Unitats de Planck

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les unitats de Planck són un sistema d'unitats que va ser proposat per físic alemany Max Planck el 1899. Es tracta d'un sistema d'unitats naturals atès que es basa en unes poques constants físiques fonamentals normalitzades a 1.

La teoria estàndard, en ús, reconeguda per la majoria dels físics admet quatre constants:

A les anteriors s'hi pot afegir la permitivitat en el buit ε0.

Cadascuna d'aquestes constants pot ser associada almenys a una de les teories físiques fonamentals: c amb la relativitat especial, G amb la relativitat general i la gravitació Newtoniana, \hbar amb la mecànica quàntica, ε0 amb l'electrostàtica i k amb la mecànica estadística i amb la termodinàmica. Les unitats de Planck tenen una rellevància especial per als físics teòrics atès que simplifiquen les expressions algebraiques de les lleis físiques. Són especialment rellevants en la recerca de les teories unificadores com la de la gravetat quàntica.

Unitats de Planck bàsiques[modifica | modifica el codi]

Tots els sistemes d'unitats tenen unes unitats bàsiques, en el SI en són set i, per exemple, la unitat base de longitud és el metre. En el sistema d'unitats de Planck hi ha cinc unitats de base que deriven de les cinc constants físiques esmentades. Com tots els sistemes d'unitats naturals, les unitats de Planck són una instància de l'anàlisi dimensional.

Admeses la constant gravitacional G, la constant de Planck ħ, la velocitat de la llum c, i la constant de Boltzmann kb. Les unitats de longitud (longitud de Planck lp), de temps (temps de Planck tp), de massa (massa de Planck mp) i de temperatura (temperatura de Planck θp) poden ser expressades en termes de les constants universals com:


Nom Magnitud Expressió Equivalent al SI amb incertesa[1] Altres equivalències
Longitud de Planck Longitud (L) l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} 1,616 252(81) × 10−35 m
Massa de Planck Massa (M) m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} 2,176 44(11) × 10−8 kg 1,220 862(61)× 1019 GeV/c2
Temps de Planck Temps (T) t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c} = \frac{\hbar}{m_\text{P}c^2} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} 5,391 24(27) × 10−44 s
Càrrega de Planck Càrrega elèctrica (Q) q_\text{P} = m_\text{P} 2 \pi \sqrt{G \varepsilon_0} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \varepsilon_0} 1,875 545 870(47) × 10−18 C 11,706 237 6398(40) e
Temperatura de Planck Temperatura (Θ) T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}} 1,416 785(71) × 1032 K

Com el mateix Planck establí: "aquestes quantitats mantenen el seu significat natural tal com les lleis de la gravitació, de la propagació de la llum en el buit i la primera i la segona lleis de la termodinàmica, resten vàlides. Conseqüentment han de mantenir-se sempre iguals, encara que siguin amidades per les més diferents intel·ligències inclús amb els més diferents mètodes".

Unitats de Planck derivades[modifica | modifica el codi]

A qualsevol sistema de mesura les unitats de moltes magnituds físiques poden ser derivades a partir de les unitats de base. A la taula següent hi ha alguns exemples d'unitats de Planck derivades, algunes rarament utilitzades. A l'igual que les unitats de base, la seva utilització se centra gairebé en exclusiva dins del camp de la física teòrica atès que la majoria són o massa grans o massa petites per a una utilització pràctica o empírica a més del fet que presenten grans incerteses al seus valors.

Nom Dimensions Expressió Equivalent aproximat al SI
Àrea de Planck Àrea (L2)  l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3} 2,61223 × 10–70 m2
Volum de Planck Volum (L3)  l_P^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} 4,22419 × 10–105 m3
Moment de Planck Moment (LMT–1) m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} 6,52485 kg m/s
Energia de Planck Energia (L2MT–2) E_P = m_P c^2 = \frac{\hbar}{t_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} 1,9561 × 109 J
Força de Planck Força (LMT–2) F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{\hbar}{l_P t_P} = \frac{c^4}{G} 1,21027 × 1044 N
Potència de Planck Potència (L2MT–3) P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{\hbar}{t_P^2} = \frac{c^5}{G} 3,62831 × 1052 W
Densitat de Planck Densitat (L–3M) \rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{\hbar t_P}{l_P^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} 5,15500 × 1096 kg/m3
Freqüència angular de Planck Freqüència (T–1) \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} 1,85487 × 1043 s−1
Pressió de Planck Pressió (LM–1T–2) p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{\hbar}{l_P^3 t_P} =\frac{c^7}{\hbar G^2} 4,63309 × 10113 Pa
Corrent de Planck Corrent elèctric (QT–1) I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \varepsilon_0}{G}} 3,4789 × 1025 A
Voltatge de Planck Voltatge (L²MT–2Q–1) V_P = \frac{E_P}{q_P} = \frac{\hbar}{t_P q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0} } 1,04295 × 1027 V
Impedància de Planck Resistència (L2MT–1Q–2) Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{\hbar}{q_P^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} 29,9792458 Ω

Simplificació de les equacions fonamentals de la física[modifica | modifica el codi]

Les diferents magnituds físiques tenen unes dimensions diferents que no poden ser igualades numèricament, un segon no és el mateix que un metre. Però en física teòrica aquests detalls poden ser deixats de banda per tal de simplificar els càlculs. El procés que aconsegueix això s'anomena adimensionalització, a la taula següent es mostra la utilització de les constants fonamentals per tal d'adimensionalitzar algunes equacions físiques.

Forma habitual Forma adimensionalitzada
Llei de la gravitació universal de Newton  F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}  F = - \frac{m_1 m_2}{r^2}
Equació de Schrödinger 
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t)
 = 
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t)
 =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)
Energia d'un fotó o d'una partícula de pulsació ω { E = \hbar \omega } \ { E = \omega } \
L'equació massa-energia de la relativitat especial d'Einstein { E = m c^2} \ { E = m } \
L'equació de camp d'Einstein de la relativitat general { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \
Definició de la temperatura per l'energia d'una partícula per grau de llibertat { E = \frac{1}{2} k T } \ { E = \frac{1}{2} T } \
Llei de Coulomb  F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}  F = \frac{q_1 q_2}{r^2}
Equacions de Maxwell \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0}\rho

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]