicles: x_0 \in x_1 \in x_2 \in ... \in x_n \in x_0.

9 Axioma de Elecció[modifica | modifica el codi]

Article principal: Axioma de l'elecció

Tota família de conjunts no buits té una funció de elecció que permet seleccionar un element de cada conjunt.

Al contrari que els axiomes anteriors, aquest axioma postula l'existència d'un conjunt sense definir-lo:[4] si S és una família de conjunts i \empty \notin S, aleshores una funció de elecció per a S és una funció que satisfà: f(X) \in X.

Aquest axioma permet demostrar que tot conjunt pot ser ben ordenat i, aleshores, tot conjunt infinit té cardinalitat igual a algun \aleph_\alpha.

L'axioma va ser utilitzat per primer cop per Zermelo l'any 1904 per demostra el teorema del bon ordre i va crear una controvèrsia generalitzada sobre la seva validesa.[5]

Història[modifica | modifica el codi]

Tot i que es poden trobar antecedents en les obres de diferents matemàtics alemanys com Bolzano (el primer en utilitzar la paraula conjunt, menge en alemany), Riemann[6] o Dedekind,[7] la teoria de conjunts va ser pràcticament creació d'una sola persona, Georg Cantor, qui, a partir de 1879, la va anar desenvolupant en una sèrie d'articles i publicacions, especialment en els seus tractats de 1895 i 1897. Aquesta teoria va ser aviat objecte de crítiques perquè conduïa a contradiccions (paradoxes de Russell (1902), de Burali-Forti (1897) o de Banach-Tarski (1924). Aquestes contradiccions obligaven a axiomatitzar la teoria de forma suficientment precisa perquè no conduís a contradiccions (perquè fos consistent).

Per arribar a una axiomatització precisa va caldre, no obstant, esperar a les contribucions de Zermelo de 1904 (demostració del teorema del bon ordre) i, sobretot, de 1908.[8] Aquestes van ser posteriorment ampliades i sistematitzades per Fraenkel[9] i Skolem[10] en el que avui es coneix com teoria ZFC.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Jech, pàgina 3.
  2. Jech, pàgina 6.
  3. Jech, pàgina 7.
  4. Jech, pàgina 47.
  5. Herrlich, pàgina 5.
  6. Ferreirós, pàgina 39 i següents.
  7. Ferreirós, pàgina 81 i següents.
  8. Ferreirós, pàgina 317 i següents.
  9. Ferreirós, pàgina 366 i següents.
  10. Ferreirós, pàgina 357 i següents.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: ZFC Modifica l'enllaç a Wikidata
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. A history of set theory (en (anglès)). MacTutor History of Mathematics archive.