Matriu (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una matriu és una taula rectangular de nombres o, més generalment, d'elements d'una estructura algebraica de forma d'anell. En aquest article, els valors per les matrius són reals o complexos a menys que es digui el contrari.

Les matrius són útils per registrar dades que depenen en dues categories i per mantenir control sobre els coeficients dels sistemes d'equacions lineals i transformacions lineals.

Pel desenvolupament i les aplicacions de les matrius, vegeu teoria de matrius.


Història[modifica | modifica el codi]

L'estudi de les matrius és molt antic. Els quadres llatins i els quadres màgics han estat estudiats des de temps prehistòrics.

Un quadrat màgic, de 3 per 3, es registra en la literatura xinesa cap a l'any 650 aC.[1]

És llarga la història de l'ús de les matrius per resoldre equacions lineals. Un important text matemàtic xinès que prové de l'any 300 aC al 200 aC, Els nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) (Jiu Zhang Suan Shu), és el primer exemple conegut d'ús del mètode de matrius per resoldre un sistema d'equacions simultànies.[2] En el capítol setè, "Ni molt ni poc", el concepte de determinant va aparèixer per primera vegada, dos mil anys abans de la seva publicació pel matemàtic japonès Seki Kowa el 1683 i pel matemàtic alemany Gottfried Leibniz el 1693.

Els "quadrats màgics" també eren coneguts pels matemàtics àrabs, possiblement des de començaments del segle VII, que al seu torn van poder prendre'ls dels matemàtics i astrònoms de l'Índia, juntament amb altres aspectes de la matemàtica combinatòria. Tot això suggereix que la idea va provenir de Xina. Els primers "quadrats màgics" d'ordre 5 i 6 van aparèixer a Bagdad al 983, a laEnciclopèdia de la Germandat de Puresa(Rasa'il Ihkwan al-Safa ).[1]

Les matrius tenen una llarga història d'aplicació en la solució d'equacions lineals. En Gottfried Leibniz, un dels dos fundadors del càlcul, va desenvolupar la seva teoria dels determinants el 1693. En Gabriel Cramer va desenvolupar encara més la teoria, presentant la regla de Cramer el 1750. En Carl Friedrich Gauss i en Wilhelm Jordan van desenvolupar l'eliminació de Gauss-Jordan durant la primera dècada del segle XIX.

El terme "matriu" va ser encunyat el 1848 per J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassman, Ferdinand Georg Frobenius i John von Neumann són alguns dels matemàtics famosos que han treballat en teoria de matrius.

Olga Taussky Todd (1906-1995) va començar a usar la teoria de matrius mentre investigava un fenomen aerodinàmic de súper-oscil·lació, durant la Segona Guerra Mundial.

Definicions i notacions[modifica | modifica el codi]

Les línies horitzontals en una matriu s'anomenen files i les línies verticals reben el nom de columnes. Una matriu amb m files i n columnes s'anomena una matriu de m-per-n (o una matriu m×n) i m i n són les seves dimensions. Si m=n, és a dir, si la matriu té dimensions n×n, direm que la matriu és quadrada d'ordre n.

El valor d'una matriu A que es troba en la i-ena fila i en la j-ena columna s'anomena el valor i,j o el (i,j)-è valor d'A. Això s'escriu Ai,j o A[i,j].

Hom escriu sovint A:=(a_{i,j})_{m \times n} per definir una matriu A de m×n dimensions amb cada valor a la matriu A[i,j] anomenat a_{i,j}\! per tots els 1≤im i 1≤jn.

Exemple[modifica | modifica el codi]

La matriu A

A:=(a_{i,j})=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 1 & 5 \end{pmatrix}

és una matriu de 4×3 elements. L'element A[2,3] o a2,3 és igual a 7.

Les matrius tenen una altra notació, utilitzant claudàtors (notació normalment utilitzada a Amèrica del nord). Per exemple:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 1 & 5 \end{bmatrix}

Suma, resta i producte de matrius[modifica | modifica el codi]

Suma[modifica | modifica el codi]

Article principal: Suma de matrius

Si tenim dues matrius m-per-n A i B, es defineix la seva suma A + B com la matriu m-per-n computada per mitjà de l'addició d'elements corresponents, per exemple, (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Per exemple


 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 2 \\
 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 2
 \end{pmatrix}
+
 \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 5 \\
 7 & 5 & 0 \\
 2 & 1 & 1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1+0 & 3+0 & 2+5 \\
 1+7 & 0+5 & 0+0 \\
 1+2 & 2+1 & 2+1
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 1 & 3 & 7 \\
 8 & 5 & 0 \\
 3 & 3 & 3
 \end{pmatrix}

Una altra noció, molt menys usada, de la suma de matrius és la suma directa.

Diferència[modifica | modifica el codi]

Article principal: Resta de matrius

Multiplicació escalar[modifica | modifica el codi]

Si es dóna una matriu A i un nombre c, hom pot definir la multiplicació escalar o multiplicació per escalars cA fent (cA)[i, j] = cA[i, j]. O sigui, la multiplicació d'una matriu per un escalar (un nombre) és la matriu resultant de multiplicar els seus components per aquest escalar. Per exemple:

2
 \begin{pmatrix}
 1 & 8 & -3 \\
 4 & -2 & 5
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 2 & 16 & -6 \\
 8 & -4 & 10
 \end{pmatrix}

La suma de matrius i el producte per escalars converteixen el conjunt M (m, n, R) de totes les matrius m-per-n amb valors reals en un espai vectorial real de dimensió mn.

Això és cert també en general per qualsevol cos: el conjunt M (m, n, K), on K és un cos amb la suma de matrius i el producte per un escalar de K és un espai vectorial de dimensió mn sobre K (per exemple, les matrius complexes formen un espai vectorial complex).

Multiplicació[modifica | modifica el codi]

Article principal: Multiplicació de matrius
Els resultats en les posicions marcades depenen de les files i columnes dels seus respectius colors.

La multiplicació o producte de dues matrius només està ben definida si el nombre de columnes de la primera matriu és el mateix que el nombre de files de la segona. Si A és una matriu m-per-n (m files, n columnes) i B és una matriu n-per-p (n files, m columnes), aleshores el producte AB és la matriu m-per-p(m files, p columnes), donat per

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] per cada parella i i j.

O sigui, l'element i,j de la matriu producte serà la suma de les multiplicacions de cada element de la fila i de la primera pel corresponent element de la columna j de la segona. Per exemple:


 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 2 \\
 -1 & 3 & 1 \\
 \end{pmatrix}
\times
 \begin{pmatrix}
 3 & 1 \\
 2 & 1 \\
 1 & 0
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\
 (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\
 \end{pmatrix}
=
 \begin{pmatrix}
 5 & 1 \\
 4 & 2 \\
 \end{pmatrix}

Aquesta multiplicació té les propietats següents:

  • (AB)C = A(BC) per totes les matrius A k-per-m, matrius B m-per-n i matrius C n-per-p ("qualitat associativa").
  • (A+B)C = AC + BC per totes les matrius A i B m-per-n i matrius C n-per-k (qualitat distributiva).
  • C(A + B) = CA + CB per totes les matrius A i B m-per-n i les matrius C k-per-m (qualitat distributiva).

És important remarcar que la Propietat commutativa no s'aplica generalment; per tant, donant unes matrius A i B i el seu producte definit, aleshores és quasi sempre AB ≠ BA.

Transformacions lineals, rang i transposició[modifica | modifica el codi]

Les matrius poden representar convenientment les transformacions lineals perquè la multiplicació de matrius correspon netament a la composició d'aplicacions lineals, com es descriurà després. Aquesta propietat fa que siguin molt utilitzades en computació.

Aquí i en la continuació hom identifica Rn amb el conjunt de files o matrius n-per-1.

Per cada aplicació lineal f : RnRm hi ha una matriu única m-per-n tal que f(x) = Ax per totes les x en Rn.

Diem que la matriu A representa l'aplicació lineal f. Ara, si la matriu B k-per-m representa una altra aplicació lineal g : RmRk, aleshores l'aplicació lineal g o f és representada per BA. D'això prové la ja mencionada qualitat associativa de la multiplicació de matrius.

El rang d'una matriu A és la dimensió de la imatge de l'aplicació lineal representada per A: això és el mateix que la dimensió de l'espai generat per les files d'A, i també el mateix que la dimensió de l'espai generat per les columnes d'A.

La transposada d'una matriu A m-per-n és la matriu A tr n-per-m (també escrita a vegades AT o tA), extreta convertint les files en columnes i les columnes en files, o sigui Atr[i, j] = A[j, i] per tots els índexs i i j. Si A descriu una aplicació lineal respecte a dues bases, aleshores la matriu A tr descriu la transposada de l'aplicació lineal respecte a les bases duals, vegeu espai dual.

Tenim (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr * Atr.

Matrius quadrades i definicions[modifica | modifica el codi]

Una matriu quadrada és una matriu que té el mateix nombre de files que de columnes. El conjunt de totes les matrius quadrades n-per-n, junt amb la suma de matrius i el producte de matrius és un anell. A menys que n = 1, aquest anell no té la propietat commutativa.

M(n, R), l'anell de matrius quadrades reals, és una àlgebra associativa real unitària. M(n, C), l'anell de matrius quadrades complexes, és una àlgebra associativa complexa unitària.

La matriu unitària o matriu d'identitat In, amb elements a la diagonal principal disposats en 1 i tots els altres elements disposats a 0, satisfà MIn=M i InN=N per qualsevol matriu M m-per-n o matriu N n-per-k. Per exemple, si n = 3:


 I_3 =
 \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}

La matriu d'identitat és l'element d'identitat en l'anell de matrius quadrades.

Els elements invertibles en aquest anell s'anomenen matrius invertibles o matrius regulars (o matrius no singulars). Una matriu A n-per-n és invertible si i només si existeix una matriu B tal que

AB = In i BA = In.

En aquest cas, B és la matriu inversa d'A, denotada per A−1. El conjunt de totes les matrius invertibles n-per-n forma un grup (específicament un grup de Lie) sota la multiplicació de matrius, el grup lineal general.

Si λ és un nombre i v és un vector no-zero tal que Av = λv, aleshores hom anomena v un vector propi (eigenvector en anglès) d'a i λ el valor propi (eigenvalue en anglès) associat. (Eigen significa "propi" en alemany). El nombre λ és un valor propi d'A si i només si A−λIn no és invertible, que passa si i només si pA(λ) = 0. Aquí pA(x) és el polinomi característic d'A. Aquest és un polinomi de grau n i per tant té n arrels complexes (comptant les arrels múltiples segons la seva multiplicitat). En aquest sentit, cada matriu quadrada té n valors propis complexos.

El determinant d'una matriu quadrada A és el producte dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat), però també es pot definir per mitjà de la fórmula de Leibniz. Les matrius invertibles són precisament aquelles amb un determinant no-zero, o sigui amb valors propis tots no-zero.

L'algorisme d'eliminació de Gauss-Jordan és de vital importància: hom el pot utilitzar per computar determinants, rangs i els inversos de matrius i per solucionar sistemes d'equacions lineals.

La traça d'una matriu quadrada és la suma de les entrades a la diagonal principal, que és igual a la suma dels seus valors propis (comptant cadascú segons la seva multiplicitat).

Hom defineix l'exponencial de qualsevol matriu quadrada real o complexa, usant sèrie de potències.

Tipus especials de matrius[modifica | modifica el codi]

En moltes àrees de les matemàtiques apareixen matrius amb una certa estructura. Uns quants exemples importants són

  • les matrius simètriques són tal que els elements simètrics a la diagonal principal (des de dalt a l'esquerra cap avall a la dreta) són iguals, és a dir ai,j=aj,i.
  • les matrius antisimètriques són tal que els elements simètrics a la diagonal principal són el negatiu un de l'altra, és a dir ai,j= - aj,i. En una matriu antisimètrica, tots els elements diagonals són 0, és a dir, ai,i=0.
  • les matrius hermítiques complexes són tal que els elements simètrics a la diagonal són els conjugats complexos un de l'altre, és a dir ai,j=a*j,i, on '*' significa la conjugació complexa.
  • les matrius ortogonals són aquelles matrius quadrades reals invertibles que compleixen la relació: A^T = A^{-1}.
  • les matrius de Toeplitz tenen elements comuns en llurs diagonals, és a dir, ai,j=ai+1,j+1.
  • les matrius estocàstiques són matrius quadrades les columnes de les quals són vectors de probabilitat; hom les utilitza per definir les cadenes de Markov.
  • una matriu quadrada A d'ordre n és singular si el seu determinant és zero. En aquest cas, es diu que aquesta matriu no té inversa.

Per una llista més exhaustiva vegeu llista de matrius.

Les matrius en l'àlgebra abstracta[modifica | modifica el codi]

Article principal: Àlgebra abstracta

Si comencem amb un anell , podem considerar el conjunt \mathcal M_{m\times n}(\mathbb R) de totes les matrius m-per-n amb entrades en ℝ. La suma i el producte d'aquestes matrius es poden definir com en el cas de matrius complexes o reals (vegeu amunt). El conjunt \mathcal M_{n\times n}(\mathbb R) de totes les matrius quadrades n-per-n en ℝ és un anell pel seu propi dret, isomòrfic a l'anell d'endomorfismes de mòdul esquerre ℝn.

De manera similar, si les entrades es prenen d'un semianell S, la suma i el producte de matrius es poden definir encara com usual. El conjunt de totes les matrius quadrades n×n en S és un semianell en si. Cal recordar que els algorismes ràpids de multiplicació de matrius com l'algorisme de Strassen normalment s'apliquen només a matrius sobre anells i no funcionen per matrius sobre semianells que no són anells.

Si ℝ és un anell commutatiu, aleshores \mathcal M_{n\times n}(\mathbb R) és una àlgebra associativa unitària sobre ℝ. Aleshores també és significatiu definir el determinant de les matrius quadrades usant la fórmula de Leibniz; una matriu és invertible si i només si el seu determinant és invertible en ℝ.

Tot el que es diu en aquests articles sobre les matrius reals o complexes roman correcte per les matrius sobre un cos arbitrari.

Les matrius sobre un anell polinòmic són importants en l'estudi de la teoria del control.

Les matrius a la computació[modifica | modifica el codi]

Les matrius són utilitzades àmpliament en computació, per la seva facilitat i lleugeresa per manipular informació. En aquest context, són la millor manera per representar un graf, i són molt utilitzades en l'càlcul numèric.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Swaney, Mark. History of Magic Squares.
  2. Shen Kangshen et al. (ed.). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary. Oxford University Press, 1999.  cited by (Otto Bretscher. Linear Algebra with Applications. 3rd ed.. Prentice-Hall, 2005, p. 1. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Matriu (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata