n-pla

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, si n és un nombre natural, aleshores una n-pla (de vegades n-tupla) és una seqüència o llista ordenada de n objectes, i aquests elements es diu que són les seves components. Si anomenem a1 la primera d'aquestes components, a2 la segona i així successivament fins an la n-èsima; es designa la n-pla corresponent amb la notació (a1,a2,...,an). De vegades s'usen altres delimitadors diferents als parèntesis, com els claudàtors [ ] o els claudàtors angulars ⟨ ⟩. Les claus { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels conjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtat entre dues n-ples (a1,a2,...,an) i (b1,b2,...,bn) quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

(a1,a2,...,an) = (b1,b2,...,bn) :⇔ a1=b1, a2=b2, ..., an=bn

Les n-ples són els elements del producte cartesià E1×E2×...×En dels n conjunts E1,E2,...,En. També es poden veure com la generalització a n components dels parells ordenats. Els noms tradicionals per a n-ples de n petita són singletó per la 1-pla, parell per la 2-pla, terna per la 3-pla, quaterna o quaternió per la 4-pla.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Les principals propietats que distingeixen les n-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els conjunts són:

  • Pot contenir un mateix element més d'una vegada, {a,b,b} = {a,b} però (a,b,b) ≠ (a,b).
  • L'ordre en el que apareix cada element té importància, {a,b} = {b,a} però (a,b) ≠ (b,a).
  • Té mida finita.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un conjunt ordenat, la segona d'un multiconjunt i la tercera d'una successió. En relació amb aquestes últimes, una n-pla també es pot veure com una aplicació des d'un subconjunt finit de , és a dir, la n-pla (a1,a2,...,an) es pot definir amb la funció

f : {1,2,...,n} → A
iai

Teoria de conjunts[modifica | modifica el codi]

Tot i que els conceptes de n-pla i de conjunt són diferents (vegeu-ho a l'apartat propietats), en teoria de conjunts es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la n-pla (a1,a2,...,an) amb el conjunt

{a1,{a1,{a2,{a2,{a3,{a3,{...,{an-1,{an-1,an}}···}}}}}}}.

O bé reduint-ho a parells:

(a1,a2,...,an) := (a1,(a2,(...,(an-1,an)···)))

i usant la definició formal conjuntista del parell ordenat:

(a1,a2) := {a1,{a1,a2}}.

Vectors[modifica | modifica el codi]

Les n-ples a elements d'un cos K (és a dir, els elements del producte cartesià n-èsim Kn=K×...×K) són l'exemple més usual de vectors. En concret, amb les operacions

(a1,a2,...,an) + (b1,b2,...,bn) := (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn) on + denota la suma del cos.
λ(a1,a2,...,an) := (λa1,λa2,...,λan) on λ és un element del cos i λai és la multiplicació del cos.

tindrem ben definit un espai vectorial de dimensió n sobre el cos en qüestió.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]