Georg Cantor

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (Sant Petersburg, 3 de març de 1845 - Halle, 6 de gener de 1918) fou un matemàtic i filòsof alemany, fundador de la teoria de conjunts moderna. Cantor va establir la importància del concepte de funció bijectiva entre els conjunts, va definir els conceptes de conjunt infinit i de conjunt ben ordenat, i va demostrar que el conjunt dels nombres reals és "més gran" que el conjunt dels nombres naturals, tot i ser infinits ambdós. De fet, del Teorema de Cantor se segueix que per a tot infinit hi ha un infinit més gran, i que, per tant, hi ha una infinitat d'infinits. També va definir els conceptes de nombre cardinal i nombre ordinal així com la seva aritmètica. El treball de Cantor ha estat una contribució molt important dins el camp de les matemàtiques i és, a més a més, d'un gran interès filosòfic.

El treball de Cantor va trobar resistència per part d'alguns matemàtics contemporanis seus com Leopold Kronecker i Henri Poincaré, i després per Hermann Weyl i L.E.J. Brouwer. Ludwig Wittgenstein va plantejar també algunes objeccions filosòfiques. Cantor va patir freqüents atacs de depressió al llarg de tota la seva vida des del 1884, que possiblement eren manifestacions d'un trastorn bipolar.

Avui en dia, la gran majoria dels matemàtics que no són constructivistes ni finitistes accepten el treball de Cantor sobre els nombres transfinits i la seva aritmètica i reconeix el canvi de paradigma que Cantor va introduir en la matemàtica. En paraules de David Hilbert: "Ningú no ens podrà fer fora del paradís que Cantor ha creat."

Biografia[modifica | modifica el codi]

Georg Cantor fou el més gran dels sis fills de Georg Waldemar Cantor, un home de negocis danès, corredor a la borsa de Sant Petersburg i de Maria Anna Böhm, de nacionalitat russa. Tot i que el nom de Cantor és jueu, ell fou luterà com el seu pare qui instruí els seus fills en aquesta religió.

Quan el pare de Cantor va caure malalt, la família es va traslladar a Alemanya (1856), primer a Wiesbaden i després a Frankfurt, buscant hiverns més suaus que els de Sant Petersburg. El 1860, Cantor es va graduar amb distincions a la Realschule de Darmstadt; el seu excepcional talent per les matemàtiques, i per la trigonometria en particular, el van portar l'any 1862, després de poder convèncer al seu pare, que volia que fos enginyer, a entrar a l'Escola Federal Politècnica de Zuric, avui ETH Zurich, per estudiar [matemàtiques]].

Després de la mort del seu pare el 1863, Cantor va prosseguir els seus estudis a la Universitat de Berlín, on va poder assistir a les classes de Karl Weierstrass, Kummer, i Kronecker, i va fer amistat amb Hermann Schwarz, llavors encara estudiant. Va passar un estiu a la Universitat de Göttingen, un important centre d'investigació matemàtica. El 1867, es doctorà a Berlín amb una tesi sobre teoria de nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis. Després d'un any impartint classes en una escola de noies a Berlín, Cantor s'incorporà a la Universitat de Halle, on passaria tota la seva carrera. Rep una recompensa per una habilitació per la seva tesi en teoria de nombres.

El 1874, Cantor va contraure matrimoni amb Vally Guttmann. Tingueren sis fills, el darrer l'any 1886. Durant la seva lluna de mel a Suïssa, Cantor va passar moltes estones discutint sobre matemàtiques amb Richard Dedekind, amb qui havia fet amistat dos anys abans en un altre viatge a Suïssa.

