Equació

De Viquipèdia

Una equació és una igualtat entre expressions matemàtiques que només és certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment incògnites. La primera incògnita s'anomena X, seguint la tradició d'Omar Khayyam i se segueix atribuint lletres com Y, Z a les subseqüents.

Els valors que poden prendre les incògnites s'anomenen solucions de l'equació i solucionar una equació vol dir trobar aquests valors. Per exemple

$x^2 - 5x + 6 = 0 \$

és una equació d'una sola incògnita, la x. Com es pot comprovar fàcilment, qualsevol valor de x no compleix l'equació, només dos valors, x = 2 i x = 3, que són les seves solucions. Un altre exemple pot ser:

$\cos{x} = 1 \$

que també és una equació (no algebraica) d'una variable. En aquest cas la solució és x = 0, x = 2π, etc.

Habitualment s'utilitzen les primeres lletres de l'alfabet llatí a, b, c, etc. per a denotar constants en les equacions, mentre que es reserven les lletres del final de l'alfabet, x, y, z, etc. per indicar les incògnites.

A les dues expressions que igualem se les anomena termes de l'equació. En la majoria de casos una equació tindrà només dos termes.

En el cas en què es tinguin diverses equacions que s'han de verificar simultàniament, es parla de sistemes d'equacions. Segons la potència màxima a que està elevada la incògnita de l'equació es parla d'equacions de primer grau, equacions de segon grau, etc.

El concepte d'equació és molt més general i es pot aplicar també a funcions, no simplement a nombres. En aquest cas el problema es trobar una funció o família de funcions que verifiquin determinades condicions. Per exemple, es pot imposar la condició que una funció sigui igual a la seva derivada:

$\frac{df(x)}{dx} = f(x)$

Això és una equació diferencial i la seva solució és $f(\mathbf{x}) = e^\mathbf{x}$

Taula de continguts

1 Resolució d'equacions

[edita] Resolució d'equacions

[edita] Aïllar la incògnita

El mètode més bàsic per resoldre equacions s'anomena aïllar la incògnita. Consisteix en anar fent operacions a tots dos membres (sempre la mateixa operació a ambdós) de manera que es conservi la igualtat, fins que un dels membres sigui una x.

Exemple 1. Equació lineal:

	$2x + 4x = 6 \,$	sumem els termes en x →
	$6x = 6 \,$	dividim els dos membres per 6 →
	$\frac{6x}{6} = \frac{6}{6}$	fem la divisió 6/6 →

Exemple 2: S'anomenen equacions incompletes les equacions de segon grau en les quals falta el terme en x (b=0) o el terme idependent (c=0)

Si falta el terme en x (b=0), l'equació de segon grau ens quedarà d'aquesta forma:

	$ax^2 + c = 0\,$	Per a resoldre l'equació només haurem d'aillar x² i fer la seva arrel quadrada; per tant: →
	$x = \sqrt[2]\frac{-c}{a}\,$

Si falta el terme en independent(c=0) , l'equació de segon grau ens quedarà d'aquesta forma:

	$ax^2 + bx = 0\,$	Es divideix a costat i costat per $x 2$
	$a + \frac{b}{x} = 0 \,$
	$\frac{b}{x} = -a \,$
	$\frac{1}{x} = \frac{-a}{b} \,$
	$x = \frac{-b}{a} \,$
	$x = 0\,$	Òbviament hi ha dos punts de resolució de l'equació.

Exemple 3. Equació de tercer grau sense termes en x² ni x:

	$x^3-2=25 \$	afegim 2 a ambdós membres →
	$x^3-2+2=25+2 \$	fem la suma →
	$x^3=27 \$	traiem l'arrel cúbic als dos membres per eliminar la potència 3 →
	$\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{27} \$	calculem l'arrel →

[edita] Sistemes d'equacions

Article principal: Sistema lineal d'equacions

Els sistemes d'equacions apareixen quan volem trobar més d'una incògnita. Ens faran falta tantes equacions com incògnites tinguem.

Per exemple:

x=1+y

2x=y

és un sistema d'equacions que té com a solució x=-1 i y=-2

Existeixen tres mètodes bàsics. Tot i això, alguns sistemes poden tenir altres mètodes específics.

Igualació

Consisteix en aïllar la mateixa incògnita a totes les equacions, i després igualar-les entre elles. El procés es repeteix fins que aconseguim una sola equació d'una incògnita.

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

$\begin{cases} x=1+y \\ x=y/2 \end{cases}$

$1+y=y/2 \$

$2+2y=y \$

$2=-y \$

Una vegada s'ha trobat un valor, se substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins tenir el valor de totes les incògnites.

$2x=-2 \$

Substitució

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

$x=1+y \$

$2(1+y)=y \$

$2+2y=y \$

$2=-y \$

Una vegada s'ha trobat un valor, se substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins tenir el valor de totes les incògnites.

$2x=-2 \$

Reducció

Per a solucionar un sistema d'equacions amb aquest mètode cal fer que una de les incògnites tingui el mateix coeficient en totes les equacions. Després, es resten membre a membre per a eliminar una de les incògnites. Un cop trobada aquesta incògnita, se'n substitueix el valor en totes les altres equacions primitives per tal d'obtenir la segona incògnita, i així successivament.

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

Es multiplica la primera equació per 2:

$\begin{cases} 2x=2+2y \\ 2x=y \end{cases}$

Es resten les dues equacions:

$0=2+y \$

i per tant

$y=-2 \$

Ara només cal substituir el valor de y en qualsevol de les dues equacions per a obtenir la x.

[edita] Expressió general de l'equació de segon grau

Article principal: Equació de segon grau

L'equació polinòmica de segon grau és tan comú que s'ha trobat una expressió general per resoldre-la.

Donada una equació de segon grau qualsevol,

$ax^2+bx+c=0 \$

Les dues solucions de l'equació venen donades per la següent expressió general:

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

El terme $b^2-4ac \$ s'anomena discriminant.

[edita] Equacions biquadrades

Són aquelles equacions polinòmiques de quart grau que no tenen termes de grau senar, i que tenen quatre solucions:

$ax^4 + bx^2 + c = 0 \$

Només cal realitzar la igualtat

$x^2 = z \$

i tractar-la com una equació de segon grau qualsevol.

Per exemple:

$2x^4 + 3x^2 - 189 = 0 \$

Fem que

$z = x^2 \$

i així

$2z^2 + 3z - 189 = 0 \$

Resolent l'equació de segon grau:

$z_1 = 9 \$

$z_2 = -10,5 \$

Finalment, hem de trobar els dos valors de x per a cadascun dels dos valors de z:

$x_1 = +\sqrt{z_1} = +\sqrt{9} = +3 \$

$x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{9} = -3 \$

$x_3 = +\sqrt{z_2} = +\sqrt{-10,5} = +\sqrt{10,5} \cdot\mathbf{i} \$

$x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{-10,5} = -\sqrt{10,5} \cdot\mathbf{i} \$

[edita] Equacions amb x en el denominador

Els denomindors algebraics, igual que els numèrics, se suprimeixen multiplicant pel producte de tots o , millor, pel seu mínim comú múltiple.L'equació a la qual s' arriba així pot ser de les que sabem resoldre.

[edita] Equacions irracionals

Són aquelles que contenen polinomis o fraccions algèbriques sota d'un signe radical.

Per a resoldre-les cal transformar-les per eliminar l'arrel elevant els dos membres de l'equació a n (índex de l'arrel). En aquest procés de transformació es conserven totes les solucions però se'n poden introduir de noves que caldrà rebutjar comprovant les solucions.

Per exemple, $\sqrt{2x-3}+ \sqrt{x+7}=4$ és una equació irracional d'índex quadràtic amb una sola incògnita. El procediment de resolució és el següent: