Fractal

Fins i tot amb 2000 augments la fractal de Mandelbrot mostra en tot detall similituds amb l'original.

Un fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples. Els fractals van ser estudiats llargament per Benoît Mandelbrot i el terme fractal va ser implantat per ell gràcies al seu llibre Els objectes fractals. El terme fractal es va crear a partir de l'arrel llatina fractus 'trencat, fracturat, irregular'.

Les fractals neixen de l'intent de trobar una geometria més apropiada per descriure els objectes de la natura. En aquesta recerca, Mandelbrot es va trobar una serie d'objectes matemàtics (conjunt de Cantor, triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, etc.) que havien estat considerats curiositats dins les matemàtiques, però que no havien tingut major interès fins al moment que Mandelbrot s'adonà que tots tenien aspectes en comú. Són molt útils en multitud de camps com ara la medicina i cardiologia, sismologia, etc.

Introducció

La paraula fractal neix a partir d'una adaptació del terme fraccionari. Les fractals tenen com a primera i principal característica l'aparició de dimensions fraccionàries. Això vol dir que si una línia té dimensió 1, un pla té dimensió 2, i un volum té dimensió 3, a les fractals apareixen dimensions que es poden escriure en forma de fracció. Una dimensió 7/4, per exemple, significa un nombre de 1.75 i per tant correspon a un cos que es troba a cavall entre una línia i un pla.

Totes les fractals tenen les següents característiques:

• Tenen dimensió fraccionària.
• Estan detallades en escales infinitament petites, i a vegades infinitament grans.
• Tenen autosemblança estadística.

La possibilitat de tenir dimensions fraccionàries es pot veure millor amb alguns exemples, o simplement aplicant la fórmula matemàtica que defineix la dimensió fractal.

Història

Construcció animada del Triangle de Sierpiński, en només nou generacions d'infinit.

Un floc de neu de Koch, el qual comença amb un triangle equilàter i després de dividir els costats en terços, en substitueix el segment mig amb una parella de línies que tornen a formar un triangle equilàter.

Les matemàtiques darrera les fractals van començar a prendre forma al segle XVII quan el matemàtic i filòsof Gottfried Leibniz va considerar una autosimilitud recursiva (encara que ell va cometre l'error de pensar que només la línia recta podia ser-ho en aquest sentit).

Però no va ser fins l'any 1872 quan apareix una funció en què la seva gràfica es considera fractal, quan Karl Weierstrass dóna un exemple de funció amb la no-intuïtiva propietat de poder existir en totes les parts contínues però no diferenciable en cap punt. Al 1904, Helge von Koch, insatisfet amb l'abstracta i analítica definició de Weierstrass, dóna una definició més geomètrica d'una funció similar, la qual s'anomena corba de Koch. Wacław Sierpiński construeix el seu triangle al 1915 i, un any més tard, la seva alfombra. La idea de corbes autosimilars va ser proposada també per Paul Pierre Lévy, qui, en el seu escrit Corbes i Superfícies Planes o Espacials Consistents en Parts Similars al Tot de 1938 va descriure una nova corba fractal, la corba C de Lévy. Georg Cantor també va donar exemples de subconjunts de la línia real amb propietats inusuals. Aquest conjunt de Cantor també va ser reconeguts com a fractal.

Les funcions iterades en el pla complex també van ser investigades cap a finals del segle XIX i a principis del XX per Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou i Gaston Julia. No obstant, sense l'ajuda de les gràfiques generades pels ordinadors actuals, mai van disposar dels recursos i la tecnologia necessària per observar la bellesa de molts dels objectes que van descobrir.

Cap a la dècada dels anys 60, Benoît Mandelbrot va començar a investigar l'autosimilitud en els documents de Quant és de Llarga la Costa de la Gran Bretanya? Autosimilitud Estadística i Dimensió Fractal, el qual es va basar en estudis anteriors de Lewis Fry Richardson. Finalment, al 1975 Mandelbrot va encunyar el terme "fractal" per descriure objectes amb la dimensió de Hausdorff–Besicovitch major que la seva dimensió topològica. Va il·lustrar la seva definició matemàtica amb un sorprenent equip de construcció de visualitzacions. Aquestes imatges, les quals moltes d'elles estan basades en la recursió, capten la imaginació popular, estenent a molta gent el significat del terme "fractal".

