Dimensió fractal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria de fractals, la dimensió fractal, D és una quantitat estadística que dóna una idea de quant completament sembla omplir un fractal l'espai conforme s'amplia el primer cap a escales més i més fines. Hi ha moltes definicions específiques de dimensions fractals i cap hauria de ser tractada com universal. Des d'un punt de vista teòric, les més importants d'elles són la dimensió d'Hausdorff, la dimensió d'empaquetament i, de forma més general, les dimensions de Rényi. D'altra banda, la dimensió de comptament de caixes i la dimensió de correlació són àmpliament usades en la pràctica, en part per la seua fàcil implementació.

Encara que per a alguns fractals clàssics totes aquestes dimensions coincideixen, en general no són equivalents. Per exemple, la dimensió del floc de neu de Koch té una dimensió topològica d'un, però no pot ser tractada com una corba; la longitud entre qualssevol dos punts en el fractal és infinita. Cap segment del fractal té semblat a una línia, però tampoc té semblat a una part d'un plànol. En certa forma es podria dir que és massa gran per a poder ser considerada com un objecte unidimensional, però és massa fina per a ser considerada un objecte bidimensional. Açò duu a la pregunta de si la seua dimensió es descriu millor amb un nombre entre un i dos. Aquesta és una manera simple de motivar la idea de dimensió fractal.

Definicions[modifica | modifica el codi]

Fig.(1) Altra forma de definir la dimensió[1]

Hi ha principalment dues formes aproximades per a generar una estructura fractal. Una és fer-la créixer a partir d'un objecte i l'altra és construir les divisions subseqüents d'una estructura original com en el triangle de Sierpinski (Fig.(2)).[2] En aquest cas se segueix la segona aproximació per a definir la dimensió de les estructures fractals.

Si es pren un objecte amb una grandària lineal igual a 1 en una dimensió euclidiana D, i es redueix la seua grandària per un factor de 1/l en cada direcció espacial, se necessiten un nombre N=l^D d'objectes autosimilars per a cobrir l'objecte original (Fig.(1)). No obstant això, al buidar per a D, la dimensió definida per

D = \frac{\log N(l)}{\log l}.

és igual encara a la seua dimensió topològica o euclidiana.[1] Aplicant l'equació anterior a una estructura fractal, es pot obtenir la dimensió de la mateixa (que és més o menys la dimensió d'Hausdorff) com un nombre no sencer, com s'esperava.

D = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilon}},

on N(\varepsilon) és el nombre d'estructures autosimilars de costat lineal ε que es necessiten per a cobrir tota l'estructura.

Per exemple, la dimensió fractal per a el triangle de Sierpinski (Fig.(2)) està donat per,

 D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)} =\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log3^k}{\log2^k} = \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,585.


Fig.(2) Triangle de Sierpinski

Altres quantitats dimensionals inclouen la «dimensió d'informació» que considera com s'escala la informació terme mitjà que es necessita per a identificar una caixa ocupada, conforme les caixes es tornen més menudes:

D_1 = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{-\langle \log p_\varepsilon \rangle}{\log\frac{1}{\varepsilon}}

i la dimensió de correlació, potser la més fàcil de calcular,

D_2 = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0, M \rightarrow \infty} \frac{\log (g_\varepsilon / M^2)}{\log \varepsilon}

on M és el nombre de punts utilitzats per a generar una representació del fractal i gε és el nombre de parells de punts que es troben més propers un a l'altre que ε.

Dimensions de Rényi[modifica | modifica el codi]

Les tres anteriors poden veure's com casos especials de les dimensions de Rényi d'ordre α, definides com

D_\alpha = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1-\alpha}\log(\sum_{i} p_i^\alpha)}{\log\frac{1}{\epsilon}}

El numerador és la dita entropia de Rényi d'ordre α. La dimensió de Rényi amb α=0 tracta a totes les parts del atractor de manera similar, però per a valors més grans de α es dóna un major pes en el càlcul a les parts de l'atractor que són visitades amb major freqüència.

Un atractor per al qual les dimensions de Rényi no són totes iguals és conegut com un multifractal, o es diu que mostra estructura multifractal. Açò és un senyal que un comportament a escala diferent ocorre en diferents parts de l'atractor.

Estimació de la dimensió fractal per a casos reals[modifica | modifica el codi]

Els càlculs de dimensions fractals descrits dalt s'obtenen a partir de fractals definits formalment. No obstant això, certs fenòmens i objectes de la vida real poden mostrar propietats fractals, pel que pot ser útil obtenir la dimensió fractal d'un conjunt de dades d'una mostra. El càlcul de la dimensió fractal no es pot obtenir de forma exacta sinó que ha d'estimar-se. Açò s'usa en una varietat d'àrees d'investigació tals com la física,[3] anàlisi d'imatge,[4] acústica,[5] zeros de la funció zeta de Riemann[6] ie inclús processos electroquímics.[7]

Les estimacions pràctiques de les dimensions fractals són molt sensibles al soroll numèric o experimental, i particularment a les limitacions en la quantitat de dades. Qualsevol afirmació basada en estimacions de dimensions fractals han de prendre's amb cura, ja que hi ha un límit superior inevitable, llevat que es presenten quantitats molt grans de dades.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Fractals & the Fractal Dimension
  2. Fluctuations and Scaling in Biology. Edited by T. Vicsek, 2001
  3. B. Dubuc, J. F. Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot, and S. W. Zucker, Evaluating the fractal dimension of profiles , Phys. Rev. A, 39 (1989), pp. 1500–1512.
  4. P. Soille and J.-F. Rivest, On the validity of fractal dimension measurements in image analysis, Journal of Visual Communication and Image Rep- resentation, 7 (1996), pp. 217–229.
  5. P. Maragos and A. Potamianos, Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition , The Journal of the Acoustical Society of America, 105 (1999), p. 1925.
  6. O. Shanker. «Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions». J. Phys. A: Math. Gen., 39, 2006, pàg. 13983–13997. DOI: 10.1088/0305-4470/39/45/008.
  7. Ali Eftekhari, Fractal Dimension of Electrochemical Reactions Journal of the Electrochemical Society, 2004, 151 (9), E291 – E296.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)