Nombre π

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, π és la constant d'Arquimedes, una constant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre.

P = d \cdot \pi

El símbol π es pronuncia [pi] i és la setzena lletra de l'alfabet grec.

π és un nombre irracional, és a dir, la seva part fraccionària té un nombre de xifres infinit i a més no té cap període. Per fer càlculs pràctics s'agafa un valor simplificat, com per exemple 3,14159265.

El nombre π, a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferència, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: la superfície del cercle, la superfície i el volum de l'esfera... i també en nombroses equacions de física.

Una circumferència de diàmetre 1 té perímetre π.

Història[modifica | modifica el codi]

Article principal: Història del nombre π

La història de π transcorre paral·lela al desenvolupament de les matemàtiques com un tot.[1] Alguns autors divideixen el seu desenvolupament en tres períodes:[2]

  • el període antic, durant el qual π es va estudiar des d'un punt de vista geomètric;
  • l'era clàssica, que neix amb el desenvolupament del càlcul infinitesimal a Europa al voltant del segle XVII;
  • l'era dels ordinadors digitals.

Període antic[modifica | modifica el codi]

Arquimedes, pintura de Domenico Fetti (1620)

Els geòmetres de l'antiguitat, d'Egipte, Babilònia, Índia i Grècia, ja coneixien el fet que la proporció entre el perímetre i el diàmetre és una constant per a totes les circumferències i que és lleugerament més gran que 3. Les aproximacions més antigues conegudes es remunten al 1900 aC; són 25/8 (Babilònia) i 256/81 (Antic Egipte), les dues amb un error de menys de l'1% del valor real.[3] El text indi Shatapatha Brahmana assigna a π el valor 339/108 ≈ 3.139. La Bíblia sembla que suggereixi, en el Primer Llibre dels Reis, que π = 3, d'altra banda una estimació clarament més dolenta que d'altres disponibles a l'època en que es va escriure, cap als 600 aC. La interpretació d'aquest passatge és controvertida.[4][5]

Arquimedes (287-212 aC) va ser el primer que va fer una estimació de π de forma rigorosa. Va adonar-se que la seva magnitud es pot afitar inferiorment i superiorment a base d'inscriure i circumscriure polígons regulars en una circumferència, i calculant els perímetres d'aquests polígons:[5]

Pi d'Arquimedes

Fent servir l'equivalent a polígons de 96 cares, va demostrar que 223/71 < π < 22/7.[5] Agafant la mitjana d'aquests valors s'obté 3.1419.



Més tard, al segle II aC, Ptolemeu va fer servir un 360-gon regular i va obtenir un valor de 3.141666...., que és correcte fins a la tercera xifra decimal.[6]

L'any 1116, el matemàtic català Savasorda, en el seu Llibre de geometria, va usar l'aproximació 377/120 que és la mateixa aproximació que havia obtingut Ptolomeu.[7]

Maimònides, al segle XII, afirmà que \pi només es pot conèixer de forma aproximada i que, per tant, el valor de 3 que li assigna la Bíblia era prou exacte per motius religiosos. Alguns han interpretat això com la primera afirmació que \pi és irracional.[8]

El 1299, Ramon Llull, al seu llibre De quadratura e triangulatura de cercle, afirmà que amb el compàs no es pot mesurar la circumferència. Deixà escrit:[9]

« Com siasso que mesures de linyes dretes e mesures de linyes circulars no sien de una mateixa raho e ab lo compas hom no pusca mesurar linyes circulars ab linyes dretes, per aço coue en l'anjma mesurar linyes dretes e circulars ab la ymaginacio matematicalmen rehebent los significats de linyes dretes e circulars sentides en sobiet vesible »
— Ramon Llull

Aquesta conjectura és equivalent a afirmar que \pi és irracional i, a més a més, és un nombre no construïble.

Era clàssica[modifica | modifica el codi]

Leibnitz retrat de von B. Chr. Francke 1700.

El següent avenç essencial en l'estudi de π arribà amb el desenvolupament del càlcul infinitesimal i, en particular, amb el descobriment de les sèries infinites que, en principi, permeten calcular π amb qualsevol precisió desitjada si s'afegeix una quantitat prou gran de termes. Al voltant del 1400, Madhava de Sangamagrama va trobar la primera d'aquestes sèries:

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\!