Cantor fou promogut com a Professor Extraordinari el 1872 i va obtenir una càtedra el 1879 a l'edat de 34 anys, un fet remarcable. Cantor, però, desitjava tenir una càtedra en una universitat més prestigiosa, en particular a Berlín, on es trobava la millor universitat alemanya. Però, Kronecker, qui estigué al capdavant del departament de matemàtiques a Berlín fins a la seva mort el 1981 i el seu col·lega Hermann Schwarz no volien tenir Cantor com a col·lega. Encara pitjor, Kronecker, qui fou dels millors matemàtics alemanys de la seva època estava totalment en desacord amb la veracitat i correcció dels treballs de Cantor. Kronecker, avui vist com un dels fundadors del punt de vista constructiu en matemàtiques, estava molt en desacord amb la teoria de conjunts de Cantor perquè aquesta afirmava l'existència de conjunts satisfent certes propietats, sense donar exemples específics de conjunts els elements dels quals satisfessin aquelles propietats. Cantor arribà a creure que la postura de Kronecker faria impossible deixar Halle.

El 1881, el company de Cantor a la Halle Eduard Heine mor, deixant una càtedra vacant. Halle accepta el suggeriment de Cantor d'oferir-la a Dedekind, Heinrich Weber, i Franz Mertens, en aquest ordre, però tots la van declinar després d'haver-los-la ofert. Aquest episodi revela la manca de reputació de la Halle entre els departaments de matemàtiques alemanys. Albert Wangerin va ser finalment nomenat, però mai no fou proper a Cantor.

El 1884, Cantor va sofrir el seu primer atac conegut de depressió. Aquesta crisi emocional el va portar a demanar ensenyar filosofia més que matemàtica. Aquell any va escriure 52 cartes a Mittag-Leffler les quals atacaven Kronecker. Cantor aviat es va restablir, però un fragment d'una d'aquestes cartes revela una pèrdua de confiança en ell mateix:

« No sé quan podré reprendre el meu treball científic. De moment no puc fer res més que limitar-me a les tasques més necessàries de les classes; seria molt feliç de tornar a ser científicament actiu, però no tinc la frescor mental necessària encara. »

Tot i que va realitzar treballs importants després del 1884, mai van tenir l'alt nivell dels treballs produïts entre 1874 i 1884. Va arribar a demanar una reconciliació a Kronecker, qui va acceptar, tot i que els desacords filosòfics i les dificultats que els dividien van persistir.

De vegades s'ha dit que els freqüents atacs de depressió de Cantor eren provocats per l'oposició de Kronecker en el seu treball. Si bé les preocupacions matemàtiques de Cantor i les seves dificultats tractant de certes qüestions podrien magnificar la seva depressió, és dubtós que elles soles en fossin la causa, que fou probablement un desordre bipolar.

El 1888, va publicar la seva correspondència amb molts filòsofs sobre les implicacions filosòfiques de la seva teoria de conjunts. Edmund Husserl va ser col·lega i amic seu a Halle des de 1886 a 1901. Tot i que Husserl seria després conegut pels seus escrits filosòfics, el seu doctorat fou en matemàtiques i va ser supervisat per l'estudiant de Weierstrass Leo Königsberger. Sobre Cantor, Husserl, i Frege, veure Hill and Rosado Haddock (2000). Cantor també va escriure sobre les implicacions teològiques del seu treball matemàtic; per exemple, identificà l'infinit absolut amb Déu.

Cantor creia que Francis Bacon escrigué les obres atribuïdes a Shakespeare. Durant la seva malaltia el 1884 va començar un intens estudi de la literatura Elisabethiana per tal d'intentar provar la seva tesi sobre l'autoria de Bacon. Arribà a publicar dos folletons, el 1896 i el 1897, explicant la seva teoria sobre Bacon i Shakespeare.

El 1890, Cantor va contribuir decisivament en la fundació de Deutsche Mathematiker-Vereinigung, va presidir la primera reunió a la Halle el 1891, i fou escollit com el seu primer president. Aquesta és una forta evidència que l'actitud de Kronecker no havia afectat la seva reputació. Deixant de banda la rancúnia que sentia per Kronecker, Cantor el va convidar a dirigir la trobada; malauradament, Kronecker no va poder fer-ho perquè la seva dona estava molt malalta.

