Espai euclidià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.[1]

Primera aproximació[modifica | modifica el codi]

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.

Històricament, l'espai euclidià és només l'espai físic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el que estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques[modifica | modifica el codi]

Espai vectorial euclidià[modifica | modifica el codi]

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre \mathbb R, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=\langle(u_1,u_2,...,u_n),(v_1,v_2,...,u_n)\rangle= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

\lVert \mathbf u\rVert=\sqrt {\langle\mathbf u,\mathbf u\rangle}

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real \theta comprès entre 0 i π tal que:

\cos\theta=\frac {\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\lVert\mathbf u\rVert\cdot \lVert\mathbf v\rVert}

Espai afí euclidià[modifica | modifica el codi]

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià[modifica | modifica el codi]

\langle(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\rangle=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n,

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

\left \langle\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i\right \rangle=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i

és un espai euclidià de dimensió n+1.

\langle P,Q\rangle=\int _0^1P(t)Q(t)dt

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians[modifica | modifica el codi]

  • En tot espai euclidià es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si (u_1,u_2,...,u_n)\, és una base de \mathbf E, existeix una base (v_1,v_2,...,v_n)\, ortonormal, tal que per a tot k entre 1 i n, es compleix que
\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle = \langle v_1,v_2,...,v_k \rangle\,.

on s'entén per \langle u_1,u_2,...,u_k \rangle\, la varietat lineal engendrada per aquells k elements de la base.

  • Tot espai vectorial euclidià de dimensio n és isomorf a \mathbb R^n
  • Tot espai vectorial euclidià és complet. És per tant un cas particular d'espai de Banach.
  • Dos vectors amb producte escalar nul, es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial \mathbf F d'un espai euclidià \mathbf E es pot associar un únic subespai \mathbf {F}^{\bot} format per tots els vectors ortogonals a tots els vector de \mathbf F, és el seu ortogonal.
  • Si x\, és un vector de \mathbf E, l'aplicació producte escalar per x\,,s_x :y\mapsto <x,y> és una forma lineal. L'aplicació que associa x\, a s_x\, és un isomorfisme de l'espai vectorial \mathbf E en el seu dual \mathbf E^*.
\forall x,y \in \mathbf E, <f(x),y>=<x,f^*(y)>

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si f=f^*\, , i endomorfisme antisimètric si f=-f^*\,.

En una base ortonormal, la matriu de f^*\, és la transposada de u\,.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «espai d’Euclides». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.