Avui en dia, aquesta sèrie es coneix com la sèrie de Madhava-Leibniz,[10][11] o la sèrie de Gregory-Leibniz, ja que va ser redescoberta al segle XVII per James Gregory i Gottfried Leibniz. Desgraciadament, a la pràctica la velocitat de convergència és massa lenta per poder calcular gaire xifres; cal sumar al voltant de 4.000 termes per millorar l'estimació d'Arquimedes. Però, transformant la sèrie en

\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!

Madhava fou capaç de calcular π com 3,14159265359, que és correcte en 11 xifres decimals. Aquest record el va batre el matemàtic persa Jamshīd al-Kāshī quan l'any 1424 va determinar 16 decimals de π.

La primera contribució important europea des d'Arquimedes la va fer el matemàtic alemany Ludolph van Ceulen (15401610), que va fer servir un mètode geomètric per calcular 35 decimals de π. Estava tan orgullós d'aquest càlcul, tasca a la que va dedicar la major part de la seva vida, que es va fer gravar les xifres a la seva tomba.[12]

Al voltant de la mateixa època, a Europa, van començar a sorgir els mètodes del càlcul infinitesimal, la determinació de sèries infinites i els productes de quantitats geomètriques. La primera representació d'aquesta mena va ser la fórmula de Viète,

\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!
Leonhard Euler, en un retrat d'Emanuel Handmann (1753)

que va trobar François Viète el 1593. Un altre resultat famós és el producte de Wallis,

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!

descobert per John Wallis el 1655. El mateix Isaac Newton va trobar una sèrie per calcular π i va calcular 15 xifres, tot i que més tard va confessar: "Estic avergonyit d'explicar-vos la quantitat de nombres que vaig haver de fer per aquests càlculs, sense tenir altra cosa a fer en aquell temps."[13]

Es diu que William Jones al llibre A New Introduction to Mathematics (1706) va ser el primer a fer servir la lletra grega π per representar aquesta constant, però aquesta notació es va popularitzar quan la va adoptar Leonhard Euler el 1737.[14] Va escriure:

« Hi ha altres formes diverses de trobar les longituds o les àrees de línies corbes particulars, o plans, que podrien facilitar molt la pràctica; com per exemple, en la circumferència, el diàmetre és en el perímetre 1 a (16/5 - 4/239) - 1/3(16/5^3 - 4/239^3) + ... = 3.14159... = π[3] »
— Leonhard Euler

Era informàtica[modifica | modifica el codi]

A principis del segle XX, el matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va trobar moltes fórmules per calcular π; algunes destaquen per la seva elegància i profunditat matemàtica.[15] Una de les seves fórmules és la sèrie,

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!

També cal destacar la sèrie relacionada formulada pels germans Chudnovsky el 1987,

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

sèrie que genera 14 xifres per a cada terme.[15] A finals dels 1980, els Chudnovsky van fer servir aquesta fórmula per establir uns quants rècords de càlcul de π, entre ells, el primer càlcul de més de mil milions de xifres decimals, exactament 1.011.196.691 xifres, que establiren el 1989. Continua sent la fórmula que es fa servir en els programaris per a calcular π en els ordinadors personals, però no la dels super ordinadors que s'usen per establir els rècords més actuals.

Mentre que les sèries normalment augmenten la precisió amb una quantitat fixa per a cada terme afegit, hi ha algorismes iteratius que a cada pas "multipliquen" el nombre de xifres correctes. L'any 1975 es va realitzar un progrés significatiu quan Richard Brent i Eugene Salamin, de manera independent l'un de l'altre, van descobrir l'algorisme de Brent-Salamin, que només fa servir aritmètica per doblar el nombre de xifres correctes a cada pas.[16] L'algorisme consisteix a establir

a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!

i iterar

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!
t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!

fins que an i bn estan prou a prop. Llavors l'estimació de π ve donada per

\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!

