Quaternió

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que \mathbf{i^2} = -1), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que:

\mathbf{i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1}

Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació:


1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a:

\mathbf{|z| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}

La multiplicació de quaternions té les propietats associativa i distributiva però no la commutativa: el conjunt dels quaternions és doncs un cos no abelià.

Van ser ideats per Sir William Rowan Hamilton, el 16 d'octubre de 1843 (un dilluns) després de pensar bastant de temps en com era possible multiplicar "triplets", ternes o trios de nombres (de fet, és impossible). Va ser mentre, caminant amb la seva dona, anava a presidir una reunió a l'Acadèmia Reial Irlandesa; la idea li va venir de sobte i se'n va alegrar tant que va gravar la fórmula esmentada a un dels carreus d'un pont que hi havia al camí.