Després de la mort el 1899 del seu fill més jove, Cantor va sofrir depressions cròniques la resta de la seva vida, per la qual cosa va ser excusat de donar classes en moltes ocasions i repetidament va estar ingressat en diferents sanatoris. No va abandonar les matemàtiques completament, donava conferències sobre les paradoxes de la teoria de conjunts (eponymously atribuïda a Burali-Forti, Russell, i Cantor ell mateix) en una trobada del Deutsche Mathematiker-Vereinigung el 1903, i assistint al Congrés Internacional de Matemàtics a Heidelberg el 1904.

El 1911, Cantor va ser un dels distingits estudiosos estrangers convidats a assistir al 500è aniversari de la fundació de la Universitat de Sant Andrews a Escòcia. Cantor hi assistí, esperant trobar a Bertrand Russell, del qual el recentment publicat Principia Mathematica repetidament citava el treball de Cantor, però això no succeí. L'any següent, Sant Andrews va atorgar a Cantor un doctorat honoris causa, però la seva malaltia va impedir que rebés el premi en persona.

Cantor es va retirar el 1913, i va patir de pobresa, fins i tot gana, durant la Primera Guerra Mundial. La celebració pública del seu 70è aniversari fou cancel·lat per la guerra. Va morir al sanatori on havia passat el darrer any de la seva vida.

Obra[modifica | modifica el codi]

Cantor va ser el fundador de la teoria de conjunts moderna (1874-84). Fou el primer a definir els conceptes apropiats per tal d'estudiar i comparar els conjunts infinits en funció de la seva mida. Va demostrar que donat qualsevol conjunt A, el conjunt de tots els subconjunts de A, anomenat el conjunt potència de A té una mida més gran que la mida de A (aquest fet és conegut com el teorema de Cantor). Així hi ha una jerarquia infinita de les mides de conjunts infinits, de la qual sorgeixen els cardinals transfinits i els nombres ordinals, i la seva peculiar aritmètica. La notació que emprà per als nombres cardinals, i que es continua utilitzant, fou la lletra Hebrea \aleph amb un nombre ordinal com a subíndex; per als ordinals va utilitzar la lletra Grega \omega. (falta ampliar i detallar...)

Cantor fou el primer a apreciar el valor de les correspondències bijectives en la teoria de conjunts. Va definir el concepte de conjunt finit i conjunt infinit, diferenciant aquest darrer en conjunt numerable i conjunt no numerable. Hi ha una correspondència bijectiva entre qualsevol conjunt numerable i el conjunt de tots els nombres naturals; tots els altres conjunts infinits són no numerables. Va demostrar que el conjunt dels nombres racionals és numerable, i que el conjunt dels nombres reals no ho és i és, per tant, estrictament major. La cardinalitat dels nombres naturals és \aleph_0; el dels reals és més gran, i és almenys \aleph_1 (\aleph_1 és el cardinal més petit després de \aleph_0).

Els primers articles de Cantor són sobre teoria de nombres, el tema de la seva tesi. Sota el suggeriment d'Eduard Heine, Professor a Halle, Cantor va interessar-se per l'Anàlisi Matemàtica. Heine proposà a Cantor de resoldre un problema obert que Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann, i el mateix Eduard Heine no havien pogut resoldre: la unicitat de la representació d'una funció mitjançant sèries trigonomètriques. Cantor va resoldre el problema l'any 1869. Entre 1870 i 1872, Cantor va publicar més articles sobre sèries trigonomètriques, incloent-ne un on definia els nombres irracionals com una seqüència convergent de nombre racionals. Dedekind, amb qui Cantor va fer amistat el 1872, cita aquest article aquell mateix any en l'article on ell mateix primer va desenvolupar la seva celebrada definició dels nombres reals mitjançant les talladures de Dedekind.

L'article de Cantor del 1874, "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers", marca el naixement de la teoria de conjunts. Va ser publicat a Crelle's Journal, malgrat l'oposició de Kronecker, gràcies al suport de Dedekind. Prèviament a aquest article, sempre s'havia suposat que totes les col·leccions infinites tenien la "mateixa mida"; Cantor fou el primer a demostrar que hi havia més d'un tipus d'infinit. Esdevingué el primer a utilitzar la noció de bijecció per a diferenciar els tipus d'infinit. Va demostrar que el conjunt dels nombres reals no és numerable. El 1891 va tornar a demostrar-ho mitjançant el famós i elegant argument diagonal.