Fent servir aquest sistema, amb 25 iteracions n'hi ha prou per obtenir 45 milions de decimals correctes. Jonathan i Peter Borwein van trobar un algorisme similar que quadruplica l'exactitud a cada pas.[17]

Més recentment, un important contribució va ser la fórmula de Bailey–Borwein–Plouffe (fórmula BBP), descoberta per Simon Plouffe, anomenada així en honor als autors de l'article on per primer cop es va publicar la fórmula: Bailey, Borwein i Plouffe.[18]

La fórmula,

\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),

és singular perquè permet trobar qualsevol dígit individual hexadecimal o binari de π sense haver de calcular tots els precedents.[18] Entre el 1998 i el 2000, el projecte de computació distribuïda PiHex va fer servir una modificació de la fórmula BBP deguda a Fabrice Bellard (fórmula de Bellard) per calcular el bit de π en posició mil bilions (1015), que va resultar ser 0.[19][20] El setembre de 2010, un empleat de Yahoo! utilitzà l'aplicació Hadoop en mil ordinadors durant un període de 23 dies per calcular 256 bits de π al bit en posició dos mil bilions (2×1015).[21]

Definició[modifica | modifica el codi]

Perímetre = π × diàmetre

En geometria euclidiana, π es defineix com la proporció entre el perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre:[3]

\pi =\frac{\text{Perimetre}}{\text{Diametre}}

El fet que aquesta proporció sigui constant, independentment de la mida de la circumferència, és el que permet que π es pugui definir. Per exemple, si una circumferència té un diàmetre doble que un altre també té doble perímetre, per tant el quocient entre les dues magnituds és el mateix. Això és una conseqüència de les propietats de les figures semblants. Euclides estableix que en les figures semblants totes les distàncies entre els punts homòlegs guarden la mateixa proporció.[22]

Definició de \pi r^2 basant-se en l'àrea del quadrat del radi

Una forma alternativa de definir π és emprant la proporció entre l'àrea del cercle (A) i l'àrea del quadrat que té els costats de la mateixa longitud que el radi:[3][23]

 \pi = \frac{A}{r^2}.

Aquesta definició es basa en el fet que les àrees dels cercles són proporcionals als quadrats dels radis. Per exemple, en duplicar el radi l'àrea del seu quadrat es multiplica per 4, però també es multiplica per 4 l'àrea del cercle, de forma que el quocient es manté constant.[24]

Aquestes definicions depenen de la geometria; de fet, en les demostracions es fa servir el cinquè postulat d'Euclides. En geometria no euclidiana les proporcionalitats no es mantenen i el quocient entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre es modifica en variar el diàmetre.

Per aquest motiu els matemàtics sovint prefereixen definir π sense fer referència a qüestions geomètriques; en comptes d'això, per definir-lo es tria una de les seves propietats analítiques. Una elecció habitual per definir π és: el doble del valor positiu d'x per al qual la funció trigonomètrica és cos(x) = 0.[25] En aquest article es donen moltes altres fórmules per calcular π que també es poden fer servir com a definició.

Fórmules relacionades amb π[modifica | modifica el codi]

Geometria[modifica | modifica el codi]

El·lipse amb semieixos a i b.
  • Relacionades amb la circumferència i amb el cercle.
  • Relacionades amb l'el·lipse
    • Àrea de l'el·lipse amb semieixos a i b: A = π ab
  • Relacionades amb l'esfera.
    • Volum de l'esfera de radi r: V = (4/3) π r3
    • Àrea de superfície d'una esfera de radi r: A = 4 π r2
  • Relacionades amb el cilindre.
    • El volum del cilindre d'altura h i radi de la base r és V = \pi r 2 h
    • L'àrea de la superfície del cilindre d'altura h i radi de la base r és A = 2 \pi r 2 + 2 \pi r h
  • Relacionades amb el conus.
    • Volum del conus de radi de la base r i altura h. V = (1/3) \pir 2 h
    • Àrea de la superfície del conus de radi de la base r i altura h. A = \pi r (r + √ (h 2 + r 2) )

Anàlisi[modifica | modifica el codi]

 \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (Fórmula de Leibniz)
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (producte de Wallis)
 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} (integral de Gauss)
 \Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Fórmula de Stirling)
 e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identitat d'Euler[26])

La representació de π en fracció contínua no presenta cap patró evident:[27]


\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
o

\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}

En canvi hi ha fraccions contínues generalitzades de π amb una estructura perfectament regular, com ara:[28]


\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}=
3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}=
\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
Càlcul de π pel mètode de Montecarlo

Teoria de nombres[modifica | modifica el codi]

La probabilitat que dos nombres triats aleatòriament siguin coprimers és de 6/π2.
La probabilitat que un enter triat aleatòriament no tingui cap factor primer elevat a una potència superior a 1 (sigui lliure de quadrats) és de 6/π2.
Hi ha una manera empírica de trobar el valor de π: dibuixeu un quadrat de costat 1 a la paret. Tireu un dard dins el quadrat tantes vegades com pugueu sense apuntar enlloc més que a dins del quadrat. Dibuixeu un cercle de diàmetre 'l' inscrit en el quadrat. Compteu 'nc' el nombre de vegades que el dard ha anat dins la circumferència, i 'nq' nombre de vegades que el dard ha anat dins del quadrat però fora de la circumferència. Per probabilitat i relacionant l'àrea dels dos polígons es pot deduir que π ≅ 4*nc/(nc+nq), i que és més exacte –o sigui, apareixen més decimals–, com més vegades haguem tirat el dard. Aquesta prova també es pot fer sobre paper quadriculat comptant les interseccions com a punts on ha anat el dard.
En altres paraules: π/4 és la probabilitat que la suma dels quadrats de dos nombres aleatoris iguals o majors que 0, i menors o iguals a la unitat, sia menor o igual que 1.

Aproximacions de pi[modifica | modifica el codi]

Aproximacions històriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: Història del nombre π

A la següent taula es presenten algunes aproximacions històriques de valors de π:

Any Matemàtic o document Cultura Aproximació Error

(en parts per milió)

~1900 aC Papir de Rhind Egípcia 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 aC Tauleta de Susa Babilònica 25/8 = 3,125 5282 ppm
~600 aC La Bíblia (Reis I, 7,23) Jueva 3 45070 ppm
~500 aC Bandhayana Índia 3,09 16422 ppm
~250 aC Arquimedes de Siracusa Grega entre 3 10/71 y 3 1/7

usà 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~150 Claudi Ptolemeu Grecoegipcíaca 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui Xina 3,14159 0,84 ppm
263 Wang Fan Xina 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong Xina 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi Xina entre 3,1415926 y 3,1415929
usà 355/113 ~ 3,1415929
<0,078 ppm
0,085 ppm
~500 Aryabhata Índia 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta Índia 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 Al-Khwarizmi Índia 3,1416 2,34 ppm
1116 Savasorda Catalana 377/120 = 3,141666.. 23,56 ppm
1220 Fibonacci Italiana 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava Índia 3,14159265359 0,085 ppm
1424 Al-Kashi Persa 2π = 6,2831853071795865 0,1 ppm
1585 Metius Holandesa 355/113 = 3,1415929203.. 0,085 ppm
1719 Thomas Fantet de Lagny Francesa 120 decimals exactes 0,000 ppm

Aproximacions emprant ordinadors[modifica | modifica el codi]

Any Descobridor Ordenador emprat Nombre de xifres decimals
1949 G.W. Reitwiesner i altres[29] ENIAC 2.037
1954 NORAC 3.092
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967 CDC 6600 500.000
1973 Guillord i Bouyer[29] CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi i Kanada[29] FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud 2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada i Tamura[29] HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo i altres NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada i Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Germans Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Germans Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Germans Chudnovsky 2.260.000.000
1994 Germans Chudnovsky 4.044.000.000
1995 Kanada i Takahashi HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada i Takahashi Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada i Takahashi Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada i Takahashi Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada i altres[29] [1] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000
2004 Hitachi 1.351.100.000.000
2011 Yee i Kondo [2] Intel 10.000.000.000.000

Primeres mil xifres del nombre pi[modifica | modifica el codi]

Aquestes són les primeres mil xifres del nombre pi:[30]

3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Propietats[modifica | modifica el codi]

Irracionalitat[modifica | modifica el codi]

El 1761 Johann Heinrich Lambert va demostrar que π és irracional.[3] Això vol dir que és un nombre real que no es pot expressar com a quocient de dos nombres enters. Al segle XX es van trobar demostracions que no necessiten coneixements que vagin mès enllà del càlcul integral. Una d'aquestes demostracions, la deguda a Ivan Niven, és amplament coneguda.[31][32] Una demostració similar lleugerament anterior la va obtenir Mary Cartwright.[33]

Transcendència[modifica | modifica el codi]

A més, π també és un nombre transcendent, tal com ho va demostrar Ferdinand von Lindemann el 1882. Això vol dir que no hi ha cap polinomi amb coeficients racionals tal que π sigui una de les seves arrels.[34] Una conseqüència important del fet que π sigui transcendent és que no és construïble. Com que les coordenades de tots els punts que es poden construir amb regle i compàs són nombres constructibles, és impossible de quadrar el cercle: és a dir, és impossible, fent servir només compàs i regle, construir un quadrat tal que la seva àrea sigui igual que l'àrea d'un cercle donat.[35] Històricament, això és significatiu, donat que la quadratura del cercle és un dels problemes fàcils d'entendre de geometria elemental que van quedar pendents de resoldre de l'antiguitat.

