Composició funcional

En matemàtiques, la funció composició és l'aplicació d'una funció al resultat d'una altra. Per exemple, les funcions f: X → Y i g: Y → Z es poden compondre aplicant primer f a un argument x i llavors aplicant g al resultat. Així s'obté una funció g∘f: X → Z definida per (g∘f)(x) = g(f(x)) per a tot x de X. La notació g∘f segons alguns autors es llegeix com "f composta amb g" segons altres autors com "composició de g amb f"

g∘f, la composició de f i g

La composició de funcions és sempre associativa. És a dir, si f, g, i h són tres funcions amb dominis i codominis adequadament triats, llavors f∘(g∘h) = (f∘g)∘h. Com que no hi ha cap distinció en l'elecció del lloc on se situen els parèntesis, es poden ometre amb seguretat. Les funcions g and f commuten entre elles si g∘f = f∘g. En general la composició de funcions no és commutativa. La commutabilitat en la composició és una propietat especial, que només es dóna en funcions particulars i sovint només en circumstàncies especials. Per exemple, $\left | x \right | + 3 = \left | x + 3 \right |\,$ only when $x \ge 0$. Però una funció i la seva inversa sempre commuten i donen la funció identitat.

Les derivades de composicions de funcions derivables es poden calcular emprant la regla de la cadena. Derivades d'ordre superior d'aquest tipus de funcions s'obtenen per la Fórmula de Faà di Bruno.

Exemple

Com a exemple, suposeu que l'elevació d'un avió a l'instant t és donada per la funció h(t) i que la concentració d'oxigen a l'elevació x ve donada per la funció c(x). Llavors (c∘h)(t) dóna la concentració d'oxigen al voltant de l'avió a l'instant t.

Potències funcionals

Si $Y \subseteq X$ then $f: X\rightarrow Y$ es pot compondre amb si mateixa; a vegades això s'escriu amb la notació $f^2\,$. Així:

$(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)$

$(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)$

De la composició repetida d'una funció amb si mateixa se'n diu iteració de la funció.

De les potències funcionals $f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1}$ Per nombres naturals $n\,$ Se'n segueix de manera immediata.

• Per convenció, $f^0= id_{D(f)}\,$ $\big($la funció identitat en el domini de $f\big)$.
• Si $f: X\rightarrow X$ admet inversa, es defineixen les potencies funcionals negatives $f^{-k}\,$ $(k>0\,)$ com la potencia oposada de la funció inversa, $(f^{-1})^k\,$.

Nota: si f pren els seus valors en un anell (en particular pel cas de funcions amb valors reals o complexos f ), hi ha risc de confusió, perquè f ⁿ també podria referir-se a la potència nèssima del resultat de f, Per exemple f ²(x) = f(x) · f(x).

(Per a funcions trigonomètriques el significat habitual és l'últim, el menys per a exponents positius. Per exemple, en trigonometria, aquesta notació representa la exponenciació estàndard quant es fa servir en funcions trigonomètriques: sin²(x) = sin(x) · sin(x). En canvi, per a exponents negatius (especialment −1), amb no menys freqüència es refereix a la funció inversa, per exemple, tan⁻¹ = arctan (≠ 1/tan).

En alguns casos, encara que r no sigui enter es pot trobar una expressió per a f en g(x) = f ^r(x) a partir de l'algoritme per calcular g. D'això se'n diu Iteració fraccionaria. Un exemple senzill podria ser quant f és la funció successor, f ^r(x) = x + r.

Les funcions iterades apareixen de forma natural el l'estudi dels fractals i dels sistemes dinàmics.

Monoide composició

Suposeu que es tenen dues (o més) funcions f: X → X, g: X → X que tenen el mateix domini i rang. Llavors es poden formar llargues i potencialment complicades cadenes d'aquestes funcions a base de composar-les entre elles, com ara, f∘f∘g∘f. Aquestes llargues cadenes tenen la estructura algebraica de un monoide, de vegades se'n diu el monoide composició. En general, els monoides composició poden tenir estructures remarcablement complicades. Un exemple particularment notable és la corba de De Rham. Del conjunt de totes les funcions f: X → X se'n diu el semigrup de transformació complerta de X.

Si les funcions són bijectives, llavors el conjunt de totes les possibles transformacions d'aquestes funcions forma un grup; i es diu que és el generat per aquestes funcions.

El conjunt de totes les funcions bijectives f: X → X formen un grup respecte de l'operador composició. Aquest és el grup simètric, de vegades també se'n diu el grup composició.

Notació alternativa

A mitjan segle XX, alguns matemàtics varen decidir que el fet d'escriure "g∘f" per a dir "primer apliqueu f, després apliqueu g" era massa confús i varen decidir de canviar les notacions. Escriviren "xf" per "f(x)" i "xfg" per "g(f(x))". Això pot ser més natural i sembla més senzill que escriure funcions des de l'esquerra en algunes àrees.

La Teoria de categories fa servir f;g alternativament amb g∘f.

Operador composició

Donada una funció g, l'operador composició $C_g$ es defineix com aquell operador que aplica funcions a funcions com

$C_g f = f \circ g.$

Els operadors composició s'estudien en el camp de la teoria d'operadors.

Vegeu també

• Lògica combinatòria
• Funció composició (informàtica)
• Descomposició funcional
• Funcions d'ordre superior
• Lambda càlcul
• Relació composició

Enllaços externs

• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.