L'article de 1874 també demostra que el conjunt dels nombres algebraics, és a dir, el conjunt dels zeros d'equacions polinòmiques amb coeficients enters, és numerable. Els nombres reals que no són algebraics s'anomenen nombres transcendents. Liouville ja havia establert l'existència de nombres transcendents l'any 1851. Cantor havia demostrat que el conjunt dels nombres reals no era numerable i que la unió d'una quantitat numerable de conjunts numerables és numerable. Com que un nombre real és o bé algebraic o bé transcendent, el conjunt de nombres transcendents no és numerable. Així, el conjunt dels nombres transcendents és igual de gran que el conjunt dels nombres reals, i "gairebé tot" nombre real ha de ser transcendent. Cantor va remarcar que efectivament ell havia demostrat un teorema ja demostrat per Liouville, que hi ha una quantitat infinita de nombres transcendents en cada interval de nombres reals.

El 1874, Cantor va començar a buscar una bijecció entre els punts del quadrat unitat i els punts de l'interval unitat. En la carta de l'any 1877 a Dedekind, Cantor demostra un resultat molt més general: que hi ha una bijecció entre els punts de l'interval unitat i tots els punts en un espai p-dimensional. Sobre aquest descobriment Cantor va escriure (en francès) "Ho veig, però no ho puc creure!" Aquest resultat sorprenent té implicacions en geometria i la noció de dimensió.

El 1878, Cantor va presentar un altre article al Crelle's Journal, que altra vegada va desagradar a Kronecker. Cantor volia retirar l'article, però Dedekind el va persuadir de no fer-ho; a més a més, Weierstrass donava suport a la seva publicació. Cantor no va enviar mai més res a Crelle per a publicar.

Aquest article precisava la noció de bijecció i definia el concepte de conjunt numerable com el de conjunt que pot ser posat en correspondència bijectiva amb el conjunt dels nombres naturals. Cantor introdueix la noció de "potència" (un terme que pren de Jakob Steiner) o equipotència de conjunts; dos conjunts són equipotents (tenen la mateixa potència) si hi ha una correspondència bijectiva entre ells. Després demostra que el conjunt dels nombres racionals té la potència infinita més petita, i que \mathbb{R}^n té la mateixa potència que \mathbb{R}. A més a més, una quantitat numerable de còpies de \mathbb{R} té la mateixa potència que \mathbb{R}. Mentre que va utilitzar sovint el concepte de numerable, no va escriure la paraula "numerable" fins al 1883. Cantor també hi analitza la seva teoria sobre la dimensió dimensió, insistint que la seva aplicació entre l'interval unitat i el quadrat unitat no era continu.

Entre el 1879 i el 1884, Cantor va publicar una sèrie de sis articles aMathematische Annalen que junts formen una introducció a la seva teoria de conjunts. L'editor va accedir a publicar aquests articles tot i la creixent oposició a les idees de Cantor promoguda per Kronecker. Kronecker admetia un concepte matemàtic només si aquest podia ésser construït amb una quantitat finita de passos a partir dels nombres naturals, els quals considerava intuïtivament donats. Per a Kronecker, la jerarquia de Cantor dels infinits era inadmissible.

El cinquè article d'aquesta sèrie, "Foundations of a General Theory of Aggregates", publicat el 1883, fou el més important dels sis i fou publicat en una monografia, a part. Contenia la rèplica de Cantor als opositors de les seves idees i mostra com els nombres transfinits són una extensió dels nombres naturals. Comença definint els conjunts ben ordenats. Els nombres ordinals són introduïts com tipus d'ordres dels conjunts ben ordenats. Cantor defineix l'addició i la multiplicació dels nombres cardinals i dels nombres ordinals. El 1885, Cantor estén la seva teoria dels tipus d'ordre de manera que els nombres ordinals esdevenen simplement una classe de tipus d'ordre.