Qüestions obertes[modifica | modifica el codi]

La qüestió oberta més estudiada sobre π és si és o no un nombre normal—si qualsevol successió de xifres de l'expressió de π es dóna amb la freqüència que s'esperaria d'una successió completament "aleatòria", i si això és cert en qualsevol base, no només en base 10.[36] El que se sap actualment d'aquest tema és molt feble; és a dir ni tan sols no se sap si algun dels dígits 0,…,9 apareix infinites vegades en l'expressió decimal de π.[37]

Bailey i Crandall van demostrar l'any 2000 que l'existència de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (Fórmula que permet calcular directament qualsevol xifra de l'expressió decimal de pi sense haver de calcular primer les xifres anteriors) implica que la normalitat en base 2 de π i d'unes quantes constants més es pot reduir a una conjectura plausible de la teoria del caos.[38]

Tampoc se sap si π i e són algebraicament independents, tot i que Yuri Nesterenko va demostrar la independència algebraica de {π, eπ, Γ(1/4)} el 1996.[39]

Aplicacions en matemàtiques i física[modifica | modifica el codi]

π apareix a tot arreu en matemàtiques, fins i tot en llocs on no hi ha cap connexió òbvia amb les circumferències de la geometria euclidiana.[40]

Geometria i trigonometria[modifica | modifica el codi]

Per a qualsevol circumferència amb radi r i diàmetre d = 2r, el perímetre és πd i l'àrea és πr2. A més, π apareix en fórmules d'àrees i volums de moltes altres formes geomètriques basades en circumferències, com el·lipses, esferes Cons, i torus.[41] En conseqüència, π apareix en les integrals definides que calculen el perímetre, l'àrea o el volum de formes generades per circumferències. En el cas més elemental, la meitat de l'àrea del cercle de radi unitat ve donat per:[42]

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}

i

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi

dóna la meitat del perímetre de la circumferència de radi unitat.[41] Formes geomètriques més complicades es poden integrar com sòlids de revolució.[43]

A partir de la definició de les funcions trigonomètriques basada en la circumferència goniomètrica resulta que el sinus i el cosinus tenen el període 2π (si l'angle s'expressa en radians). És a dir, per a tot x real i tot n enter, sin(x) = sin(x + 2πn) i cos(x) = cos(x + 2πn). Com que sin(0) = 0, sin(2πn) = 0 per a tot n enter. També, la mesura de l'angle de 180° és igual a π radians. En altres paraules, 1° = (π/180) radians.

Nombres complexos i càlcul infinitesimal[modifica | modifica el codi]

Fórmula d'Euler

L'aparició freqüent de π en l'anàlisi complexa es pot relacionar amb el comportament de la funció exponencial de variable complexa, que descriu la fórmula d'Euler

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!

on i és la unitat imaginària que satisfà i2 = −1 i e ≈ 2.71828 és el nombre d'Euler. Aquesta fórmula implica que les potències imaginàries d'e descriuen rotacions en la circumferència goniomètrica en el pla complex; aquestes rotacions tenen un període de 360° = 2π. En particular, la rotació de 180° φ = π ocasiona la notable identitat d'Euler

e^{i \pi} = -1.\!

Hi ha n arrels de la unitat n-èssimes diferents

e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).

La Integral de Gauß

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.

Una conseqüència és que la funció gamma de la meitat d'un enter és un múltiple racional de √π.

Física[modifica | modifica el codi]

Encara que no una constant física, π apareix freqüentment en equacions que descriuen principis fonamentals de l'Univers, degut en gran part a la seva relació amb la circumferència, i en conseqüència amb els sistemes de coordenades esfèriques. Fent servir unitats com ara les Unitats de Planck a vegades poden eliminar de π fórmules.

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,
\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)}

Probabilitat i estadística[modifica | modifica el codi]

En probabilitat i estadística, hi ha moltes distribucions de probabilitat les fórmules de les quals contenen π, per exemple:

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

Fixeu-vos que com que \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 per totes les funcions densitat de probabilitat f(x), les fórmules anteriors es poden fer servir per obtenir altres fórmules integrals on intervé π.[51]

El problema de les agulles de Buffon s'esmenta de vegades com a aproximació empírica de π. Es tracta de deixar caure una agulla de llargada L repetidament sobre una superfície que conté línies paral·leles dibuixades separades entre elles una distància S (amb S > L). Si l'agulla es deixa caure n vegades i x d'aquestes vegades cau creuant una línia (x > 0), llavors es pot aproximar π fent servir el mètode de Monte Carlo:[52][53][54][55]

\pi \approx \frac{2nL}{xS}.

Encara que aquest resultat és matemàticament impecable, no es pot fer servir per determinar més que molt pocs dígits de π experimentalment. Obtenir de manera fiable només tres dígits (incloent-hi l'inicial "3") exigeix milions de tirades,[52] i el nombre de llançaments augmenta exponencialment amb el nombre de dígits desitjats. A més, qualsevol error en la mesura de les llargades L i S es transferirà directament a un error en l'aproximació de π. Per exemple, una diferència d'un únic àtom en la llargada d'una agulla de 10 centímetres apareixeria al voltant del 9è dígit del resultat. En la pràctica, les incerteses de determinar si l'agulla creua o no una línia quan sembla tocar-la exactament, limitaran la precisió realitzable a molt menys de 9 dígits.

Referències culturals i curiositats[modifica | modifica el codi]

Mosaic que representa π a l'entrada de l'edifici de matemàtiques de la Universitat Tècnica de Berlín.
  • El valor 3,2 pel nombre π va estar a punt de ser imposat per llei a l'estat d'Indiana. Es va tramitar el projecte de llei 246 de 1897 a instàncies del matemàtic aficionat Edward J. Goodwin que reivindicava haver trobat el mètode de la quadratura del cercle. El projecte de llei va obtenir l'informe favorable del comitè d'educació. L'aprovació es va posposar a causa de la intervenció del professor de matemàtiques C. A. Waldo que accidentalment estava de visita. Actualment la tramitació de la llei encara no s'ha completat i continua pendent d'aprovació.[56]
  • A Argentina, el nombre telefònic mòbil per emergències en estacions de trens i soterranis és el nombre Pi: 3,1416.[57]
  • Hi ha un vehicle Mazda 3 modificat, al que se li van afegir 27 xifres de π, després del 3.[58]
  • Els anomenats piemes són poemes compostos de forma que el nombre de lletres de les successives paraules coincideixin amb les xifres del nombre pi, per exemple el següent poema: Ell i ella, l'única esperança de tindre fills que tenen, romandrà soterrada aquesta primavera. Fixeu-vos que la primera paraula té 3 lletres, la segona 1 i així successivament s'obtenen les xifres: 3,14159265358979 La Cadaeic Cadenza és un llibre que conté les primeres 3834 xifres de π d'aquesta forma.[59]
  • Desde molt abans que els ordinadors permetessin calcular gran quantitat de xifres de π, memoritzar una quantitat rècord d'aquestes xifres esdevingué una obsessió per algunes persones. El 2006, Akira Haraguchi, un enginyer japonès retirat, va reivindicar haver recitat 100,000 xifres decimals.[60] Però això no ha estat verificat encara pel llibre Guinness dels rècords. El record reconegut pel Guinness de memorització de xifres de π és 67,890 xifres, i el té Lu Chao, un estudiant xinès graduat de 24 anys.[61] Va trigar 24 hores i 4 minuts per recitar fins al 67,890è decimal de π sense cap error.[62]
  • Darrerament s'han fet simfonies basades en diferents constants matemàtiques, assignant a cada nombre decimal una determinada nota.[63]
  • Si π és un nombre normal, és natural trobar en els decimals de π qualsevol seqüència de nombres, encara que de vegades alguna sigui sorprenent.[64] assenyala per exemple que la suma dels 20 primers decimals de π dóna 100 i que la suma dels 144 primers decimals dóna 666 però precisa que no cal veure-hi cap missatge amagat. Altres autors tanmateix són menys prudents. Així Robert Gold, aficionat a la geometria, afirma haver trobat, amb l'ajuda de càlculs complicats, que les paraules claus de la Bíblia estan a π.[65]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Beckmann, Petr. St. Martin's Griffin. A History of π, 1976. ISBN 0-312-38185-9. 
  2. «Archimedes' constant π». [Consulta: 04-11-2007].
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 «About Pi». Ask Dr. Math FAQ. [Consulta: 2007-10-29].
  4. Aleff, H. Peter. «Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi». recoveredscience.com. [Consulta: 30-10-2007].
  5. 5,0 5,1 5,2 O'Connor, J.J; E.F. Robertson. «A history of Pi», 08-2001. [Consulta: 30-10-2007].
  6. Smith, D.E. Ginn and Company. The Teaching of Geometry, 1911, p. 279. 
  7. Llibre de Geometria Savasorda, pàgina XV.
  8. Knorr, Wilbur Richard. The Ancient Tradition of Geometric Problems. Nova York: Dover Publications, 1993. 
  9. "Ramon Llull al s. XXI", Actes de les Jornades Internacionals Lul·lianes, Palma, 1, 2 i 3 d'abril de 2004, Col·lecció Blaquerna, Edicions Universitat Barcelona, 2005 ISBN 84-7632-943-1, 9788476329436, pàg. 113
  10. Ranjan, Roy; Andrews, George E.; Askey, Richard. Special Functions. Cambridge University Press, 1999, p. 58. ISBN 0521789885. 
  11. Gupta, R.C. «On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series». Ganita Bharati, 14, 1-4, 1992, pàg. 68–71.
  12. Hutton, Charles. Rivington. Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms..., 1811, pàg. 13. 
  13. "Even Mathematicians Can Get Carried Away" a The New York Times
  14. «About: William Jones». Famous Welsh. [Consulta: 27-10-2007].
  15. 15,0 15,1 «The constant π: Ramanujan type formulas». [Consulta: 2007-11-04].
  16. Brent, Richard. «Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation». Analytic Computational Complexity [Nova York, Academic Press (Traub, J.F)], 1975, pàg. 151–176 [Consulta: 8 setembre 2007].
  17. Borwein, Jonathan M; Borwein, Peter; Berggren, Lennart. Springer. Pi: A Source Book, 2004. ISBN 0387205713. 
  18. 18,0 18,1 Bailey,, David H. «On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants» (PDF). Mathematics of Computation, 66, 218, Abril 1997, pàg. 903–913. DOI: 10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
  19. Arndt & Haenel 2006, p. 20
  20. Bellard, Fabrice. «A new formula to compute the nth binary digit of pi». Arxivat de l'original el 12 setembre 2007.
  21. Palmer, Jason. «Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit». BBC News, 16 setembre 2010.
  22. Vegeu Proposició 20 del llibre VI dels elements d'Euclides.
  23. Richmond, Bettina. «Area of a Circle». Western Kentucky University, 12-01-1999. [Consulta: 04-11-2007].
  24. Proposició 2 del "Llibre XII" dels Elements d'Euclides
  25. Rudin, Walter. McGraw-Hill. Principles of Mathematical Analysis. 3a ed., 1976, p. 183. ISBN 0-07-054235-X. 
  26. També anomenada "La fórmula més important del món"
  27. Fraccions contínues de Pi, Enciclopèdia en línia de successions de nombres enters
  28. "Pi continued fraction representations (13 formulas)". Una representació de π en fraccions contínues a WolframResearch
  29. 29,0 29,1 29,2 29,3 29,4 Bailey David H. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation, 2003. Disponible a aquest enllaç. Consultat el 22-04-2008.
  30. Primers 1.250.000 dígits del nombre π
  31. Niven, Ivan. «A simple proof that π is irrational» (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society, 53, 6, 1947, pàg. 509. DOI: 10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 [Consulta: 4 novembre 2007].
  32. Richter, Helmut. «Pi Is Irrational». Leibniz Rechenzentrum, 1999-07-28. [Consulta: 04-11-2007].
  33. Jeffreys, Harold. Cambridge University Press. Scientific Inference. 3a ed., 1973. 
  34. Mayer, Steve. «The Transcendence of π». [Consulta: 04-11-2007].
  35. «Squaring the Circle». cut-the-knot. [Consulta: 04-11-2007].
  36. Weisstein, Eric, W. «Normal Number». MathWorld, 22-12-2005. [Consulta: 10-11-2007].
  37. Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory, 23-07-2001 [Consulta: 10 novembre 2007]. 
  38. Peterson, Ivars. «Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits». Science News Online, 01-09-2001 [Consulta: 10 novembre 2007].
  39. Nesterenko, Yuri V. «Modular Functions and Transcendence Problems». Comptes rendus de l'Académie des sciences, 322, núm. 10, Série 1, 1996, pàg. 909–914.
  40. BBC News. «Japanese breaks pi memory record», 02-07-2005. [Consulta: 30-10-2007].
  41. 41,0 41,1 «Area and Circumference of a Circle by Archimedes». Pennsylvania State University. [Consulta: 08-11-2007].
  42. Weisstein, Eric W. «Unit Disk Integral». MathWorld, 28-01-2006. [Consulta: 08-11-2007].
  43. Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution». MathWorld, 04-05-2006. [Consulta: 08-11-2007].
  44. Miller, Cole. «The Cosmological Constant» (PDF). University of Maryland, College Park. [Consulta: 08-11-2007].
  45. Imamura, James M. «Heisenberg Uncertainty Principle». University of Oregon, 17-08-2005. [Consulta: 09-11-2007].
  46. Einstein, Albert. «The Foundation of the General Theory of Relativity» (PDF). Annalen der Physik, 1916 [Consulta: 9 novembre 2007].
  47. Nave, C. Rod. «Coulomb's Constant». HyperPhysics. Georgia State University, 28-06-2005. [Consulta: 09-11-2007].
  48. National Institute of Standards and Technology (NIST). «Magnetic constant», 2006. [Consulta: 09-11-2007]. «Committee on Data for Science and Technology (CODATA) recommended values»
  49. Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral». MathWorld, 07-10-2004. [Consulta: 08-11-2007].
  50. Weisstein, Eric W. «Cauchy Distribution». MathWorld, 11-10-2005. [Consulta: 08-11-2007].
  51. Weisstein, Eric, W. «Probability Function». MathWorld, 02-07-2003. [Consulta: 08-11-2007].
  52. 52,0 52,1 Weisstein, Eric, W. «Buffon's Needle Problem». MathWorld, 12-12-2005. [Consulta: 10-11-2007].
  53. Bogomolny, Alex. «Math Surprises: An Example». cut-the-knot, 08-2001. [Consulta: 2007-10-28].
  54. Ramaley, J.F. «Buffon's Noodle Problem». The American Mathematical mesly, 76, 8, d'octubre de 1969, pàg. 916–918. DOI: 10.2307/2317945.
  55. «The Monte Carlo algorithm/method». datastructures, 09-01-2007. [Consulta: 2007-11-07].
  56. Hallerberg, Arthur E. «Indiana's squared circle». Mathematics Magazine, 50, 1977, pàg. 136-140. «dóna una bona explicació del projecte de llei.»
  57. «Se lanzó un nuevo plan de seguridad para el subte, que prevé al menos un policía por estación]». Clarín, 26 de setembre de 2006.
  58. "Mazda Pi" en Gaussianos.com. Consultat: 23 d'abril de 2008
  59. Keith, Mike. «Cadaeic Cadenza: Solution & Commentary», 1996. Arxivat de l'original el 1998-12-05. [Consulta: 30-10-2007].
  60. Otake, Tomoko. «How can anyone remember 100,000 numbers?». The Japan Times, 17-12-2006 [Consulta: 27 octubre 2007].
  61. «Pi World Ranking List». [Consulta: 27-10-2007].
  62. «Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi». News Guangdong, 28-11-2006 [Consulta: 27 octubre 2007].
  63. Pisymphony (en anglès) pàgina on es troben simfonies basades en el nombre \pi i e.
  64. Delahaye, Jean-Paul. cite-sciences.fr. Le nombre pi est-il simple ou compliqué (en francès). 
  65. Gold, Robert. Dieu et le nombre pi. Éditions O. Bène Kénane. ISBN 9652227277. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Jean-Paul Delahaye. Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - (ISBN 2-9029-1825-9) (en francès)
  • Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon. Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, París, 1999 - (ISBN 2705614435) (en francès)
  • Jörg Arndt & Christoph Haenel. À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9) (en francès)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre π