Regla de la cadena

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul infinitesimal, la regla de la cadena és una fórmula per a calcular la derivada de la composició de dues funcions.

De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta a l'hora depèn de una tercera variable, x,llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x.

Plantejament informal[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena diu que, si es compleixen les condicions adequades,

 (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x),\,

Això de forma resumida s'escriu  (f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'.

De forma alternativa, emprant la notació de Leibniz,

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}.

La contrapartida en càlcul integral de la regla de la cadena és la regla de substitució.

Teorema[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena d'una variable es pot definir de forma més precisa tal com segueix.[1] Sia f una funció real sobre (a,b) que és diferenciable a c ∈ (a,b); i g una funció real definida sobre un interval I que conté el rang de fi f(c) com a un punt interior. Si g és derivable a f(c), llavors

  • (f\circ g)(x) és derivable a x=c, i
  • (f\circ g)'(c) = f'(g(c))g'(c).

Exemples[modifica | modifica el codi]

Exemple I[modifica | modifica el codi]

Suposant els cas on, hom està pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kilòmetres per hora. La temperatura és més baixa a alçades més grans; Suposant que el ritme a que baixa la temperatura és de 6 °C per kilòmetre. Si es multiplica 6 °C per kilòmetre per 0.5 kilòmetres per hora, s'obté 3 °C per hora. Aquest càlcul és una aplicació típica de la regla de la cadena.

Exemple II[modifica | modifica el codi]

Considerant \,f(x) = (x^2 + 1)^3. Es té \,f(x)=h(g(x)) on \,g(x) = x^2 + 1 i \,h(x) = x^3. Així doncs,

f '(x) \, = h '(g(x)) g ' (x) \, = 3(g(x))^2(2x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \,
= 6x(x^2 + 1)^2. \,

Per a calcular la derivada de la funció trigonomètrica

f(x) = \sin(x^2),\,

Es pot escriure f(x) = h(g(x)) amb h(x) = \sin x i g(x) = x^2.

La regla de la cadena dona

f'(x) = 2x \cos(x^2) \,

Donat que h'(g(x)) = \cos (x^2)i g'(x) = 2x.

Exemple III[modifica | modifica el codi]

Deriveu \arctan\,\sin\, x, etc.

\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}
\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}
\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}

Regla de la cadena per a diverses variables[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena també funciona per a funcions de més d'una variable. Si les funcions z = f(x,y) on x = g(t) i y = h(t), i g(t) i h(t) són derivables respecte de t, llavors

{\ dz \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}

Suposant que cada funció de z = f(u,v) és una funció de dues variables tal que u = h(x,y) and v = g(x,y), i suposant que totes aquestes funcions siguin derivables. Llavors la regla de la cadena adopta la següent forma:

{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}


{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}

Si es considera \vec r = (u,v) com una funció vectorial, es pot emprar la notació vectorial per a escriure l'equivalent de l'anterior escrivint el producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de \vec r:

\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}

De forma més general, per a funcions vectorials de diverses variables, la regla de la cadena diu que el Jacobià de la funció compsició és el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:

\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}

Demostració de la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

Sian f i g funcions i sia x un nombre tal que f és derivable al punt g(x) i g és derivable al punt x. Llavors per la definició de derivada,

 g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \, on  \epsilon(\delta) \to 0 \, quan \delta\to 0.

De forma similar,

 f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \, on \eta(\alpha) \to 0 \, quan \alpha\to 0. \,

Ara

 f(g(x+\delta))-f(g(x))\, = f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,
 = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,

on \alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,. S'observa que \delta\to 0, \frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x) i \alpha_\delta \to 0, Així \eta(\alpha_\delta)\to 0. Per tant

 \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))\mbox{ as } \delta \to 0.

Demostració alternativa[modifica | modifica el codi]

Tenim una funció \,h(x)=f(g(x)). Per la definició de derivada tenim que:

h^{\prime}(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}

Multiplicant a dalt i a baix per g(x) - g(a)\, obtenim:

h^{\prime}(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x) - g(a)} \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}

Aplicant la definició de derivada un altre cop, tenim que:

(f \circ g)^{\prime}(x)=f^{\prime}\circ g \cdot g^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)

Generalització de la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

La regla de la cadena és una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i per tant és vàlida en contextos molt més generals. Per exemple, si E, F i G són espai de Banach (els quals inclouen l’Espai euclidià) i f : EF i g : FG són funcions, i si x és un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f(x), llavors la derivada (la derivada de Fréchet ) de la funció compsta g o f al punt x ve donada per

\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right).

Fixeu-vos que en aquest cas les derivades són aplicacions lineals. No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius ( Jacobians), la composició del cantó dret es transforma en una multiplicació de matrius.

Tensors i la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

Veieu camp tensorial per a una explicació avançada del paper que juga la regla de la cadena a la natura dels tensors.

Derivades d'ordre superior[modifica | modifica el codi]

La fórmula de Faà di Bruno generalitza la regla de la cadena a derivades d'ordre superior. Unes quantes de les primeres derivades són

\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}

 \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}
 = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 
 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}

 \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} 
 = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 
 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
 + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}

 \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}
 =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 
 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} 
 + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\}
 
 + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Apostol, Tom. Mathematical analysis. 2nd ed.. Addison Wesley, 1974, p. Theorem 5.5.