L'article de Cantor del 1883 revela que era ben conscient de l'oposició que les seves idees tenien:

"... I realize that in this undertaking I place myself in a certain opposition to views widely held concerning the mathematical infinite and to opinions frequently defended on the nature of numbers."

D'aquí que dediqui molt espai a justificar la seva feina, defensant que els conceptes matemàtics poden ser introduïts lliurement sempre que no entrin en contradicció i estiguin definits a partir de conceptes ja acceptats. També cita a Aristòtil, Descartes, Berkeley, Leibniz, i Bolzano en parlar de l'infinit.

Cantor fou el primer a formular el que després es coneixeria com la Hipòtesi del Continu o CH: no hi ha cap conjunt la cardinalitat del qual sigui més gran que la del conjunt dels nombres naturals i a la vegada més petita que la del conjunt dels nombres reals (o equivalentment, la cardinalitat del conjunt dels nombres reals és exactament \aleph-one, en lloc de almenys \aleph-one). La incapacitat de demostrar la Hipòtesi del Continu va causar a Cantor ansietat considerable, però retrospectivament és perfectament comprensible: un resultat de Gödel del 1940 i un resultat de Paul Cohen del 1963 mostren els dos junts, que no es pot demostrar la Hipòtesi del Continu ni la seva negació en la teoria estàndard de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel més l'Axioma de l'elecció (ZFC).[1]

El 1882, la rica correspondència matemàtica que hi havia hagut entre Cantor i Dedekind va acabar-se. Cantor començà una interessant correspondència amb Mittag-Leffler de Suïssa, i aviat va començar a publicar a la revista de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Però el 1885, Mittag-Leffler va demanar a Cantor que retirés un article de Acta mentre l'estava revisant, escrivint que "... about one hundred years too soon." Cantor accedí, però va escriure a un tercer :

"Had Mittag-Leffler had his way, I should have to wait until the year 1984, which to me seemed too great a demand! ... But of course I never want to know anything again about Acta Mathematica."

Així va finalitzar la seva correspondència amb Mittag-Leffler, com ho havia fet el brillant desenvolupament de Cantor sobre la teoria de conjunts els 12 anys precedents. Mittag-Leffler tenia bones intencions, però aquest incident revela com fins i tot els més brillants contemporanis de Cantor sovint no foren capaços d'apreciar el seu treball.

El 1895 i el 1897, Cantor va publicar un article en dues parts a Mathematische Annalen amb Felix Klein coma editor; aquests van ser els seus darrers articles significatius en teoria de conjunts. (La traducció anglesa és Cantor 1955.) El primer article comença definint el que és un conjunt, subconjunt, etc., en termes semblants als d'avui en dia. Els conceptes d'aritmètica cardinal i ordinal són revisats. Cantor volia incloure en el segon article una demostració de la Hipòtesi del continu, però hagué de conformar-se exposant la seva teoria dels conjunts ben-ordenables i els nombres ordinals. Cantor intentà demostrar que si A iB són conjunts amb A equipotent a un subconjunt de B i B és equipotent a un subconjunt de A, aleshores A i B són equipotents. Ernst Schroeder havia volgut demostrar aquest teorema una mica abans, però la seva demostració, com la de Cantor, tenia defectes. Felix Bernstein va proporcionar una demostració correcta l'any 1898en la seva tesi de doctorat; d'aquí el nom del teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein.

Al voltant d'aquesta època, les paradoxes de la teoria de conjunts començaren a treure el cap. En un article de l'any 1897 paper en un tema no relacionat, Cesare Burali-Forti fa esment de la primera de les paradoxes, la paradoxa de Burali-Forti: el nombre ordinal del conjunt de tots els ordinals ha de ser un ordinal i això comporta una contradicció. Cantor havia descobert aquesta paradoxa el 1895, i la descriví en una carta del 1896 a Hilbert. Curiosament, Cantor va ser molt crític amb l'article de Burali-Forti.

