Dimensió d'un espai vectorial

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la dimensió d'un espai vectorial E és el cardinal (és a dir el nombre de vectors) de tota base d'E (és a dir tot conjunt de vectors tal que qualsevol vector de l'espai es pot expressar com la suma dels vectors de la base multiplicats cada un per una constant diferent) . De vegades s'anomena la dimensió d'Hamel o la dimensió algebraica per distingir-la d'altres tipus de dimensió.

Totes les bases d'un espai vectorial, tenen el mateix cardinal (veure teorema de la dimensió per als espais vectorials) i per tant la dimensió d'un espai vectorial queda definida de manera unívoca. La dimensió d'un espai vectorial E sobre un cos K es pot escriure com dimK(E) ou dimE. (i es llegeix «dimensió d'E sobre K».) Alguns noten aquesta dimensió [E:K].

Es diu que E és de dimensió finita si el cardinal de la base és finit (és a dir si té un nombre finit d'elements).

Taula de continguts

[edita] Exemples

  • L'espai vectorial \mathbb{R}^3 admet \left((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\right) com a base per tant {\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^3)=3. De forma més general, {\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n)=n. I encara més general, {\rm dim}_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}^n)=n.
  • El conjunt dels nombres complexos es pot considerar al mateix temps com un espai vectorial sobre \mathbb R i com un espai vectorial sobre \mathbb C; es té {\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2 i {\rm dim}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1. Per tant la dimensió depèn del cos base.
  • L'únic espai vectorial de dimensió 0 és {0}, espai vectorial format per un únic vector, el seu element neutre per l'adició.
  • L'espai vectorial de les matrius amb n files i p columnes amb coeficients en un cos \mathbb{K}, és de dimenssió n\cdot p. La família (Eij) costituida per les matrius que tenen un 1 a la ièssima fila i la jàssima columna i zeros a tot arreu més és una base d'aquest espai vectorial.
  • L'espai vectorial dels polinomis amb coeficients en un cos \mathbb{K} de grau inferior o igual a n és un espai vectorial de dimenssió n + 1.

[edita] Propietats

Si F és un subespai vectorial de E, llavors {\rm dim}(F)\leq {\rm dim}(E).

Per demostrar que dos espais vectorials de dimensió finita són iguals, s'utilitza sovint el teorema següent:

Si E és un espai vectorial de dimensió finita i F un subespai vectorial de E tals que dimF = dimE, llavors E = F.

Dos espais vectorials sobre \mathbb{K} de dimensió finita, són isomorfs si i només si tenen la mateixa dimensió.

Tota aplicació bijectiva entre les seves bases pot ser perllongada de manera única en un isomorfisme entre els dos espais vectorials.

Si A és un conjunt. , és pot construir un espai vectorial de dimensió el cardial de A sobre \mathbb{K} de la següent manera: es considera el conjunt \mathbb{K}^{(A)} de totes les funcions f:A\rightarrow \mathbb{K} telles que f(a) = 0 tals que f(a) = 0 per a un nombre finit d'elements a de A. Aquestes funcions poden ser sumades i multiplicades per un escalar de \mathbb{K}, i així s'obté l'espai vectorial sobre \mathbb{K} que es buscaba.

En el cas de dimensió infinita, la demostració també s'aplica si existeixen bases amb el mateix cardinal. Per contra, la continuïtat esdevé un criteri important i res no pot garantir que l'isomorfisme serà continu.

Un resultat important sobre la dimensió en relació amb les aplicacions lineals és el teorema del rang.

Si L / K és una extensió d'un cos, llavors L és un espai vectorial particular sobre K.

A demés, tot l'espai vectorial Eés també un espai vectorial sobre K. Les dimensions estan relacionades per la fórmula:

{\rm dim}_K(E)={\rm dim}_K(L)\cdot {\rm dim}_L(E).

En particular, tot espai vectorial complex de dimenssió n és un espai vectorial real de dimensió 2n.

Certes fórmules senzilles donen la dimensió d'un espai vectorial fent servir el cardinal del cos de base i el cardinal de l'espai vectorial mateix. Si E és un espai vectorial sobre un cos K llavors, notant dimE la dimensió de E, es té:

si dimE és finita, llavors | E | = | K | dimE.

si dimE és infinita, llavors | E | = max(dimE, | K | ).

[edita] Generalització

També es pot veure un espai vectorial com un cas particular d'un Matroid, i per a aquest hi ha una noció ben definida de dimensió.

La longitud d'un mòdul i el rang d'un grup abelià tenen tots dos diversos propietats similars a la dimensió dels espais vectorials.

[edita] Vegeu també

Obtingut de «http://ca.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3_d%27un_espai_vectorial»