Volum

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per la intensitat d'un so, vegeu sonoritat. Pel concepte de termodinàmica, vegeu volum (termodinàmica). Per altres usos, vegeu volum (desambiguació).
Una gerra com la de la imatge es pot utilitzar per mesurar volums de líquids

El volum és la porció o quantitat d'espai tridimensional tancat dins una frontera. Per exemple, el volum és l'espai o forma que una substància (sòlid, líquid, gas o plasma) ocupa o conté.[1] El volum se sol quantificar numèricament utilitzant la unitat derivada del SI, el metre cúbic.

Les formes matemàtiques col·locades en l'espai donen lloc a volums. Els volums formats per figures simples –com ara formes regulars, circulars o d'arestes rectes– es poden calcular fàcilment fent servir fórmules matemàtiques. D'altra banda, les formes més complicades es troben mitjançant el càlcul integral si existeix una fórmula per la frontera. Les figures d'una dimensió (com la línia) i les formes de dues dimensions (com els quadrats) tenen un volum zero en l'espai tridimensional.

El volum d'un sòlid (ja sigui de forma regular o irregular) es pot determinar a partir del desplaçament de fluid. El desplaçament de líquid també es pot utilitzar per determinar el volum d'un gas. El volum combinat de dues substàncies és generalment més elevat que el volum d'una de les substàncies. De totes maneres, de vegades una substància es dissol dins l'altra, per la qual cosa el volum, en aquest cas, no és additiu.

En geometria diferencial, el volum s'expressa en termes de forma volum, i és una invariant riemanniana global important. D'altra banda, en termodinàmica, el volum és un paràmetre fonamental, i és la variable conjugada de la pressió.

Unitats[modifica | modifica el codi]

Qualsevol unitat de longitud té la seva corresponent unitat de volum, normalment el volum del cub l'aresta del qual té la longitud donada. Per exemple, un centímetre cúbic (cm³) és el volum del cub les arestes del qual mesuren 1 cm de longitud.

En el Sistema Internacional d'Unitats (SI), la unitat estàndard de volum és el metre cúbic (m³). El sistema mètric també inclou el litre (L) com a unitat de volum; un litre és el volum d'un cub d'aresta deu centímetres (un decímetre cúbic). Per tant:

1 litre = (10 cm)³ = 1000 centímetres cúbics = 0.001 metres cúbics,

llavors

1 metre cúbic = 1.000 litres

Les quantitats petites de líquid se solen mesurar en mil·lilitres, on

1 mil·lilitre = 0,001 litres = 1 centímetre cúbic

Algunes altres unitats tradicionals de volum en altres sistemes que encara són vigents en alguns països són les següents: polzada cúbica, peu cúbic, milla cúbica, culleradeta, cullerada, unça líquida, gill, pinta, quart, galó, minim, barril, corda, peck, bushel i hogshead.

Fórmules per calcular volums[modifica | modifica el codi]

Cos Fórmula del volum Variables
Cub a^3\; a = longitud de qualsevol aresta
Cilindre \pi r^2 h\; r = radi de la cara circular, h = alçada
Prisma B \cdot h B = àrea de la base, h = alçada
Prisma rectangular l \cdot w \cdot h l = longitud, w = amplada, h = alçada
Esfera \frac{4}{3} \pi r^3 r = radi de l'esfera
que és la integral de l'àrea superficial de l'esfera
El·lipsoide \frac{4}{3} \pi abc a, b, c = semieixos de l'el·lipsoide
Piràmide \frac{1}{3}Bh B = àrea de la base, h = alçada de la piràmide
Con \frac{1}{3} \pi r^2 h r = radi del cercle de la base, h = distància de la base al vèrtex (alçada)
Tetraedre[2] {\sqrt{2}\over12}a^3 \, a = longitud de l'aresta
Paral·lelepípede 
a b c  \sqrt{K}



\begin{align}
 K =& 1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
 & - \cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)
\end{align}

a, b i c són les longituds de les arestes, i α, β i γ els angles interns entre elles
Nota: si es tenen els vectors directors no coplanars de les tres arestes (\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3), el volum es pot calcular a partir del producte mixt dels tres vectors: V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|.
Qualsevol figura generada per arrossegament
(cal càlcul integral)
\int_a^b A(h) \,\mathrm{d}h h = qualsevol dimensió de la figura,
A(h) = àrea de les seccions transversals perpendiculars a h descrites com una funció al llarg d'h. a i b són els límits d'integració per l'arrossegament volumètric.
(Això funcionarà per qualsevol figura si la seva àrea transversal es pot determinar a partir d'h).
Qualsevol figura generada per rotació
(cal càlcul integral)
\pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x R_O i R_I són les funcions que expressen els radis extern i intern de la funció, respectivament.
Ampolla de Klein 0\; No té volum (no té interior)

Volum dels sòlids platònics[modifica | modifica el codi]

Els sòlids platònics comprenen els cinc únics poliedres regulars. Si l'aresta del poliedre és a, el seu volum ve donat per la taula a continuació:

Poliedre Volum Imatge Poliedre Volum Imatge
Tetraedre V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3
Tetràedre
Dodecaedre regular V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3
Dodecàedre regular
Cub V = a^3\,
Cub
Icosaedre V = \frac 56\varphi^2a^3 on \varphi és el nombre d'or
Icosàedre
Octaedre V = \frac{1}{3}\sqrt{2}a^3
Octàedre

Proporció entre els volums d'un con, esfera i cilindre del mateix radi i alçada[modifica | modifica el codi]

Un con, esfera i cilindre de radi r i alçada h

Les fórmules anteriors es poden utilitzar per demostrar que els volums d'un con, esfera i cilindre del mateix radi i alçada segueixen la proporció 1 : 2 : 3. La demostració és la següent: sigui el radi r i l'alçada h (que per l'esfera és 2r). El volum del con és:

\tfrac{1}{3} \pi r^2 h = \tfrac{1}{3} \pi r^2 (2r) = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 1

El volum de l'esfera és:

\tfrac{4}{3} \pi r^3 = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 2

El volum del cilindre és:

\pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = (\tfrac{2}{3} \pi r^3) \times 3

La descoberta de la proporció 2 : 3 entre els volums de l'esfera i el cilindre s'atribueix a Arquimedes.[3]

Càlcul del volum per integrals[modifica | modifica el codi]

Vegeu també: Integral múltiple és una part limitada de \R^2, el volum del cilindre que té per generatriu la frontera de \mathcal D, delimitat pel pla z=0 i la superfície d'equació z=f(x,y) –amb f positiva i contínua sobre \mathcal D– és:
V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

En el cas que el domini \mathcal D està definit per les condicions simples x_1<x<x_2, y_1(x)<y(x)<y_2(x), el càlcul es redueix a:

V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

Si \mathcal A és una part limitada de \R^3 i la funció constant 1 és integrable sobre \mathcal A, el volum de \mathcal A és llavors:

V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

En el cas que el domini \mathcal A està definit per les condicions simples x_1(z,y) <x(z,y)<x_2(z,y), y_1(z)<y(z)<y_2(z) i z_1<z<z_2, aquest càlcul queda reduït a:

V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Per la linealitat de la integració, un domini difícil de definit es pot partir en diversos subdominis expressables per condicions simples.

Coordenades no cartesianes[modifica | modifica el codi]

Si el domini \mathcal A s'expressa millor en coordenades cilíndriques per les condicions simples \mathcal A', el càlcul queda:

V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz on \mathcal A' és una part limitada de \R_+\times [0,2\pi] \times \R

Si el domini \mathcal A s'expressa millor en coordenades esfèriques per les condicions simples \mathcal A'', el càlcul queda:

V = \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi on \mathcal A'' és una part limitada de \R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi]

Sòlid de rotació[modifica | modifica el codi]

En el cas que el domini \mathcal A és un sòlid de revolució la frontera del qual està engendrada per la rotació d'una corba d'equació y = f(x) al voltant de l'eix (Ox), el càlcul del volum es redueix a una integral simple

V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x

Teorema de la divergència[modifica | modifica el codi]

El teorema de la divergència permet reduir el càlcul del volum a una integral de superfície:

V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S

On \part\mathcal A és la frontera de \mathcal A i \vec n el vector unitari normal a \mathrm dS dirigit cap a l'exterior de \mathcal A.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «Your Dictionary entry for "volume"» (en anglès).
  2. Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (Methuen and Co., 1948). Table I(i).
  3. Rorres, Chris. «Tomb of Archimedes: Sources» (en anglès). Courant Institute of Mathematical Sciences.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Volum Modifica l'enllaç a Wikidata