El 1899, Cantor va descobrir el seu epònim a la paradoxa: quina és la cardinalitat del conjunt de tots els conjunts? Clarament ha de ser el cardinal més gran possible. Però per a qualsevol conjunt A, la cardinalitat de la potència de A és estrictament major que la cardinalitat de A (pel teorema de Cantor). Aquesta paradoxa, juntament amb la de Burali-Forti, va portar a Cantor a reformular rel seu concepte de limitació de mida, fact check needed d'acord amb la qual la col·lecció de tots els ordinals, de tots els conjunts, és una "multiplicitat inconsistent" que és "massa gran" per a ser un conjunt. Avui les anomenaríem classes pròpies.

Una visió comuna entre els matemàtics és que aquestes paradoxes, juntament amb la paradoxa de Russell, demostren que no és possible prendre una "intuïtiva", o no axiomàtica, una aproximació a la teoria de conjunts sense risc de contradicció. De segur que aquestes foren algunes de les motivacions que portaren a Zermelo i d'altres a produir axiomatitzacions de la teoria de conjunts. D'altres observaren, això no obstant, que les paradoxes no apareixien des d'un punt de vista informal motivat per la jerarquia iterativa, que pot ser vist com una explicació de la idea de la limitació de mida. D'altres també qüestionen si la formulació Fregueana de la teoria de conjunts intuïtiva (que fou el sistema directament refutat per la paradoxa de Russell) és realment fidel a la interpretació de la concepció kantiana.

El treball de Cantor va atraure una atenció favorable després del celebrat encomiam de Hilbert. En conferències públiques pronunciades al primer Congrés Internacional de Matemàtics, que tingueren lloc a Zuric el 1897, Hurwitz i Hadamard ambdós van expressar la seva admiració per la teoria de conjunts de Cantor. En aquest congrés, Cantor també va renovar la seva amistat i correspondència amb Dedekind. Charles Peirce a Amèrica també elogià la teoria de conjunts de Cantor. El 1905, Cantor va començar una correspondència, que després seria publicada, amb el seu admirador i traductor anglès Philip Jourdain, sobre la història de la teoria de conjunts i sobre les idees religioses de Cantor.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Alguns matemàtics consideren que amb aquests resultats la qüestió queda totalment resolta, i que com a molt permet que sigui possible examinar les conseqüències formals de CH i de la seva negació, o d'algun axioma que implica algun d'aquests. Altres matemàtics continuen buscant axiomes "naturals" o "plausibles" que, una vegada afegits a ZFC, permetin demostrar o refutar CH, o que donin proves directes en o en contra de CH; entre els més destacats matemàtics que treballen en aquest sentit trobem W. Hugh Woodin.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Literatura primària en anglès:
    • Cantor, Georg, 1955 (1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Philip Jourdain, ed. and trans. Dover.
    • Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
    • 1874. "On a property of the set of real algebraic numbers," 839-43.
    • 1883. "Foundations of a general theory of manifolds," 878-919.
    • 1891. "On an elementary question in the theory of manifolds," 920-22.
    • 1872-82, 1899. Correspondence with Dedekind, 843-77, 930-40.
  • Literatura secundària:
    • Aczel, Amir D., 2000. The mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Human Mind. Four Walls Eight Windows. A popular treatment of infinity, in which Cantor is the key player.
    • Dauben, Joseph W., 1979. Georg Cantor : his mathematics and philosophy of the infinite. Harvard Uni. Press. The definitive biography to date.
    • Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots: 1870-1940. Princeton Uni. Press.
    • Hallett, Michael, 1984. Cantorian set theory and limitation of size. Oxford Uni. Press.
    • Paul Halmos, 1998 (1960). Naive Set Theory. Springer.
    • Hill, C. O., and Rosado Haddock, G. E., 2000. Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics. Chicago: Open Court. Three chpts. and 18 index entries on Cantor.
    • Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf. Chpt. 16 reveals how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
    • Rudy Rucker, 2005 (1982). Infinity and the Mind. Princeton Uni. Press. Deeper than Aczel.
    • Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover. Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, thereby revealing Cantor's importance for the edifice of foundational mathematics.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]