Subconjunt

Exemple gràfic, A⊆B.

Un subconjunt és un conjunt format per elements d'una altre conjunt. Es diu que el primer conjunt és subconjunt del segon conjunt. Una manera més formal d'expressar això seria: Siguin X i Y dos conjunts, es diu que X és subconjunt de Y' quan tot element de X és també element de Y.

Per exemple:

A={1,2,3} i B={1,2,3,4,7}. Podem dir que A és un subconjunt de B perquè tots els elements de A també pertanyen a B.

La relació entre un subconjunt i un conjunt s'anomena inclusió i es representa pel símbol ⊆ o en la posició inversa ⊇.

En l'exemple anterior, escriuríem A ⊆ B o B ⊇ A.

Seguint la definició, tot conjunt A és subconjunt d'ell mateix. Per això, es parla de subconjunts propis d'A per a referir-se als subconjunts d'A que no són ell mateix.

Diferents notacions

Actualment s'utilitzen fonamentalment tres sistemes diferents de notació pels subconjunts. El sistema clàssic utilitza "⊂" per a qualsevol subconjunt i "⊊" ($\subsetneq$) per als subconjunts propis. Per altra banda, el sistema modern vol equiparar els símbols als de les desigualtats i utilitza "⊆" per a qualsevol subconjunt i "⊂" per als subconjunts propis. Finalment, hi ha una tercera corrent de matemàtics que utilitzen "⊆" per a subconjunts qualsevol i "⊊" per als propis per eliminar qualsevol tipus d'ambigüitat, i que es la notació que segueix aquest article.

Nombre de subconjunts que pot tenir un conjunt finit

Un subconjunt pot tenir només una part dels elements de l'altre conjunt, tenir-los tots, o no tenir-ne cap (en aquest cas seria un conjunt buit). Per saber quants subconjunts podem tenir a partir d'un conjunt finit, s'utilitza l'expressió: 2ⁿ, on n és el nombre d'elements del conjunt.

Donat A={1,2,3,4}, tenim els subconjunts:

{1,2,3,4},

{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4},

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},

{1}, {2}, {3} {4},

∅

En total, 2⁴=16 subconjunts.

Donat un conjunt A, el conjunt que té per elements tots els subconjunts d' A s'anomena conjunt de les parts d'A i es representa per $\mathcal{P} (A)$.

Per exemple:

Si A={1,2}, llavors $\mathcal{P} (A) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$.

$\mathcal{P} (A)$ té, en efecte, $2^2=4$ elements.

Subconjunts disjunts

Dos subconjunts d'un mateix conjunt que no tenen cap element en comú s'anomenen subconjunts disjunts.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r} i C={p,o,i,u}, podem dir que B i C són dos subconjunts disjunts de A.

Conjunts complementaris

Quan la unió de dos subconjunts disjunts conté tots els elements del conjunt, es diu que són dos conjunts complementaris. De vegades, això s'expressa escrivint una "C" com a superíndex del conjunt.

Per exemple:

Si A={q,w,e,r,t,p,o,i,u,y}, B={q,w,e,r,t} i C={p,o,i,u,y}, llavors és clar que B i C són disjunts i que la seva unió és exactament A; per tant, podem dir que C és el complementari de B (respecte del conjunt A): C = A\B = B^C.

Propietats de la inclusió

La inclusió, és una relació binària que compleix les propietats de les relacions d'ordre, és a dir:

Propietat reflexiva

Tot conjunt s'inclou a si mateix.

A ⊆ A

Propietat antisimètrica

Donats dos conjunts A i B, només es pot donar que A inclogui B, i a la vegada B inclogui A quan els conjunts A i B són el mateix.

Si A ⊆ B i B ⊆ A, llavors és que A=B

Propietat transitiva

La propietat transitiva diu que si un conjunt s'inclou dins d'un altre conjunt, i aquest s'inclou dins d'un tercer, llavors el primer conjunt està inclòs dins del tercer conjunt.

Si A ⊆ B i B ⊆ C, llavors A ⊆ C