n-pla

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, si n és un nombre natural, aleshores una n-pla (de vegades n-tupla) és una seqüència o llista ordenada de n objectes, i aquests elements es diu que són les seves components. Si anomenem a1 la primera d'aquestes components, a2 la segona i així successivament fins an la n-èsima; es designa la n-pla corresponent amb la notació (a1,a2,...,an). De vegades s'usen altres delimitadors diferents als parèntesis, com els claudàtors [ ] o els claudàtors angulars ⟨ ⟩. Les claus { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels conjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtat entre dues n-ples (a_1, a_2,...,a_n) i (b_1, b_2,...,b_n) quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

(a_1, a_2,..., a_n) = (b_1, b_2,..., b_n) : \iff a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n

Les n-ples són els elements del producte cartesià E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n dels n conjunts E_1, E_2,..., E_n. També es poden veure com la generalització a n components dels parells ordenats. Els noms tradicionals per a n-ples de n petita són singletó per la 1-pla, parell per la 2-pla, terna per la 3-pla, quaterna o quaternió per la 4-pla.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Les principals propietats que distingeixen les n-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els conjunts són:

  • Pot contenir un mateix element més d'una vegada, \{a,b,b\}=\{a,b\} però (a,b,b)\ne(a,b).
  • L'ordre en el que apareix cada element té importància, \{a,b\}=\{b,a\} però (a,b)\ne(b,a).
  • Té mida finita.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un conjunt ordenat, la segona d'un multiconjunt i la tercera d'una successió. En relació amb aquestes últimes, una n-pla també es pot veure com una aplicació des d'un subconjunt finit de , és a dir, la n-pla (a_1, a_2,...,a_n) es pot definir amb la funció

f : \{1,2,...,n\} \rightarrow A
i \rightarrow a_i

Teoria de conjunts[modifica | modifica el codi]

Tot i que els conceptes de n-pla i de conjunt són diferents (vegeu-ho a l'apartat propietats), en teoria de conjunts es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la n-pla (a_1, a_2,...,a_n) amb el conjunt

\{a_1,\{a_1,\{a_2,\{a_2,\{a_3,\{a_3,\{\cdots,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_n\}\}\cdots\}\}\}\}\}\}\}.

O bé reduint-ho a parells:

(a_1, a_2,...,a_n) := (a_1,(a_2,(\cdots,(a_{n-1},a_n)\cdots))).

i usant la definició formal conjuntista del parell ordenat:

(a_1, a_2) := \{a_1,\{ a_1, a_2 \}\}.

Vectors[modifica | modifica el codi]

Les n-ples a elements d'un cos K (és a dir, els elements del producte cartesià n-èsim K^n = K \times\cdots \times K) són l'exemple més usual de vectors. En concret, amb les operacions

(a_1, a_2,...,a_n) + (b_1, b_2,...,b_n) := (a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) on + denota la suma del cos.
\lambda(a_1, a_2,...,a_n) := (\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots,\lambda a_n) on \lambda és un element del cos i \lambda a_i és la multiplicació del cos.

tindrem ben definit un espai vectorial de dimensió n sobre el cos en qüestió.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]