Característiques d'un fractal

Autosimilitud o autosemblança

Segons B. Mandelbrot, un objecte és autosimilar o autosemblant si les seves parts tenen la mateixa forma o estructura que el tot, encara que poden presentar-se a diferent escala i poden estar lleugerament deformades. Això vol dir que les diferents escales de detall tenen formes similars. També es pot dir que troços petits de qualsevol fractal són semblants a la fractal sencera.

Les fractals poden presentar tres tipus de autosimilitud:

• Autosimilitud exacta. Aquest és el tipus més restrictiu d'autosimilitud: exigeix que la fractal sembli idèntica a diferents escales. Sovint es troba en fractals definides per sistemes de funcions iterades (IFS).

Quasiautosimilitud en el conjunt de Mandelbrot: al variar l'escala s'obtenen còpies del conjunt amb petites diferències.

• Quasiautosimilitud. Exigeix que la fractal sembli aproximadament idèntica a diferents escales. Les fractals d'aquest tipus contenen còpies menors i distorsionades de elles mateixes. Matemàticament D.Sullivan va definir el concepte de conjunt quasiautosimilar a partir del concepte de quasi-isometria. Les fractals definides per relacions de recurrència són normalment d'aquest tipus.
• Autosimilitud estadística. És el tipus més dèbil d'autosimilitud. Exigeix que la fractal tingui mesures numèriques o estadístiques que es preservin amb el canvi d'escala. Les fractals aleatòries són exemples de fractals d'aquest tipus.

Dimensió fractal i dimensió de Hausdorff-Besicovitch

Aplicació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch (boles) a la costa del Regne Unit

Aplicació de la dimensió de Hausdorff-Besicovitch (quadrícula) a la costa del Regne Unit

Entre les fractals podem trobar exemples com ara corbes que ocupen tot el pla. En aquest cas, la dimensió topològica de la corba, que és u, no informa sobre la forma en què aquesta ocupa l'espai ambient. Així doncs, per classificar la manera de com un conjunt ocupa l'espai mètric que el conté i amb quina densitat ho fa, s'utilitzen paràmetres numèrics que informen objectivament de les seves característiques:

• La dimensió fractal. Les fórmules que la defineixen tenen a veure amb el recompte de les boles necessàries per recobrir el conjunt o amb el de caixes d'una quadrícula que contenen part del conjunt, quan les dimensions d'unes i altres tendeixen a zero. Es pot mesurar la dimensió fractal d'objectes reals: línies de la costa (1.2), núvols, arbres, etc. Amb aquestes mesures es pot comparar objectes del món real amb fractals generats per ordinador a partir d'algoritmes matemàtics.

• La dimensió de Hausdorff-Besicovitch. Té una definició més complexa que la de dimensió fractal. La seva definició no sol utilitzar-se per comparar conjunts del món real.

Autosimilitud estadística d'una fractal generada pel procés d'agregació per difusió limitada.

Aspectes matemàtics

Actualment, l'any 2010, el concepte de fractal encara no disposa d'una definició matemàtica precisa i d'acceptació general.

Dimensió fractal

Pot definir-se en termes del mínim número $N(\epsilon)$ de boles de radi $\epsilon$ necessàries per recobrir el conjunt, com el límit:

$D_F=\lim_{\epsilon \to 0}{ \ln N(\epsilon) \over \ln(1/\epsilon)}$

O en funció del recompte del número de caixes N_n d'una quadrícula d'amplada 1 / 2ⁿ que intersequen al conjunt:

$D_F=\lim_{n \to \infty}{ \ln N_n \over \ln(2^n)}$

Es demostra que ambdues definicions són equivalents, i que són invariants sota isometries.

Dimensió de Hausdorff-Besicovitch

D'una definició més complexa, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch proporciona un número D_H(A), també invariant sota isometries, de la qual la seva relació amb la dimensió fractal D_F(A) és la següent:

$0 \leq D_H(A) \leq D_F(A)$

En alguns casos això permet distingir entre conjunts amb la mateixa dimensió fractal.

Dimensió de fractals produits per un IFS

En aquest cas, quan no hi hagi solapament, es demostra que D_F = D_H i que ambdues poden calcular-se com a solució de l'equació:

$c_1^D+c_2^D+ \dots + c_k^D=1$

on c_i designa el factor de contracció de cada aplicació contractiva del IFS.

Categories

Les fractals poden ser dividides en tres àmplies categories:

Sistema iterat de funcions

Aquestes tenen una regla de punt fix geomètric. Exemples: conjunt de Cantor, Triangle de Sierpiński, corba de Peano, floc de neu de Koch, corba del drac.

Les fractals recurrents

Les fractals definides per una relació de recurrència en cada punt d'un espai (com el pla complex). Un exemple n'és el conjunt de Mandelbrot o el conjunt de Julia.

Fractals aleatòries

Generades per processos estocàstics. Les fractals estocàstiques estan relacionades amb la teoria del caos. Les fractals aleatòries tenen una gran aplicació pràctica, ja que són les més apropiades per descriure diversos objectes irregulars del món real. Exemples en són els núvols, muntanyes, turbulències, costes i arbres.

Fractals oscil.lants

Existeixen un tipus de fractals derivats del mètode de Júlia o de Mandelbrot, anomenats fractals oscil.lants, ja que de forma alternativa s'iteren 2 o mes funcions diferents.

En la Naturalesa

Una fractal natural és un element de la natura que pot ser descrit mitjançant la geometria fractal. Els núvols, les muntanyes, les onades del mar, el sistema circulatori sanguini (el batec del cor també), les línies costaneres, els flocs de neu, l'electricitat, les fulles dels vegetals o fins i tot la distribució d'arbres en el bosc, són considerats fractals naturals.

Aquesta representació és aproximada ja que les propietats atribuïdes als objectes fractals ideals, com el detall infinit, tenen límits en el món natural, tant inferiors com superiors, així com tampoc existeix un terme precís per a "massa irregular", i a part, existeixen diferents maneres per a definir "dimensió" amb valors racionals, i no tota fractal és definida recursivament. Les fractals són models per descriure la natura, però no deixen de ser models matemàtics.

Exemples de fractals naturals

• 

  Fractal generat amb una descàrrega elèctrica d'alt voltatge.

• 

  Fractal format en separar dues plaques d'acrílic enganxades amb cola.

• 

  Cristalls de gel congelats formats de forma natural en un sistema físic pur il·lustren un procés fractal.

• 

  Les onades del mar són també grans geometries fractals.

• 

  Geometria fractal en un romanesco.

• 

  Una falguera fractal modelitzada usant un sistema de funcions iterades.

• 

  Sorprenentment, la distribució dels arbres en un bosc també es pot considerar fractal.

Aplicacions

Tal com s'ha descrit anteriorment, les fractals aleatòries poden utilitzar-se per descriure molts dels objectes i fenòmens altament irregulars del món real. Algunes aplicacions inclouen:

• Classificació dels teixits en histopathologia en el camp de la medicina
• Paisatge fractal o complexitat de la línia de la costa
• Enzima/enzimologia (cinètica de Michaelis-Menten)
• Generació de nova música
• Senyal i Compressió d'imatges
• Creació d'ampliacións fotogràfiques digitals
• Sismologia
• Mecànica de sòls
• Disseny de videojocs, especialment gràfics d'ordinador per ambients orgànics i com a part de la generació procedural.
• Fractografia i mecànica de la fractura
• Antenes fractals – Antenes de mida petita amb carcassa fractal.
• Small angle scattering theory of fractally rough systems
• Samarretes i altres peces de roba en el camp de la moda
• Generació de patrons de camuflatge, com ara MARPAT
• Rellotges de sol digitals
• Anàlisi tècnic de l'evolució dels preus de mercat (veure principi d'ones d'Elliott)

En manifestacions artístiques

Tècniques de fractals han estat utilitzades en la compressió d'imatges, així com en una varietat de disciplines científiques.

Arts gràfiques

Una fractal que modela la superfície d'una muntanya (animació).

• Apophysis o Ultra Fractal són programes informàtics que poden crear imatges amb tècniques diverses; canviant paràmetres, geometria de triangles o amb transformacions aleatòries (a vegades anomenades "mutacions").
• Fractint és un software lliure, gratuït i de codi obert destinat a dibuixar nombrosos tipus de fractals.
• Sterling és un generador de fractals gratuït per Windows.
• XaoS és un útil interactiu francès que permet descobrir tècnica i la poètica dels fractals.
• Qosmic és una eina que permet realitzar representaciones fractals generades per algoritmes.
• Mètodes computacionals de càlcul:
  • Sistema de Funcions Iterades (IFS).
  • Joc del Caos.
  • Lindenmayer System o Sistema-L.
  • Mètodes topològics.
  • Algoritme de Diamant-Carré.

Exemples

Conjunt de Cantor

El conjunt de Cantor es va descobrir el 1872 i es crea de la següent forma: s'agafa un segment i es divideix en 3 parts, eliminant el segment del mig. Es fa el mateix amb els segments que queden i es repeteix el procés indefinidament. El conjunt resultant és una mena de pols de punts. La seva dimensió és major de 0, perquè té diversos punts. També és menor de 1, perquè els punts no arriben a formar un línia. És per tant una dimensió entre 0 i 1.

Triangle de Sierpiński

El Triangle de Sierpiński es va descobrir el 1915.

Exemples del triangle de Sierpiński

• 

  Piràmide de Sierpinski.

Conjunt de Mandelbrot

El 1968 es considera el naixement del moviment brownià fraccionari, impulsat per Benoît Mandelbrot, un empleat de l'IBM. Va escriure un programa amb una fórmula semblant a Z(n)^2 + c, i llavors va fer-la funcionar en un dels molts ordinadors de l'IBM. En fer-ho algunes vegades obtenia alguns bonics dibuixos. Els dibuixos els obtenia quan assignava un color a cada punt segons les vegades que tardava la iteració a arribar a un nombre determinat. Mandelbrot va ser qui va aconseguir que els ordinadors fessin els càlculs repetitius per representar gràficament els punts (x,y) i permetre a tothom apreciar la bellesa de les fractals.

L'equació que descriu la fractal de Benoît Mandelbrot és la següent: $a_{n+1} = a_n^2 + P_0$

On a_n i P₀ són números complexes.

Exemples de fractals de Mandelbrot

• 

  Conjunt de Mandelbrot.

En negre, imatge del conjunt de Mandelbrot superposat amb els conjunts de Julia plens representats per alguns dels seus punts (en vermell els conjunts de Julia connexes i en blau els no connexes).

Conjunts de Julia

Aquests conjunts, fruit dels treballs de Pierre Fatou i Gaston Julia en els anys 1920, surgeixen com a resultat de l'aplicació reiterada de funcions holomorfes $z \mapsto f(z) \mapsto f(f(z)) \mapsto \ldots$.

Analitzem el cas particular de funcions polinòmiques de grau major que 1. En aplicar successives vegades una funció polinòmica és molt possible que el resultat tendeixi a $\infty$. Al conjunt de valors de $z \in C$ que no escapen al infinit mitjançant aquesta operació se'ls denomina conjunt de Julia ple, i a la seva frontera, simplement conjunt de Julia.

Aquests conjunts es representen mitjançant un algoritme de temps d'escapament en què cada píxel es coloreja segons el número d'iteracions necessàries per escapar. Sol usar-se un color especial, sovint el negre, per representar els punts que no han escapat després d'un número gran i prefixat d'iteracions.

Exemples de conjunts de Julia per f_c(z) = z² + c

• 

  En negre, conjunt de Julia ple associat a f_c, c=φ-2, on φ és el nombre auri

• 

  Conjunt de Julia ple associat a f_c, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i

• 

  Conjunt de Julia ple associat a f_c, c=-0.835-0.2321i

• 

  Fractal de Julia.

• 

  Un fractal de Julia, obtingut per recurrència.

El mètode de Mandelbrot: diferents fractals iterant potències de Z

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z^m + C, segons el mètode de Mandelbrot. Tots els punts del plà complexe C=(Cx,iCy) son iterats per ad.dició a la funció corresponent. Totes les iteracions parteixen de els punts x=0 iy=0. Quan la iteració convergeix es coloreja de groc pàlid. La divergència a infinit es colorejada mitjançant un patró cromàtic des de el negre fin a el blau. El fractal derivat de la funció Z = Z² + C s'anomena conjunt de Mandelbrot.

Exemples de fractals del tipus Mandelbrot Z = Z^m + C

• 

  Z = Z² + C

• 

  Z = Z³ + C

• 

  Z = Z⁴ + C

• 

  Z = Z⁵ + C

• 

  Z = Z⁶ + C

• 

  Z = Z⁷ + C

Ejemples de fractals del tipus Mandelbrot Z = Z^m + 1 / C a on cada punt C del plà complexe es tranforma a 1/C abans d'entrar en la iteració de la potència de Z.

• 

  Z = Z² + 1 / C

• 

  Z = Z³ + 1 / C

• 

  Z = Z⁴ + 1 / C

• 

  Z = Z⁵ + 1 / C

• 

  Z = Z⁶ + 1 / C

• 

  Z = Z⁷ + 1 / C

El mètode de JÚLIA: diferents fractals iterant potències de Z

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant les diferents potències de Z = Z^m + C, segons el mètode de Júlia. Tots els punts del plà complexe Z=(x,iy) son iterats en la funció corresponent. A totes les iteracions se'ls hi suma una constant arbitrària (Cx,iCy) de tal forma que la elecció d'aquesta constant "llavor" determina de forma univoca la forma i el color del fractal, un cop ha sigut definit el patró cromàtic. En els exemples mostrats a continuació s'ha escollit una constant tal que només produeix divergència, i s'ha colorejat amb l'algoritme de la velocitat d'escapament.

Ejemples de fractals del tipus Júlia Z = Z^m + C

• 

  Z = Z² + C

• Cx=0.279 Cy=0.000
• 

  Z = Z³ + C

• Cx=0.400 Cy=0.000
• 

  Z = Z⁴ + C

• Cx=0.484 Cy=0.000
• 

  Z = Z⁵ + C

• Cx=0.544 Cy=0.000
• 

  Z = Z⁶ + C

• Cx=0.590 Cy=0.000
• 

  Z = Z⁷ + C

• Cx=0.626 Cy=0.000

El mètode de JÚLIA: diferents fractals iterant diverses funcions de Z

A continuació es mostra una sèrie de fractals iterant diferents funcions de Z, segons el mètode de Júlia. Al igual que en l'anterior secció, els punts del plà complexe Z=(x,iy) son iterats en la funció corresponent. A totes les iteracions se'ls hi suma una constant arbitrària (Cx,iCy) de tal forma que la elecció d'aquesta constant "llavor" determina de forma univoca la forma i el color del fractal, un cop ha sigut definit el patró cromàtic. En els exemples mostrats a continuació s'ha escollit una constant tal que només produeix divergència, i s'ha colorejat amb l'algoritme de la velocitat d'escapament.

Ejemples de fractals del tipus Júlia, d'algunes funcions de variable complexe

• 

  Z = Exp(Z) + C

• Cx= -0.65 Cy=0.000
• 

  Z = Exp(Z³) + C

• Cx= -0.59 Cy=0.000
• 

  Z = Z * Exp(Z) + C

• Cx= 0.04 Cy=0.000

Descomposició de funcions de variable complexa en la part Real i la part Imaginària

* Potències de Z

A continuació es detallen les diferents potències de Z descomposades en la seva part REAL i la seva part IMAGINÀRIA. Mitjançant la iteració d'aquestes, i usant l'algoritme de la velocitat d'escapament a l'infinit, s'han construït els fractals mostrats en les anteriors seccions.

Com pot observar-se en els desenvolupaments de les diferents fórmules, apareixen els coeficients del triangle de Pascal.

Z2 Real = x2 − y2  Imag = 2 * x * y, per Z =(x,iy)

Z3 Real = x3 − 3 * y2 * x  Imag = 3 * x2 * y − y3, per Z =(x,iy)

Z4 Real = x4 − 6 * x2 * y2 + y4  Imag = 4 * x3 * y − 4 * x * y3, per Z =(x,iy)

Z5 Real = x5 − 10 * x3 * y2 + 5 * x * y4  Imag = 5 * x4 * y − 10 * x2 * y3 + y5, per Z =(x,iy)

Z6 Real = x6 − 15 * x4 * y2 + 15 * x2 * y4 − y6  Imag = 6 * x5 * y − 20 * x4 * y2 + 6 * x * y5, per Z =(x,iy)

Z7 Real = x7 − 21 * x5 * y2 + 35 * x3 * y4 − 7 * x * y6  Imag = 7 * x6 * y − 35 * x4 * y3 + 21 * x2 * y5 − y7, per Z =(x,iy)

* Altres funcions de F(Z).

Exp(Z) Real = Exp(x) * Cos(y)   Imag = Exp(x) * Sin(y), per Z =(x,iy)

Ln(Z) Real = 0.5 * Ln(x2 + y2)    Imag = Arctan(y / x), per Z =(x,iy)

Sin(Z) Real = Sin(x) * ((Exp(y) + Exp( − y)) / 2)    Imag = Cos(x) * ((Exp(y) − Exp( − y)) / 2), per Z =(x,iy)

Cos(Z) Real = Cos(x) * ((Exp(y) + Exp( − y)) / 2)   Imag =  − Sin(x) * ((Exp(y) − Exp( − y)) / 2), per Z =(x,iy)

SinH(Z) Real = Cos(y) * ((Exp(x) − Exp( − x)) / 2)    Imag = Sin(y) * ((Exp(x) + Exp( − x)) / 2), per Z =(x,iy)

CosH(Z) Real = Cos(y) * ((Exp(x) + Exp( − x)) / 2)    Imag = Sin(y) * ((Exp(x) − Exp( − x)) / 2), per Z =(x,iy)

Enllaços externs

• BLOG de l'autor de les imatges fractals exposades

Cronologia

Aparició de les fractals més conegudes

1872 El conjunt de Cantor 1875 La corba de Weierstrass 1890 La corba de Peano 1891 La corba de Hilbert 1900 Moviment browniano (Bachelier) 1903 La corba de Takagi 1906 L'illa de van Koch 1915 El triangle de Sierpinski 1938 El drac de Lévy 1968 Moviment brownià fraccionari (Mandelbrot)

La dimensió

1919 Dimensió de Hausdorff

Comportament relacionat amb l'escala

1951 Llee de Hurst (riu Nil) 1956 Llei de Gutenberg-Richter per la distribució de la magnitud de terratrèmols 1961 Lleis d'escala de Richardson

Fets importants relacionats

1968 Aristid Lindenmayer descriu els denominats sistemes L 1975 Mandelbrot inventa el terme 'fractal' 1975 Publicació de "Fractals: Form, chance and dimension" 1980 Mandelbrot ofereix la primera gràfica del conjunt que porta el seu nom 1981 Sistemes de Funcions Iterades (Hutchinson) 1982 Publicació de "The Fractal Geometry of Nature" 1988 Mandelbrot introdueix el concepte de mesures multifractals 1988 Article de Barnsley i Sloan a BYTE

Fractals i sistemes dinàmics

1981 Witten i Sanders introdueixen l'agregació limitada per difusió 1983 Hentschel i Procaccia relacionen les fractals i els atractors estranys 1984 Autòmats cel·lulars de Stephen Wolfram 1987 Per Bak, Chao Tang i Kurt Wiesenfeld elaboren el concepte de sistemes crítics auto-organizats

Vegeu també

• Funció signe d'interrogació.
• Fractomància.
• Fractal Nova.
• Mandelbrot.
• Fractal de Newton
• http://www.xtec.es/ieslabisbal/fractals/intro.htm